Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 7: Phương sai thay đổi - Phạm Văn Minh

Chương 7 PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI 1 NỘI DUNG 1. Bản chất của phương sai thay đổi 2. Nguyên nhân của phương sai thay đổi 3. Hậu quả của phương sai thay đổi 4. Cách phát hiện phương sai thay đổi 5. Biện pháp khắc phục phương sai thay đổi 2 1. Bản chất của phương sai thay đổi 3 Một giả thiết quan trọng của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là các sai số ngẫu nhiên ui trong hàm hồi quy tổng thể có phương sai không thay đổi và bằng σ2 (homoscedasticity). Var (Ui) = σ2 (i = 1, 2, , n) Nghĩa là phương sai có điều kiện của Yi (bằng với phương sai của ui) không đổi khi biến X nhận các giá trị khác nhau. Ví dụ: mức độ dao động giữa tiết kiệm của từng hộ gia đình so với mức tiết kiệm trung bình (của nhóm các hộ gia đình có cùng thu nhập) thì không thay đổi giữa các nhóm hộ gia đình có thu nhập khác nhau. 4Phương sai không đổi Phương sai thay đổi 1. Bản chất của phương sai thay đổi (tt) Ví dụ: Khi thu nhập (X) tăng thì chi tiêu cho các mặt hàng xa xỉ tăng và mức biến động dữ liệu của biến chi tiêu (Y) càng lớn. Chúng ta có trường hợp phương sai tăng dần khi X tăng dần. Một số nguyên nhân phương sai của ui thay đổi:
Do bản chất của các mối quan hệ kinh tế đã chứa đựng hiện tượng này. Ví dụ: công ty có lợi nhuận cao thường có chính sách cổ tức biến động nhiều hơn công ty có lợi nhuận thấp, do đó σ2i tăng theo lợi nhuận.
Do công cụ và kỹ thuật thu thập, xử lý số liệu được cải tiến nên sai số đo lường và tính toán có xu hướng giảm dần, dẫn đến σ2i có khả năng giảm. Ví dụ: Ngân hàng có thiết bị xử lý dữ liệu tiên tiến sẽ có ít sai sót trong báo cáo tài chính hàng tháng hoặc quý 5 2. Nguyên nhân của phương sai thay đổi
Do việc tích lũy kinh nghiệm và sai số theo thời gian ngày càng giảm nên σ2i có xu hướng giảm. 6 2. Nguyên nhân của phương sai thay đổi
Phương sai thay đổi có thể xảy ra khi trong mẫu có các outlier (giá trị rất nhỏ hoặc rất lớn so với giá trị của các quan sát khác trong mẫu) 7 2. Nguyên nhân của phương sai thay đổi
Phương sai thay đổi có thể xảy ra khi mô hình hồi quy xác định sai (dạng hàm sai, thiếu biến quan trọng). Ví dụ: Khi xác định hàm số cầu của 1 hàng hóa, nếu không đưa giá của hàng hóa bổ sung hoặc thay thế vào mô hình (thiên lệch do thiếu biến số quan trọng) thì có thể xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi
Hiện tượng phương sai thay đổi thường gặp khi thu thập số liệu theo không gian (số liệu chéo) hơn là số liệu chuỗi thời gian. Ví dụ: Khảo sát về doanh thu và chi phí quảng cáo của các công ty cùng lĩnh vực kinh doanh nhưng khác về quy mô, thương hiệu 8 2. Nguyên nhân của phương sai thay đổi David Hendry đưa ra các lý do khác của phương sai thay đổi như:
Kỹ thuật chuyển đổi dữ liệu không đúng: phương pháp tỷ lệ hoặc sai phân cấp 1
Dạng hàm sai: tuyến tính và tuyến tính lôgarít  Khi xảy ra phương sai thay đổi, sử dụng phương pháp OLS để ước lượng được không?  Nếu có thì các hệ số hồi qui thay đổi thế nào? 9 2. Nguyên nhân của phương sai thay đổi 3. Hậu quả của phương sai thay đổi 10 1) Các ước lượng OLS vẫn là các ước lượng tuyến tính, không chệch nhưng không còn hiệu quả nữa (ước lượng có phương sai nhỏ nhất) 2) Phương sai của các ước lượng OLS bị chệch nên các kiểm định t và F không còn đáng tin cậy nữa. 3) Kết quả dự báo không hiệu quả khi sử dụng các ước lượng OLS. Giải thích: 1) Xét mô hình Yi = β1+ β2Xi +Ui (1) với Var(Ui) = (i=1,2,,n) - Dùng p2 OLS cho (1), ta có ước lượng của β2 là vẫn là ước lượng tuyến tính, không chệch của β2 (do khi chứng minh tính không chệch của các ước lượng, không sử dụng giả thiết phương sai thuần nhất). 22 i σω 2 2 1 ˆ n i i i ii x y y x β ω = = = ∑ ∑ ∑ 2ˆβ 3. Hậu quả của phương sai thay đổi (tt) - Mặt khác, nếu chia 2 vế của (1) cho ωi:       +      +      =      i i i i 2 i 1 i i UX1Y ωω β ω β ω * i * i2 0 i1 * i UXXY ++= ββ i 1 )U(Var 1U Var)U(Var 222i2 i i2 ii i* i ∀===      = σσω ωωω Hay Ta có : Nên (2) thỏa các giả thiết của mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển. (2) 3. Hậu quả của phương sai thay đổi (tt) Do đó, nếu dùng p2 OLS cho (2), ta sẽ thu được là ước lượng tuyến tính, không chệch, có phương sai bé nhất của β2 (Theo định lý Gauss-Markov). Vì vậy phương sai của không còn bé nhất nữa nên không còn là ước lượng hiệu quả nữa. * 2ˆβ 2ˆβ 2ˆβ 3. Hậu quả của phương sai thay đổi (tt) 2) Với mô hình (1), khi có phương sai thay đổi thì có thể chứng minh được : Tuy nhiên, nếu vẫn dùng ước lượng của phương sai theo công thức như của mô hình có phương sai thuần nhất thì rõ ràng đây là ước lượng chệch của ( ) 2 2 2 22 ˆ( ) i i i x Var x σβ = ∑ ∑ 2 2 2 ˆ ˆ( ) i Var x σβ = ∑ )ˆ(Var 2β 3. Hậu quả của phương sai thay đổi (tt) Các phương pháp sau đây chủ yếu dựa trên phần dư (có thể quan sát được), chứ không phải là sai số ngẫu nhiên ui, với hi vọng là đối với mẫu tương đối lớn thì các phương pháp này có thể đúng (1) Căn cứ vào bản chất của vấn đề nghiên cứu:
Bản chất của vấn đề nghiên cứu gợi ý cho chúng ta biết có xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi hay không.
Trong số liệu chéo liên quan đến những đơn vị không thuần nhất thường xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi. Ví dụ: Khi nghiên cứu số liệu chéo của chi phí sản xuất và sản lượng được sản xuất ra, trong mẫu gồm những DN có quy mô khác nhau, người ta thấy rằng dường như có phương sai thay đổi. 15 iu ⌢ 4. Phát hiện phương sai thay đổi (2) Xem xét đồ thị của phần dư:
Đồ thị của phần dư (sai số của mô hình hồi quy) đối với giá trị của biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán sẽ cho biết phương sai của sai số có thay đổi hay không. Nếu độ rộng của biểu đồ rải (phân tán, Scatter) của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết phương sai không đổi có thể không thỏa mãn.
Đôi khi người ta vẽ đồ thị của phần dư bình phương đối với X.
Đối với mô hình hồi quy bội, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư (hoặc phần dư bình phương) đối với vì nó là tổ hợp tuyến tính các giá trị của X. Y ⌢ iY ⌢ 16 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) Chi tiết về phương pháp đồ thị Xét mô hình: Yi = β1+ β2Xi +Ui (1) - Hồi qui (1) thu được các phần dư ei. - Vẽ đồ thị phân tán của e theo X. - Nếu độ rộng của biểu đồ rải tăng hoặc giảm khi X tăng thì mô hình (1) có thể có hiện tượng phương sai thay đổi. * Chú ý: Với mô hình hồi qui bội, cần vẽ đồ thị phần dư theo từng biến độc lập hoặc theo .Yˆ 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) Đồ thị của phần dư: Thí dụ 7.1 trang 162 18 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) (3) Kiểm định Park Ý tưởng: Park cho rằng là một hàm của X có dạng: Do đó: Vì chưa biết nên để ước lượng hàm trên Park đề nghị sử dụng thay cho 2 iσ i2eXi 22 i νβσσ = 2 iσ 2 iσ ii2 22 i Xlnlnln νβσσ ++= 2 ie 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) Nếu mô hình gốc có nhiều biến độc lập thì hồi qui theo từng biến độc lập hoặc theo Các bước kiểm định Park: B1: Ước lượng mô hình hồi qui gốc (1), thu lấy phần dư ei tính 2 ie iii Xe νββ ++= lnln 212 2 ieln iYˆ B2: Ước lượng mô hình * Lưu ý: B3: Kiểm định giả thiết H0: β2 = 0 Nếu chấp nhận H0 mô hình gốc (1) không có hiện tượng phương sai đổi. 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) Kiểm định Park: cho hàm iii Xe νββ ++= lnln 212 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) iii Ye νββ ++= ˆlnln 212 Kiểm định Park: cho hàm (4) Kiểm định Glejser Tương tự kiểm định Park, tuy nhiên sau khi thu các phần dư từ mô hình hồi qui gốc, Glejser sử dụng các dạng hàm sau: Nếu chấp nhận H0: β2 = 0  mô hình gốc (1) có phương sai không đổi. iii iii Xe Xe νββ νββ ++= ++= 21 21 i i 21i i i 21i X 1 e X 1 e νββ νββ ++= ++= 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) Phương sai thay đổi không? iii Xe νββ ++= 21 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) 4. Kiểm định White Xét mô hình: Yi = β1+ β2X2i + β3X3i +Ui (1) B1: Ước lượng mô hình gốc, thu được B2: Hồi qui mô hình phụ sau, thu hệ số xác định của hồi qui phụ : B3: Kiểm định H0: Mô hình không xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi Nếu hay p-value < α bác bỏ H0. Với k là số hệ số trong mô hình hồi qui phụ không kể hệ số tự do (tung độ gốc). ii3i2 2 i3 2 i2i3i2 2 i VXXXXXXe ++++++= 654321 αααααα ie 2 auxR )(22 knRaux αχ> 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) )2( 4. Kiểm định White (tt) 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) Cách tiến hành kiểm định White trên EViews:
Từ cửa sổ Equation của mô hình hồi quy (1), chọn View/Residual Tests/
Chọn White Heteroskedasticity (no cross terms) nếu mô hình (2) không có tích chéo; chọn White Heteroskedasticity (cross terms) nếu mô hình (2) có các tích chéo. Xem thí dụ về kiểm định White trang 167. 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) 4. Phát hiện phương sai thay đổi (tt) 1. Trường hợp đã biết σ2i: Khắc phục hiện tượng phương sai thay đổi bằng cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số (WLS). 2. Trường hợp σ2i chưa biết: Để sử dụng phương pháp WLS, cần có những giả thiết nhất định về σ2i và biến đổi mô hình hồi quy gốc sao cho mô hình đã được biến đổi thỏa mãn giả thiết phương sai không đổi. Xét mô hình hồi quy gốc sau: Yi = β1 + β2Xi + Ui 29 5. Biện pháp khắc phục phương sai thay đổi
Giả thiết 1: E(U2i) = σ2X2i (biết được nhờ phương pháp đồ thị hay cách tiếp cận Park hoặc Glejser). Chia 2 vế của mô hình gốc cho Xi (Xi≠0): Yi/Xi = β1/Xi + β2 + Ui/Xi = β1/Xi + β2 + Vi (2) Các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển đều được thỏa mãn đối với mô hình (2) nên có thể áp dụng phương pháp OLS để hồi quy Yi/Xi theo 1/Xi. Sau khi ước lượng β1 và β2 của mô hình (2), nhân 2 vế của mô hình này với Xi để trở lại mô hình hồi quy gốc. 30 5. Biện pháp khắc phục phương sai thay đổi
Giả thiết 2: E(U2i) = σ2Xi Thực hiện biến đổi tương tự giả thiết 1 nhưng chia 2 vế của mô hình gốc cho .
Giả thiết 3: E(U2i) = σ2[E(Yi)]2 Chia 2 vế của mô hình gốc cho E(Yi): Yi / E(Yi) = β1/E(Yi) + β2*Xi / E(Yi) + Vi (3) Mô hình (3) chưa thể ước lượng được vì E(Yi) phụ thuộc vào β1 và β2 đều chưa biết. Khi mẫu tương đối lớn, sử dụng ước lượng điểm của E(Yi) là = + Xi iX iY ⌢ 1β ⌢ 2β ⌢ 31 5. Biện pháp khắc phục phương sai thay đổi Mô hình (3) trở thành: Yi / = β1 / + β2 * Xi / + Vi (4) Ước lượng mô hình hồi quy (4). Phép biến đổi (3) thành (4) có thể sử dụng khi kích thước mẫu tương đối lớn.
Giả thiết 4: Phép biến đổi lôgarit lnYi = β1 + β2lnXi +Ui Ước lượng mô hình hồi quy trên có thể làm giảm phương sai thay đổi do tác động của phép biến đổi lôgarit. Ngoài ra nó còn có ưu điểm là hệ số góc β2 đo độ co giãn của Y đối với X. iY ⌢ iY ⌢ iY ⌢ 32 5. Biện pháp khắc phục phương sai thay đổi Lưu ý khi dùng các phép biến đổi trên:
Đối với mô hình hồi quy bội thì việc chọn biến nào để biến đổi cần phải xem xét cẩn thận.
Phép biến đổi lôgarit không dùng được nếu 1 giá trị của X (hoặc Y) là âm.
Có trường hợp bản thân các biến của mô hình hồi quy gốc không tương quan, nhưng tỷ số của các biến lại có thể tương quan (tương quan giả).
Khi σ2i chưa biết và được ước lượng từ 1 hay nhiều phép biến đổi trên thì tất cả các kiểm định t, F chỉ có hiệu lực đối với mẫu lớn. 33 5. Biện pháp khắc phục phương sai thay đổi