Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 4: Mô hình hồi qui đa biến - Phạm Văn Minh

Chương 4 MÔ HÌNH HỒI QUI ĐA BIẾN 1 NỘI DUNG 1. Vì sao cần mô hình hồi qui đa biến? 2. Mô hình hồi qui tuyến tính 3 biến: dạng hàm, các giả định, ý nghĩa hệ số hồi qui, ước lượng OLS, phương sai của các ước lượng, khoảng tin cậy của các tham số, R2 và R2 hiệu chỉnh (R2), kiểm định giả thiết. 3. Hồi qui k biến: Giả thiết, Ước lượng MH, Ma trận tương quan, hiệp phương sai, Khoảng tin cậy các hệ số hồi qui, Kiểm định giả thiết: hệ số HQ, độ phù hợp của MH, Dự báo khoảng: giá trị trung bình, cá biệt. 2 Mô hình hồi qui 2 biến đã học thường không thỏa đáng vì trong thực tế ít có quan hệ kinh tế nào đơn giản như vậy.
Ví dụ để nghiên cứu về chi tiêu thì không chỉ một yếu tố thu nhập mà sẽ có nhiều yếu tố khác ảnh hưởng như sự giàu có của người dân, số nhân khẩu trong hộ gia đình, v.v.
Một ví dụ khác là nhu cầu của một mặt hàng không chỉ phụ thuộc vào giá cả của chính nó mà thôi, mà còn phụ thuộc vào giá cả của những hàng hóa cạnh tranh hay bổ trợ khác. 1. Vì sao cần mô hình hồi qui đa biến? 3 Hàm hồi qui tổng thể (PRF) 1. Vì sao cần mô hình hồi qui đa biến? (tt) 4 Yi = β1 + β2 X2i + β3X3i + . . . + βkXki + Ui β1 - Hệ số tự do, β1 cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc (Y) bằng bao nhiêu khi tất cả các biến độc lập Xj (j = 2, 3, k) đều bằng 0. βj (j = 2, 3, k) - Hệ số hồi quy riêng của biến Xj, βj cho biết trung bình của Y sẽ tăng (giảm) bao nhiêu đơn vị khi Xj tăng (hay giảm) 1 đơn vị. 52. MÔ HÌNH HỒI QUI TUYẾN TÍNH 3 BIẾN Phạm Văn Minh biên soạn 2. MHHQ tuyến tính 3 biến - Dạng hàm 6 Mô hình hồi quy tổng thể Mô hình hồi quy tổng thể ngẫu nhiên: ui: sai số ngẫu nhiên của tổng thể ii XXXXYE 3322132 ),/( βββ ++= iiii uXXY +++= 33221 βββ 72. MHHQ 3 biến - Các giả thiết 1. GT trung bình/kỳ vọng của ui bằng 0: E(ui|X2i, X3i) = 0 2. Không có tương quan chuỗi  cov(ui,uj) = 0, i ≠j 3. Phương sai có điều kiện không đổi  var(ui)=σ2 4. Tích sai giữa ui và biến X bằng 0  cov(ui, X2i) = cov(ui, X3j) = 0 5. Không có thiên lệch đặc trưng hay mô hình được xác định đúng 6. Không có cộng tuyến rõ ràng giữa các biến X, hay không có quan hệ tuyến tính rõ ràng giữa X2 và X3
Sự phi cộng tuyến giữa các biến giải thích X có nghĩa là không có biến giải thích nào có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các biến giải thích còn lại.
Đồ thị Venn (hình a) giải thích rõ hơn về phi cộng tuyến. 8 2. MHHQ 3 biến - Các giả thiết (tt) Y X3 X2 1 2 (a) phi cộng tuyến Y X3X2 3 54 (b) cộng tuyến
Nếu tồn tại λ2 và λ3 sao cho λ2X2i + λ3X3i = 0 thì X2 và X3 được xem là cộng tuyến hay phụ thuộc tuyến tính.
Trong trường hợp có cộng tuyến thì một trong hai biến phải bị loại bỏ khỏi mô hình.
Trường hợp các biến số có quan hệ phi tuyến, chẳng hạn như X3i = X2i2  Không vi phạm giả thiết ‘phi cộng tuyến’. Tuy nhiên, đây là những trường hợp đặc biệt mà chúng ta sẽ đề cập sau. 9 2. MHHQ 3 biến - Các giả thiết (tt) 10 2. MHHQ 3 biến – Ý nghĩa hệ số hồi qui Mô hình hồi quy tổng thể Ý nghĩa các hệ số hồi qui: β2: đo sự thay đổi trong giá trị kỳ vọng của Y khi X2 thay đổi một đơn vị, giữ X3 không đổi. β3: đo sự thay đổi trong giá trị kỳ vọng của Y khi X3 thay đổi một đơn vị, giữ X2 không đổi. ii XXXXYE 3322132 ),/( βββ ++= Ước lượng các tham số của mô hình (OLS)
Cho n quan sát của 3 đại lượng Y, X2, X3, ký hiệu quan sát thứ i là Yi, X2i, và X3i.
sai số của mẫu ứng với quan sát thứ i. 11 iii YYe ˆ−= Ước lượng Hàm hồi qui tuyến tính mẫu SRF:
1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆY X Xβ β β= + + 2. MHHQ 3 biến – Ước lượng (tt) SRF dạng ngẫu nhiên: 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ iY X X eβ β β= + + + 2. MHHQ 3 biến – Ước lượng (tt) 12 ∑∑ →−−−== min)ˆˆˆ( 2332212 iiii XXYeQ βββ ∑ =−−−−= 0)ˆˆˆ(2 ˆ 33221 1 iii XXYd dQ ββββ ∑ =−−−−= 0))(ˆˆˆ(2 ˆ 233221 2 iiii XXXYd dQ ββββ ∑ =−−−−= 0))(ˆˆˆ(2 ˆ 333221 3 iiii XXXYd dQ ββββ Mục tiêu là tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư Đạo hàm riêng phần để tìm cực trị (/cực tiểu): 2. MHHQ 3 biến – Ước lượng (tt) 13 Ta tính được: 2 32 2 3 2 2 323 2 32 2 )( ˆ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − = iiii iiiiiii xxxx xxxyxxyβ 2 32 2 3 2 2 322 2 23 3 )( ˆ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − = iiii iiiiiii xxxx xxxyxxyβ ii XXY 33221 ˆˆˆ βββ −−= YYy ii −=XXx ii −= 2. MHHQ tuyến tính 3 biến Phương sai của các ước lượng 14 2 2 32 2 3 2 2 2 3 2 )() ˆ( δβ ∑∑ ∑ ∑ − = iiii i xxxx x Var 2 2 32 2 3 2 2 2 2 3 )() ˆ( δβ ∑∑ ∑ ∑ − = iiii i xxxx x Var 2 2 32 2 3 2 2 3232 2 2 2 3 2 3 2 2 1 ))( 21()ˆ( δβ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − −+ += iiii iiii xxxx xxXXxXxX n Var Do δ2 là phương sai của ui chưa biết nên trong thực tế người ta dùng ước lượng không chệch của nó: 3 )1( 3 ˆ 222 2 − − = − = ∑∑ n yR n e iiδ 15 2. MHHQ 3 biến - Khoảng tin cậy của βi Khoảng tin cậy của tham số βi với mức ý nghĩa α hay độ tin cậy 1- α )ˆ;ˆ( iiiii εβεββ +−∈ ( 3, / 2 ) ˆ . ( )i n it seαε β−= 16 2. MHHQ 3 biến - Khoảng tin cậy của βi Ví dụ 4.1: (SGK, tr.78), Cho biết Y: doanh thu, X2: chi phí chào hàng, X3: chi phí quảng cáo 12 khu vực bán hàng của công ty và bảng kết quả phân tích dữ liệu sau (đơn vị: triệu đồng/năm): A. Lập mô hình và viết phương trình ước lượng. B. Giải thích ý nghĩa các hệ số hồi quy. C. Xây dựng khoảng tin cậy của β2 và β3 với mức ý nghĩa 1% và giải thích ý nghĩa. 17 2. MHHQ 3 biến – R2 và R2 hiệu chỉnh (R2) Hệ số xác định R2 2 2 3 32 2 ˆ ˆ 1 i i i i i y x y xESS RSSR TSS TSS y β β+ = = − = ∑ ∑ ∑ R2 là một hàm không giảm của số lượng các biến giải thích trong mô hình hồi qui  khi số lượng các biến này tăng thì R2 hầu như luôn tăng theo.  không nên dùng chỉ số R2 để so sánh giữa các mô hình. Do đó, ta cần hiệu chỉnh lại R2 có tính đến số lượng biến X trong mô hình. Đó chính là .
 18 Hệ số xác định hiệu chỉnh Với k là tham số của mô hình, kể cả hệ số tự do 2 2 2 2 ( 1)( )1 1 (1 ) ( ) ( 1) i i e nn kR R y n k n −− = − = − − − − ∑ ∑ 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) Khi k > 1  , điều này có nghĩa là khi số lượng biến X tăng thì R2 hiệu chỉnh ít tăng hơn R2 thông thường. có thể âm và trong trường hợp đó nó được gán giá trị 0. 2 2 1R R< < 2R 19 Sử dụng để làm gì? 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) Người ta dùng để xem xét việc đưa thêm một biến vào mô hình. Biến mới đưa vào mô hình phải thỏa 2 điều kiện: - Làm tăng. - Khi kiểm định giả thiết hệ số hồi qui của biến này trong mô hình thì phải bác bỏ giả thiết H0, tức là hệ số phải có ý nghĩa. 2R 2R 2R - Nếu > thì chọn mô hình (1), tức là không cần đưa thêm biến X3 vào mô hình. Ngược lại, ta chọn mô hình (2). Cách sử dụng để quyết định đưa thêm biến vào mô hình: 20 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) Mô hình 2 biến (1) Mô hình 3 biến (2) i221i XˆˆYˆ ββ += i33i221i XˆXˆˆYˆ βββ ++= 2 1R 2 1R 2 1R 2 2R 2 2R 2 2R 2R 21 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) Xét lại Ví dụ 4.1: (SGK, tr.78), với: Y: doanh thu, X2: chi phí chào hàng, X3: chi phí quảng cáo tại 12 khu vực bán hàng của công ty Hãy so sánh R2 hiệu chỉnh của các mô hình để xem xét việc đưa thêm biến có hợp lý không (1) Y = β1 + β2.X2 + ui (2) Y = β1 + β2.X3 + ui (3) Y = β1 + β2.X2 + β3.X3 + ui 22 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) (1) Y = β1 + β2.X2 + ui 23 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) (2) Y = β1 + β2.X3 + ui 24 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) (3) Y = β1 + β2.X2 + β3.X3 + ui 25 2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) So sánh R2 giữa các mô hình:
Cùng n.
Cùng số biến độc lập (không cùng số biến độc lập thì dùng hệ số xác định hiệu chỉnh).
Biến phụ thuộc cùng dạng. 2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đối với βi Kiểm đinh t 26  Giả thuyết không:  Giả thuyết đối: CÁCH 1  Bước 1: Tính giá trị  Bước 2: Tra bảng t-student tìm  Bước 3: Quy tắc ra quyết định  Nếu bác bỏ H0  Nếu chấp nhận H0 * 0 * 1 : : ii i i H H β β β β = ≠ * ˆ ˆ( ) i i i i t s e β β β − = ( 3, /2)i nt t α−> ( 3, /2)nt α− ( 3, /2)i nt t α−≤ 2. MHHQ 3 biến - Kiểm định giả thiết đối với βi Kiểm đinh bằng khoảng tin cậy 27 CÁCH 2: Phương pháp khoảng tin cậy Giả sử ta tìm được khoảng tin cậy của βi là: , với mức ý nghĩa α trùng với mức ý nghĩa của giả thiết H0 Quy tắc quyết định - Nếu “chấp nhận” H0 - Nếu bác bỏ H0 )ˆ;ˆ( iiiii εβεββ +−∈ )ˆ()2/,3( ini Set βε α−= )ˆ;ˆ(* iiiii εβεββ +−∈ )ˆ;ˆ(* iiiii εβεββ +−∉ 2. MHHQ 3 biến - Kiểm định giả thiết đối với βi Kiểm đinh bằng P-value 28 CÁCH 3: Phương pháp P-value Tính Quy tắc quyết định - Nếu p ≤ α : Bác bỏ H0 - Nếu p > α : “chấp nhận” H0 (Phương pháp này thường dùng khi tiến hành trên máy vi tính) )ˆ( ˆ * i ii i Se t β ββ − = ptTP i => )( 29 2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đồng thời bằng không (tính phù hợp của mô hình) H0: β2 = β3 = 0 (mô hình không phù hợp) H1: ít nhất 1 trong 2 tham số khác 0 (MH phù hợp) CÁCH 1: Dùng kiểm định F Qui tắc quyết định: - F > Fα(2, n-3): Bác bỏ H0: Mô hình phù hợp - F ≤ Fα(2, n-3): Chấp nhận H0: Mô hình không phù hợp ( ) 2 2 ( 3 ) (1 ) 3 1 R nF R − = − − 30 2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đồng thời bằng không (tính phù hợp của mô hình) H0: β2 = β3 = 0 (mô hình không phù hợp) H1: ít nhất 1 trong 2 tham số khác 0 (MH phù hợp) CÁCH 2: Dùng p- value của F Quy tắc quyết định - Nếu p ≤ α : Bác bỏ H0 - Nếu p > α: Chấp nhận H0 (Phương pháp này thường dùng dựa trên kết quả Eviews) 31 Ví dụ kiểm định: (SGK, tr.78), Cho biết Y: doanh thu, X2: chi phí chào hàng, X3: chi phí quảng cáo 12 khu vực bán hàng của công ty và bảng kết quả phân tích dữ liệu sau (đơn vị: triệu đồng/năm): D. Chi phí chào hàng và chi phí quảng cáo có ảnh hưởng đến doanh thu không với mức ý nghĩa 1%? E. Với mức ý nghĩ 10%, mô hình có phản ảnh tốt dữ liệu thực tế không? 2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đồng thời bằng không (tính phù hợp của mô hình) (tt) 3. MÔ HÌNH HỒI QUI TUYẾN TÍNH K BIẾN 32 3. MHHQ tuyến tính k biến - Dạng hàm 33 Mô hình hồi qui tuyến tính k biến (PRF): E(Y/X2i,,Xki) = β1+ β2X2i ++ βkXki Yi = β1+ β2X2i ++ βkXki + Ui Trong đó: Y - biến phụ thuộc X2, , Xk - các biến độc lập β1 là hệ số tự do βj là các hệ số hồi qui riêng, cho biết khi Xj tăng 1 đơn vị thì trung bình của Y sẽ thay đổi βj đơn vị với điều kiện các yếu tố khác không đổi (j=2,,k). 3. MHHQ tuyến tính k biến - Dạng hàm (tt) 34 Trình bày dưới dạng ma trận: (tr.88, SGK) Y1 β1 U1 Y2 β2 U2 Y = ; β= ; U = Yn βk Un1 X21 X31 ... Xk1 1 X22 X32 Xk2 ... 1 X2n X3n Xkn X= Y = βX+ U 35 3. MHHQ tuyến tính k biến - Các giả thiết  Giả thiết 1: Các biến độc lập phi ngẫu nhiên, giá trị được xác định trước.  Giả thiết 2: E(Ui) = 0 ∀i  Giả thiết 3: Var(Ui) =σ2 ∀i  Giả thiết 4: Cov(Ui, Uj) = 0 i ≠j  Giả thiết 5: Cov(Xi, Ui) = 0 ∀i  Giả thiết 6: Ui ~ N (0, σ2) ∀i  Giả thiết 7: Không có hiện tượng cộng tuyến giữa các biến độc lập. 36 3. MHHQ tuyến tính k biến - Ước lượng Yi = β1+ β2X2i + + βkXki+Ui (PRF) (i = 1,, n) Hàm hồi qui mẫu (SRF): Theo phương pháp OLS, (j= 1,2,,k) phải thoả mãn: jˆβ ∑ →mine2i ikikiiii eXXeYY ++++=+= βββ ˆ...ˆˆˆ 221 ⇔         = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ ∑ 0 ˆ e 0 ˆ e k 2 i 1 2 i β β ⋮       =−−−−− =−−−−− ∑ ∑ 0))(ˆ...ˆˆ(2 0)1)(ˆ...ˆˆ(2 221 221 kikikii kikii XXXY XXY βββ βββ ⋮ Viết hệ dưới dạng ma trận: ( ) YXˆXX TT =β ( ) ( )YXXX TT 1ˆ −=⇒ β 3. MHHQ tuyến tính k biến - Ước lượng (tt)               = ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ 2 kii3kii2kiki kii2i3i2 2 i2i2 kii3i2 T X...XXXXX XX...XXXX X...XXn XX ⋮⋮               = k 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ β β β β ⋮               = ∑ ∑ ∑ iki ii2 i T YX YX Y YX ⋮ 3. MHHQ tuyến tính k biến - Ước lượng (tt) ( ) ( )YXXX TT 1ˆ −=β Xét mô hình: Gọi rtj là hệ số tương quan tuyến tính giữa biến thứ t và thứ j. Trong đó Y được xem là biến thứ 1. Ma trận tương quan tuyến tính có dạng: kiki221i Xˆ...XˆˆYˆ βββ +++=             1...rr ...... r...1r r...r1 2k1k k221 k112 3. MHHQTT k biến - Ma trận tương quan (tt) Y X2 X3 Y 1 X2 0.8968 1 X3 0.7843 0.4788 1 Ví dụ 4.1: (SGK, tr.78) Để tính ma trận hiệp phương sai của các hệ số, áp dụng công thức:               = )ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov( ...... )ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov( )ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar( )ˆcov( k2k1k k2212 k1211 βββββ βββββ βββββ β 21T )XX()ˆcov( σβ −= 3. MHHQTT k biến - Ma trận hiệp phương sai Khoảng tin cậy của các hệ số hồi qui Khoảng tin cậy của βj (j =1,2, , k) là : Trong đó, k là số tham số trong mô hình. )()ˆ(ˆ 2/ kntse jj −± αββ 3. MHHQTT k biến – Khoảng tin cậy a. Kiểm định đối với hệ số hồi qui Giả thiết H0 : βj = a (=const) ( j = 1, 2, , k) Cách kiểm định hoàn toàn tương tự như ở mô hình hồi qui hai biến (dùng trị thống kê t, khoảng tin cậy, mức ý nghĩa chính xác, tức p-value), chỉ khác duy nhất ở bậc tự do của thống kê t là (n-k). 3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết Nếu p(F* > F) ≤ α Nếu F > Fα(k-1, n-k) )kn/()R1( )1k/(R F 2 2 −− − = b. Kiểm định giả thiết đồng thời H0: β2 = β3 == βk = 0 ⇔ H0 : R2 = 0 H1: ∃ βj ≠ 0 (2 ≤ j ≤ k) ⇔ H1 : R2 ≠ 0 Cách kiểm định: -Tính ⇒ bác bỏ H0 Nghĩa là tất cả hệ số hồi qui không đồng thời bằng không hay hàm hồi qui phù hợp. 3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt) Xét mô hình (U) sau đây: Yi = β1+ β2X2i + β3X3i+ β4X4i+ β5X5i+Ui (U) được xem là mô hình không hạn chế. Ví dụ 1: Với mô hình (U), cần kiểm định H0 : β2= β5= 0 Áp đặt giả thiết H0 lên mô hình (U), ta có mô hình hạn chế (R) như sau: Yi = β1+ β3X3i + β4X4i+Ui (R) Để kiểm định H0, ta dùng kiểm định Wald. c. Kiểm định Wald (tham khảo) 3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt) Các bước kiểm định Wald: - Hồi qui mô hình (U)  thu được RSSU. - Hồi qui mô hình (R)  thu được RSSR. - Tính dfU: bậc tự do của (U) dfR: bậc tự do của (R) - Nếu p (F* > F) ≤ α Nếu F > Fα(dfR- dfU, dfU) ⇒ bác bỏ H0 UU URuR dfRSS dfdfRSSRSSF / )/()( −− = c. Kiểm định Wald (tham khảo) (tt) 3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt) Ví dụ 2: Với mô hình (U), kiểm định H0 : β2= β3= β4=0 Áp đặt H0 lên (U), ta có mô hình (R): Yi = β1+ β2X2i + β2X3i+ β2X4i+ β5X5i+Ui hay Yi = β1+ β2(X2i+X3i+X4i) + β5X5i+Ui Đến đây, áp dụng các bước kiểm định Wald cho giả thiết H0. c. Kiểm định Wald (tham khảo) (tt) 3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt) Ví dụ 3: Với mô hình (U), kiểm định H0 : β2+ β3= 1 Thực hiện tương tự như các ví dụ trên, bằng các áp đặt H0 lên (U), ta có mô hình hạn chế (R): Yi= β1+ β2X2i+(1- β2)X3i+ β4X4i+ β5X5i+Ui (Yi - X3i) = β1+ β2(X2i -X3i)+ β4X4i+ β5X5i+Ui * Chú ý: Trong Eviews, thủ tục kiểm định Wald được viết sẵn, bạn chỉ cần gõ vào giả thiết bạn muốn kiểm định rồi đọc kết quả. c. Kiểm định Wald (tham khảo) (tt) 3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt) a. Dự báo giá trị trung bình Cho X20, X30, , Xk0. Dự báo E(Y).  Dự báo điểm của E(Y):  Dự báo khoảng của E(Y): 0 kk 0 2210 Xˆ...XˆˆYˆ βββ +++= )]()ˆ(ˆ;)()ˆ(ˆ[ 2/002/00 kntYseYkntYseY −+−− αα 3. MHHQTT k biến – Dự báo Trong đó: Var( ) = X0T(XTX)-1X0 σ2 với             = 0 k 0 20 X X 1 X ⋮0 Yˆ b. Dự báo giá trị cá biệt của Y khi X=X0. Trong đó: )]()ˆ(ˆ;)()ˆ(ˆ[ 2/0002/000 kntYYseYkntYYseY −−+−−− αα 2 000 )Yˆ(Var)YˆY(Var σ+=− 3. MHHQTT k biến – Dự báo  Hàm sản xuất Cobb – Douglas trong đó: Y là sản lượng X2 là lượng lao động X3 là lượng vốn Ui là sai số ngẫu nhiên. Từ công thức đó ta thấy quan hệ giữa biến phụ thuộc và các biến độc lập không phải là quan hệ tuyến tính. 3. MHHQTT k biến – Một số dạng hàm 32 1 2 3 iU i i i Y X X e βββ=  Hàm sản xuất Cobb – Douglas (tt) Nếu lấy logarit hai vế, ta được Khi đó ta có mô hình hồi quy tuyến tính logarit.
β2 là độ co giãn riêng của sản lượng đối với lao động, nó cho biết sản lượng tăng (hay giảm) bao nhiêu phần trăm khi lượng lao động tăng (hay giảm) 1% mà lượng vốn không thay đổi.
Tương tự, β3 là độ co giãn riêng của sản lượng đối với lượng vốn khi lượng lao động không thay đổi. 3. MHHQTT k biến – Một số dạng hàm (tt) 32 1 2 3 iU i i i Y X X e βββ= β β β β β β = + + + = + + + 1 2 2 3 3 0 2 2 3 3 ln ln ln ln ln ln i i i i i i i Y X X U X X U  Các mô hình hồi qui đa thức Hàm hồi quy đa thức bậc k là hàm có dạng: Trong hàm hồi quy này ta thấy chỉ có một biến độc lập X ở vế phải nhưng nó xuất hiện với những lũy thừa khác nhau nên mô hình trở thành hồi quy bội tuyến tính đối với các tham số. 2 0 1 2 ... k i i i k i iY X X X Uβ β β β= + + + + + 3. MHHQTT k biến – Một số dạng hàm (tt)