Bài giảng Định lý biến thiên động năng

NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 1 - CHUYÊN Ĉӄ: ĈӎNH LÝ BIӂN THIÊN ĈӜNG NĂNG. I. CѪ SӢ LÝ THUYӂT: 1. CÁC ĈӎNH NGHƬA: 1.1. ĈӜNG NĂNG: UĈӝng năng cӫa mӝt chҩt ÿLӇm có khӕi lѭӧng m, chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc v là ÿҥi lѭӧng vô hѭӟng ÿѭӧc kí hiӋu là T: 2 2 1 mvT (1) UĈӝng năng cӫa hӋ gӗm N chҩt ÿLӇm là ÿҥi lѭӧng vô hѭӟng bҵng tәng ÿӝng Qăng cӫa tҩt cҧ các chҩt ÿLӇm cӫa hӋ. ¦ )2 1( 2kk vmT (2) UĈӝng năng là ÿҥi lѭӧng vұt lí ÿһc trѭng cho năng lѭӧng cѫ hӑc cӫa hӋ khi chuyӇn ÿӝng. Ĉѫn vӏ cӫa ÿӝng năng là Jun (J). 3 Các công thͱc tính ÿ͡ng năng cͯa v̵t r̷n chuy͋n ÿ͡ng: U Vұt rҳn có khӕi lѭӧng m chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn, có vұn tӕc khӕi tâm cv : 2 2 1 cmvT (3) U Vұt rҳn quay quanh trөc ' cӕÿӏnh vӟi vұn tӕc góc Z và có mô men quán tính ÿӕi vӟi trөc quay là 'J : 2 2 1 Z' JT (4) U Vұt rҳn có khӕi lѭӧng m chuyӇn ÿӝng song phҷng, có vұn tӕc khӕi tâm cv và Yұn tӕc góc Z : 222 2 1 2 1 2 1 ZZ pcc JJmvT  (5) Trong ÿó pc JJ , lҫn lѭӧt là mômen quán tính cӫa vұt ÿӕi vӟi khӕi tâm và tâm quay tӭc thӡi P. U NӃu vұt có dҥng dây, băng tҧi (vұt biӃn dҥng) thì cҫn xem vұt thӇ gӗm vô sӕ các chҩt ÿLӇm và sӱ dөng công thӭc (2) ÿӇ tính ÿӝng năng. 1.2. CÔNG CӪA LӴC: U Công cӫa lӵc biӇu thӏ năng lѭӧng mà lӵc ÿó ÿã cung cҩp thêm hoһc làm hao Wәn cho cѫ hӋ trong quá trình chuyӇn ÿӝng. U Công nguyên tӕ cӫa lӵc F (tӭc là công cӫa lӵc trong khoҧng thӡi gian vô cùng bé dt) là ÿҥi lѭӧng vô hѭӟng. dsFdtvFrdFdA Dcos Trong ÿó D là góc hӧp giӳa lӵc và phѭѫng tiӃp tuyӃn cӫa quӻÿҥo. 3 Công cͯa các l͹c th˱ͥng g̿p: U Công cӫa trӑng lӵc: PhA r Trong ÿó h là ÿӝ cao di chuyӇn cӫa ÿLӇm ÿһt trӑng lӵc. Lҩy dҩu cӝng hoһc trӯ tùy thuӝc vào ÿLӇm ÿһt cӫa trӑng lӵc ÿѭӧc hҥ xuӕng hoһc nâng lên. U Công cӫa lӵc ÿàn hӗi khi ÿLӇm ÿһt di chuyӇn theo phѭѫng tác dөng cӫa lӵc: NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 2 - 1Z r A C B r )( 2 1 2 2 2 1 xxkA  U Công cӫa ngүu lӵc có vec tѫ mô men M tác dөng lên vұt quay quanh trөc ' : M' MA Trong ÿó constM ' là hình chiӃu cӫa vec tѫ mô men ngүu lӵc M trên trөc quay ' . U Công cӫa ngүu lӵc ma sát lăn trong di chuyӇn hӳu hҥn cӫa bánh xe (trѭӡng Kӧp phҧn lӵc pháp tuyӃn có trӏ sӕ không ÿәi trong quá trình bánh xe lăn). MkNA  1.3. CÁC VÍ DӨ TÌM ĈӜNG NĂNG CӪA CѪ Hӊ VÀ CÔNG CӪA LӴC: Câu 1: Mӝt băng tҧi vұt liӋu ÿang hoҥt ÿӝng. Cho biӃt vұt ÿѭӧc tҧi A có khӕi lѭӧng m1, các trөc quay B và C là các trөc ÿӗng chҩt có cùng bán kính r và khӕi lѭӧng m2, băng tҧi là dây không dãn, ÿӗng chҩt có chiӅu dài l và khӕi lѭӧng m3ÿѭӧc phân bӕÿӅu. Bӓ qua Vӵ trѭӧt giӳa vұt A và băng, tính ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ theo vұn tӕc góc cӫa trөc dүn gҳn Yӟi ròng rӑc B. Giҧi: Ĉӝng năng cӫa cѫ hӋÿѭӧc tính nhѭ sau: T = TA + TB + TC + TEăng Trong ÿó TA, TB, TC, TEăng lҫn lѭӧt là ÿӝng năng cӫa các vұt A, B, C, và băng tҧi. Ta có : 9ұt A chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn thҳng: 212 1 AA vmT Hai ròng rӑc B và C chuyӇn ÿӝng quanh các trөc cӕÿӏnh : 2112 1 ZJTB ; 2222 1 ZJTC %ăng tҧi là vұt biӃn dҥng ÿӇ tính ÿӝng năng cӫa nó ta chia băng tҧi thành nhiӅu phҫn tӱ, mӛi phҫn tӱ xem nhѭ là mӝt chҩt ÿLӇm có khӕi lѭӧng mk và có cùng vұn tӕc vA (vì dây không giãn và giӳa vұt A và băng không có sӵ trѭӧt) nên: TEăng = 2322 2 1 2 1 2 1 AkAAk vmmvvm ¦¦ 0һt khác ta có: rrvA 21 ZZ Ngoài ra 21 , JJ lҫn lѭӧt là mô men quán tính cӫa các vұt B và C ÿӕi vӟi trөc quay riêng cӫa chúng: 2 2 2 21 rmJJ 9ұy biӇu thӭc ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ là: 2 321 2 1 2 321 )( 2 1 )( 2 1 Avmmm rmmmT   Z Câu 2: Con lăn hình trө tròn A ÿӗng chҩt có khӕi lѭӧng m1, lăn không trѭӧt trên mһt phҷng ngang, ÿѭӧc quҩn dây vҳt qua ròng rӑc B có bán kính r và mô men quán tính ÿӕi Yӟi trөc quay là J0, ÿҫu kia cӫa dây buӝc vұt D có khӕi lѭӧng m2.Bӓ qua khӕi lѭӧng cӫa dây. BiӃt vұt D chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc vD, hãy tìm ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ. NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 3 - AZ vD D B A BZ VC C R Giҧi: &ѫ hӋ gӗm 3 vұt con lăn A chuyӇn ÿӝng song phҷng, ròng rӑc B chuyӇn ÿӝng quay và vұt D chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn. Ĉӝng năng cӫa hӋÿѭӧc tính nhѭ sau: 2220221 2 1 2 1) 2 1 2 1( DBAccDBA vmJJvmTTTT   ZZ Trong ÿó: 212 1; 2 ; 2 ; RmJvRv R v r v c D Ac D A D B ZZZ Thay các giá trӏ này vào biӇu thӭc tính ÿӝng năng ta ÿѭӧc: 2 2 0 21 )8 3( 2 1 Dvr JmmT  Câu 3: Cѫ cҩu culit gӗm tay quay OC ÿӗng chҩt có chiӅu dài R và khӕi lѭӧng m1 quay quanh trөc cӕÿӏnh O, con trѭӧt A có khӕi lѭӧng m2 có thӇ di chuyӇn dӑc theo tay quay OC và truyӅn chuyӇn ÿӝng cho thanh AB có khӕi lѭӧng m3 trѭӧt dӑc theo rãnh thҷng ÿӭng. Tìm ÿӝng năng cӫa cѫ hӋÿó tҥi vӏ trí tay quay có vұn tӕc góc Z và tҥo góc M vӟi phѭѫng nҵm ngang. Cho biӃt khoҧng cách tӯ trөc O ÿӃn rãnh trѭӧt bҵng l. Giҧi: &ѫ hӋ gӗm tay quay OC chuyӇn ÿӝng quanh O, con trѭӧt A ÿѭӧc xem nhѭ chҩt ÿLӇm, thanh AB chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn. ĈӇ tìm liên hӋ cӫa cѫ cҩu culit ta phҧi phân tích chuyӇn ÿӝng phӭc hӧp cӫa con trѭӧt A vӟi hӋÿӝng là tay quay OC. ChuyӇn ÿӝng tѭѫng ÿӕi cӫa A là chuyӇn ÿӝng thҷng dӑc theo OC, chuyӇn ÿӝng theo là chuyӇn ÿӝng quay O Z C B A M l Va Ve Vr NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 4 - Fӫa hӋÿӝng OC quanh O, do ÿó phѭѫng vұn tӕc theo ev vuông góc vӟi OC và có trӏ sӕ là: ZMZ cos lOAve . Áp dөng ÿӏnh lý hӧp vұn tӕc ta ÿѭӧc: rea vvv  M Z M 2coscos lvv ea 9ұn tӕc tӏnh tiӃn cӫa thanh AB cNJng chính là vұn tӕc cӫa con trѭӧt A, ta tìm ÿѭӧc ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ nhѭ sau:  )(3cos cos6 cos )( 2 1) 3 1( 2 1 2 1 2 1 2 1 32 242 14 2 2 232 22 1 2 3 2 2 2 0 mmlRm lmmRm vmvmJ TTTT AA ABAoc  ¸¸¹ · ¨¨© §   MM Z M ZZ Z Câu 4: Con lăn hình trө tròn có khӕi lѭӧng m1 và bán kính r lăn không trѭӧt trên mһt phҷng ngang vӟi vұn tӕc tҥi khӕi tâm O là V0. Thanh thҷng ÿӗng chҩt OB có khӕi Oѭӧng m2 và chiӅu dài l, quay ÿӅu quanh trөc O cӫa con lăn A theo quy luұt tZM . Bán kính quán tính cӫa con lăn A ÿӕi vӟi trөc O là U . Tìm ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ. Giҧi: &ѫ hӋ gӗm con lăn A và thanh OB ÿӅu chuyӇn ÿӝng song phҷng. Ĉӝng năng cӫa Fѫ hӋÿѭӧc tính nhѭ sau: ) 2 1 2 1() 2 1 2 1( 222 2 0 2 01 ZZ ccA JvmJvmT  Trong ÿó ZZ ;0 r v A là vұn tӕc góc tѭѫng ÿӕi cӫa thanh OB ÿӕi vӟi hӋ tӑa ÿӝ ÿӝng Oxy tӏnh tiӃn cùng khӕi tâm O và cNJng là vұn tӕc góc cӫa thanh OB quay quanh khӕi tâm C. Vұn tӕc tuyӋt ÿӕi cӫa khӕi tâm C ÿѭӧc tìm bҵng ÿӏnh lý hӧp vұn tӕc. rea vvv  P2 A B x y Z AZ r Ve Vr O M C M NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 5 - 9ӟi 0;2 vvlv er Z ; ta có: Mcos2222 ererc vvvvv  tvlvlvc ZZ Z cos 4 0 2 0 22 2  Thay các giá trӏ tìm ÿѭӧc ӣ trên vào biӇu thӭc tính ÿӝng năng ta ÿѭӧc: ¸ ¹ ·¨ © § ¸¸¹ · ¨¨© §  ¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¹ ·¨ © §  2 00 22 22 2 2 01 22 2 2 00 22 2 202 1 2 01 cos 3 1 2 11 2 1 ) 12 1( 2 1cos 42 1))(( 2 1 2 1 vtvllm r vm lmvtvllm r v mvmT ZZZU ZZZZU Câu 5: Con lăn A có trӑng lѭӧng P1, bán kính vành trong và vành ngoài là r và R, lăn không trѭӧt trên mһt phҷng nҵm ngang dѭӟi tác dөng cӫa mô men quay M = const. Vành trong cӫa cong lăn ÿѭӧc quҩn dây và vҳt qua ròng rӑc B ÿӗng chҩt, bán kính r1. ÿҫu kia cӫa dây buӝc vұt nһng D có trӑng lѭӧng P3, có thӇ trѭӧt trên mһt phҷng nghiêng góc D vӟi phѭѫng nҵm ngang. HӋ sӕ ma sát lăn giӳa con lăn vӟi mһt phҷng ngang là k. +Ӌ sӕ ma sát trѭӧt giӳa D vӟi mһt phҷng nghiêng là f. Mô men cҧn tҥi trөc quay O là Mc = const. Tìm tәng công cӫa các lӵc tác dөng lên cѫ hӋ trong di chuyӇn mà vұt D ÿi ÿѭӧc ÿRҥn ÿѭӡng SD. Giҧi: &ѫ hӋ gӗm 3 vұt, con lăn A chuyӇn ÿӝng song phҷng, ròng rӑc B chuyӇn ÿӝng quay và vұt nһng D chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn. Khi vұt D chuyӇn ÿӝng ÿѭӧc ÿRҥn ÿѭӡng sD Gӑc mһt phҷng nghiêng, vұt B quay ÿѭӧc góc BM , trөc C cӫa con lăn ÿi ÿѭӧc ÿRҥn ÿѭӡng sC và con lăn A quay ÿѭӧc góc AM . Tәng công cӫa các lӵc tác dөng lên cѫ hӋ trong di chuyӇn ÿó bҵng: DDBcAA sfNsPMkNMA 331 sin  ¦ DMMM ĈӇ tìm các di chuyӇn qua di chuyӇn sD, ta dӵa vào liên hӋ giӳa các vұn tӕc: ACADBD RvrRvrv ZZZ  ;)(;1 Tích phân hai vӃ cӫa các ÿҷng thӭc trên, ta tìm ÿѭӧc liên hӋ giӳa các di chuyӇn: ACADBD RsrRsrs MMM  ;)(;1 Hay: rR Rss rR s r s D C D A D B   ;; 1 MM r1 A B D Ml r R Mc M D sC C AM sD BM P3 NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 6 - 0һt khác ta lҥi có: Dcos; 3311 PNPN Thay các giá trӏ tìm ÿѭӧc vào biӇu thӭc tính công cӫa các lӵc ta ÿѭӧc: DDcD sfPr sM rR skPMA )cos(sin)( 3 1 1 DD  ¦ 2. CÁC ĈӎNH LÝ BIӂN THIÊN ĈӜNG NĂNG: 2.1. ĈӎNH LÝ BIӂN THIÊN ĈӜNG NĂNG DҤNG HӲU HҤN: U BiӃn thiên ÿӝng năng cӫa hӋ trong di chuyӇn hӳu hҥn bҵng tәng công cӫa tҩt Fҧ các lӵc tác dөng lên cѫ hӋ trong di chuyӇn ÿó. ¦  kATT 0 Trong ÿó: T và T0 lҫn lѭӧt là ÿӝng năng cӫa hӋ tҥi thӡi ÿLӇm ÿang xét và thӡi ÿLӇm ÿҫu. ¦ kA là tәng công hӳu hҥn cӫa các lӵc. 2.2. ĈӎNH LÝ BIӂN THIÊN ĈӜNG NĂNG DҤNG VI PHÂN: U Vi phân ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ trong di chuyӇn vô cùng bé cӫa hӋ bҵng tәng công nguyên tӕ cӫa các lӵc tác dөng lên cѫ hӋ trong di chuyӇn ÿó. ¦ kdAdT Hay: ¦ kWdt dT Trong ÿó: T là ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ tҥi thӡi ÿLӇm bҩt kǤ, ¦ kdA và ¦ kW là tәng công nguyên tӕ và tәng công suҩt cӫa các lӵc. 2.3. CÁC VÍ DӨ ÁP DӨNG: Câu 1: Vұt A có khӕi lѭӧng m1ÿѭӧc ÿһt trên mһt phҷng ngang nhҹn, gҳn bҧn lӅ tҥi O Yӟi thanh ÿӗng chҩt OB có khӕi lѭӧng m2 và chiӅu dài l. HӋ bҳt ÿҫu chuyӇn ÿӝng tӯ trҥng thái tƭnh, khi ÿó thanh OB nҵm ngang. Bӓ qua ma sát tҥi bҧn lӅ O. Tìm vұn tӕc Fӫa vұt A tҥi thӡi ÿLӇm khi thanh OB ӣ vӏ trí thҷng ÿӭng. Giҧi: Xét cѫ hӋ gӗm vұt a chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn và thanh OB chuyӇn ÿӝng song phҷng. Áp dөng ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng dҥng hӳu hҥn: ¦  ATT 0 Ban ÿҫu hӋÿӭng yên, do ÿó T0 = 0. Tҥi vӏ trí thanh OB thҷng ÿӭng, vұt A có vұn Wӕc Av còn thanh OB có vұn tӕc góc Z , ÿӝng năng cӫa hӋ tҥi vӏ trí ÿó bҵng: ) 2 1 2 1( 2 1 22 2 2 1 ZccA JvmvmT  (1) A0 B0 l O P1 x x1 y1 O1 ve y A0 A O B P2 vr vA Z C N NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 7 - P A B Q M R 9ұn tӕc tuyӋt ÿӕi cӫa khӕi tâm C cӫa thanh OB ÿӕi vӟi hӋ tӑa ÿӝ cӕÿӏnh O1x1y1 Eҵng tәng cӫa vec tѫ vұn tӕc tѭѫng ÿӕi 2 Zlvr ÿӕi vӟi hӋ tӑa ÿӝÿӝng Oxy, chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn cùng vӟi vұt A, và vec tѫ vұn tӕc theo ve = vA; ta có: 2 Zlvv Ac  Thay giá trӏ này vào (1) vӟi lѭu ý 2212 1 lmJ c ta ÿѭӧc: 2222221 )12 1( 2 1) 2 ( 2 1 2 1 ZZ lmlvmvmT AA  (2) ĈӇ tìm vұn tӕc góc Z là vұn tӕc góc tѭѫng ÿӕi cӫa thanh OB ÿӕi vӟi hӋ tӑa ÿӝ ÿӝng Oxy ÿӗng thӡi cNJng là vұn tӕc góc tuyӋt ÿӕi ÿӕi vӟi hӋ cӕÿӏnh O1x1y1, ta chú ý ngoҥi lӵc P1, P2, N tác dөng lên hӋ luôn vuông gӕc vӟi trөc O1x1, do ÿó ÿӝng lѭӧng cӫa KӋÿѭӧc bҧo toàn theo trөc O1x1. Ban ÿҫu hӋÿӭng yên, do ÿó tҥi vӏ trí thҷng ÿӭng ÿӝng Oѭӧng cӫa hӋ bҵng: lm vmm lvvm A AA 2 21 1 )(2 0) 2 (  Ÿ  Z Z Thay giá trӏ vұn tӕc góc vào biӇu thӭc (2) ta tìm ÿѭӧc ÿӝng năng cӫa hӋ nhѭ sau: 2 2 2121 6 )4)(( Avm mmmmT  Trong di chuyӇn cӫa hӋ chӍ có trӑng lӵc P2 sinh công và bҵng: ¦ 22 lgmA 9ұy vұn tӕc cӫa vұt A khi thanh OB ӣ vӏ trí thҷng ÿӭng là: )4)(( 3 2121 2 mmmm glmvA  Câu 2: Mӝt vұt A có trӑng lѭӧng P ÿѭӧc kéo lên tӯ trҥng thái ÿӭng yên nhӡ ròng rӑc B là ÿƭa tròn ÿӗng chҩt có bán kính R, trӑng lѭӧng Q và chӏu tác dөng ngүu lӵc có mô men M không ÿәi. Tìm vұn tӕc cӫa vұt A khi nó ÿѭӧc kéo lên mӝt ÿRҥn bҵng h, tìm gia Wӕc vұt A. Giҧi: &ѫ hӋ gӗm vұt A chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn, ròng rӑc B quay quanh trөc cӕÿӏnh. Áp dөng ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng dҥng hӳu hҥn: ¦  ATT 0 Ta có T0 = 0, vì ban ÿҫu hӋÿӭng yên. Ĉӝng năng cӫa hӋ khi vұt A chuyӇn ÿӝng ÿѭӧc mӝt h là: 22 2 ) 2 1( 2 1 2 ZR g Q g PvTTT ABA   Ngoài ra ta có: ZRvA Yұy ÿӝng năng cӫa hӋ bҵng: g vQPT A 4 )2( 2 (1) 7әng công cӫa các lӵc: NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 8 - ¦  PhMA M Trong ÿó M là góc quay ÿѭӧc cӫa ròng rӑc khi vұt A ÿѭӧc nâng lên mӝt ÿRҥn h.: MRh 9ұy: hP R MA¦ ¸¹ ·¨ © §  (2) .Ӄt hӧp (1) và (2) ta ÿѭӧc: hP R M g vQP A ¸ ¹ ·¨ © §   4 )2( 2 h QPR PRMgvA )2( )(4   ĈӇ tìm gia tӕc cӫa vұt A ta áp dөng ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng dҥng vi phân nó ÿѭӧc viӃt nhѭ sau: const QPR PRMga vP R Mav g QP A AAA   Ÿ ¸ ¹ ·¨ © §   )2( 2 2 )2( Câu 3: Mӝt tҩm nһng có khӕi lѭӧng m, ÿѭӧc ÿһt nҵm ngang trên hai con lăn, mӛi con Oăn là mӝt khӕi trө tròn xoay ÿӗng chҩt có bán kính r và khӕi lѭӧng m1. Tác dөng vào Wҩm mӝt lӵc F nҵm ngang có ÿӝ lӟn không ÿәi. HӋ sӕ ma sát lăn giӳa con lăn vӟi mһt QӅn là k. Các con lăn lăn không trѭӧt trên nӅn và tҩm nһng không trѭӧt ÿӕi vӟi các con Oăn. Tìm gia tӕc cӫa tҩm và tìm lӵc ma sát trѭӧt tәng cӝng do mһt nӅn tác dөng lên các con lăn. Bӓ qua ma sát lăn giӳa tҩm và các con lăn. Giҧi: +Ӌ gӗm tҩm nһng chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn, các con lăn chuyӇn ÿӝng song phҷng. Các lӵc tác dөng lên hӋ sinh công gӗm có lӵc F , các ngүu lӵc ma sát lăn do nӅn tác Gөng lên các con lăn, chúng có mô men lҫn lѭӧt là: Ml1 = kN1, Ml2 = kN2. ĈӇ tìm gia tӕc cӫa tҩm nһng ta có thӇ áp dөng ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng dҥng ÿҥo hàm nhѭ sau: ¦ Wdt dT Ĉӝng năng cӫa hӋ gӗm ÿӝng năng cӫa tҩm nһng và hai con lăn: ¸¸¹ · ¨¨© §  22 2 2 1 21 2 112 ZJvmmvT Vì không có hiӋn tѭӧng trѭӧt giӳa con lăn và nӅn, giӳa con lăn và tҩm nên: r v r vvv 2 ; 2 1 1 Z v1 v v1 Ml1 Ml2 F NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 9 - Trong ÿó v là vұn tӕc cӫa tҩm nһng, v1 và Z là vұn tӕc và vұn tӕc góc cӫa các con lăn. 9ұy ÿӝng năng cӫa hӋ : 24 34 21 vmmT  Bây giӡ ta tính tәng công suҩt cӫa lӵc F và cӫa các nguү lӵc ma sát lăn. vPPP r kFPPPkFv NNkFvMMFvW ll ¸ ¹ ·¨ © §     ¦ )()( )()( 2121 2121 Z ZZ Ĉӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng dҥng ÿҥo hàm cho ta: 1 1 1 21 21 1 34 )2( 4 34 )( 4 )( 4 34 mm gmm r kF mm PPP r kF a vPPP r kFvamm     Ÿ ¸ ¹ ·¨ © §   ĈӇ tìm lӵc ma sát tәng cӝng do nӅn tác dөng lên các con lăn ta viӃt phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng khӕi tâm cho hӋ: ¦¦¦   kkms NPFFamam 112 Khi chiӃu phѭѫng trình vec tѫ nhұn ÿѭӧc lên trөc nҵm ngang ta ÿѭӧc: ¦  msFFamma 112 Chú ý rҵng: 12aa ta tìm ÿѭӧc: ammFFms )( 1 ¦ (vӟi a ÿѭӧc tính nhѭ trên). Câu 4: Mӝt thanh ÿӗng chҩt AB có chiӅu dài 2a, quay ÿѭӧc quanh trөc A cӕÿӏnh còn ÿҫu B tӵa trên sàn. TruyӅn cho thanh vұn tӕc góc ban ÿҫu 0Z và khi thanh ӣ vӏ trí nҵm ngang liên kӃt tҥi A bӏ mҩt. TiӃp theo thanh chuyӇn ÿӝng tӵ do trong mһt phҷng thҷng ÿӭng dѭӟi tác dөng cӫa trӑng lӵc. Tìm giá trӏ cӫa vұn tӕc góc ÿҫu 0Z cӫa thanh ÿӇ khi thanh rѫi chҥm vào sàn thanh ӣ vӏ trí thҷng ÿӭng. Giҧi: ChuyӇn ÿӝng cӫa thanh gӗm hai giai ÿRҥn: giai ÿRҥn ÿҫu thanh tӯ vӏ trí thҷng ÿӭng ÿѭӧc truyӅn vұn tӕc gӕc 0Z , quay quanh trөc cӕÿӏnh qua A và kӃt thúc khi thanh Qҵm ӣ vӏ trí nҵm ngang và liên kӃt ӣ A bӏ mҩt; giai ÿRҥn thӭ hai liên kӃt ӣ A bӏ mҩt và thanh chuyӇn ÿӝng song phҷng. ĈLӅu kiӋn ÿҫu ӣ giai ÿRҥn hai là ÿLӅu kiӋn cuӕi cӫa giai ÿRҥn ÿҫu. ĈӇ tìm ÿLӅu kiӋn cuӕi cӫa giai ÿRҥn ÿҫu chúng ta áp dөng ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng dҥng hӳu hҥn: 0Z 1Z A B B’ NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 10 - ¦  ATT 0 Qua tính toán ta ÿѭӧc: PaJ A   )(2 1 2 0 2 1 ZZ Trong ÿó 1Z là vұn tӕc gӕc cӫa thanh khi nó quay ÿӃn vӏ trí ngang, JA là mô men quán tính cӫa thanh ÿӕi vӟi trөc qua A: 2 3 4 maJ A . Tӯÿó ta tìm ÿѭӧc: a g 2 32 0 2 1  ZZ (1) Trong giai ÿRҥn thӭ hai thanh chuyӇn ÿӝng song phҷng, phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng có dҥng nhѭ sau: .0;;0  Jcycxc Jmgmama Ta có các ÿLӅu kiӋn ÿҫu: 10010000 ;0;;0;0; ZZMZ avyvax yccxcc Khi tích phân ta nhұn ÿѭӧc: ttgtayax cc 1 2 1 ;2 ; ZMZ  ĈӇ khi thanh rѫi chҥm vào sàn ӣ vӏ trí thҷng ÿӭng, các ÿLӅu kiӋn sau phҧi thӓa mãn: ,....3,2,1,0; 2 )12(;  kkayc SM 9ұy ta có: tkatgta 1 2 1 2 )12(; 2 ZSZ   Khӱ t tӯ các phѭѫng trình này ta nhұn ÿѭӧc 1Z và thay biӇu thӭc này vào (1) ta ÿѭӧc: ¸¸¹ · ¨¨© §   2)12( )12(6 4 22 2 0 S SZ k k a g Câu 5: Mӝt chiӃc xe tăng ÿѭӧc khӣi ÿӝng nhӡ mӝt ÿӝng cѫ làm quay 4 bánh xe (mӛi bên hai bánh) kéo theo xích chuyӇn ÿӝng. Sau 8 giây kӇ tӯ lúc bҳt ÿҫu chuyӇn ÿӝng xe ÿҥt ÿѭӧc vұn tӕc 36 km/giӡ. Hãy xác ÿӏnh công suҩt trung bình cӫa ÿӝng cѫ, nӃu trӑng Oѭӧng cӫa hòm xe là P1 = 50.000N, trӑng lѭӧng mӛi bánh P2 = 2000N, trӑng lѭӧng mӛi xích P3 = 5000N. Bánh xe coi nhѭÿƭa tròn ÿӗng chҩt. Giҧi: &ѫ hӋ khҧo sát gӗm: thân xe chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn, bánh xe chuyӇn ÿӝng song phҷng (4 bánh), xích xe chia làm ba phҫn : ÿRҥn AB không chuyӇn ÿӝng, có vұn bҵng không; ÿRҥn CD chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn vӟi vұn tӕc bҵng hai lҫn vұn tӕc xe tăng; ÿRҥn ba Jӗm hai nӳa vành tròn kӃt hӧp AID và BIIC chuyӇn ÿӝng song phҷng(nhѭ hình vӁ). v A C B R D I II R v DC v R II AB I NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 11 - ĈӇ xác ÿӏnh công suҩt trung bình cӫa ÿӝng cѫ ta áp dөng công thӭc: t A W ¦ Trong ÿó ¦ A là tәng công cӫa các lӵc thӵc hiӋn ÿѭӧc khi xe tăng ÿi ÿѭӧc mӝt quãng ÿѭӡng nào ÿó trong thӡi gian t. 0һt khác theo ÿӏnh lý ÿӝng năng ta có: ¦  ATT 0 Mà T0 = 0 vì ban ÿҫu xe ÿӭng yên, vұy ta có: t TW Bây giӡ ta chӍ cҫn tính ÿӝng năng T cӫa xe khi nó chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc v = 36 km/giӡ. theo phân tích chuyӇn ÿӝng trên ta có: T = Thòm xe + T4 bánh + T2 xích Thòm xe = 212 1 v g P . T4 bánh = 22 2 2 222 2 2 2 2 3 2 4 22 4 2 4 2 4 v g P g vP g RPv g PJ o   ZZZ T2 xich = 2T(DC) + 2T (vành tròn) T(DC) = )(2 )2( )22(2 )2()( 2 3 2 3 2 Rlg lvPv Rlg lPvDCm SS   T(vành tròn) = 23 2 3 2 23 )(222 2 222 2. v Rlg RP g v Rl RP g R Rl RP S S S SZ S S   9ұy: T2 xích = g vP 232 Cuӕi cùng ta nhұn ÿѭӧc biӇu thӭc ÿӝng năng cӫa hӋ nhѭ sau: g vPPP g vP g vP g vPT 2 32 1 2 3 2 2 2 1 23 2 23 2 ¸ ¹ ·¨ © §   Yұy công suҩt cӫa ÿӝng cѫ là: gt vPPPT 2 32 1 23 2 ¸ ¹ ·¨ © §  ThӃ các giá trӏ mà ÿӅ cho ta ÿѭӧc: W = 51,250 kW. Câu 6: Mӝt cѫ cҩu hành tinh ÿһt trong mһt phҷng nҵm ngang chuyӇn ÿӝng tӯ trҥng thái ÿӭng yên nhӡ mӝt ngүu lӵc có momen không ÿәi M ÿһt vào tay quay OA. Tay quay OA quay quanh trөc cӕÿӏnh qua O làm cho bánh 2, là mӝt ÿƭa tròn ÿӗng chҩt có bán kính r2 và trӑng lѭӧng P, lăn không trѭӧt ÿӕi vӟi bánh 1 có bán kính r1 và cӕÿӏnh.Xem tay quay OA là thanh ÿӗng chҩt, có trӑng lѭӧng Q, bӓ qua các lӵc cҧn, xác ÿӏnh gia tӕc góc Fӫa tay quay. O r1 r2 A M NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 12 - Giҧi: +Ӌ gӗm: tay quay OA quay quanh trөc cӕÿӏnh qua O, bánh 2 chuyӇn ÿӝng song phҷng. DӉ dàng nhұn thҩy rҵng chӍ có ngүu lӵc sinh công, các trӑng lӵc không sinh công vì cѫ cҩu dһt trong mһt phҷng ngang. ĈӇ tìm gia tӕc góc cӫa tay quay ta áp dөng ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng: ¦ Wdt dT Ĉӝng năng cӫa hӋ bҵng tәng ÿӝng năng tay quay và hai bánh: T = TOA + T2 Tay quay OA quay quanh trөc cӕÿӏnh vӟi vұn tӕc góc Z nên: 2 2 212 3 )( 2 1 2 1 ZZ rr g QJT oOA  Bánh 2 chuyӇn ÿӝng song phҷng vӟi vұn tӕc góc 2Z và vұn tӕc khӕi tâm vA nên: 222222222 2 1 42 1 2 1 AAA vg Pr g Pv g PJT   ZZ BiӇu thӭc ÿӝng năng toàn hӋ là: 222222 2 21 2 1 43 )( 2 1 Avg Pr g Prr g QT  ZZ 1Ӄu xem ÿLӇm A nҵm trên tay quay OA thì: )( 21 rrvA  Z 0һt khác có thӇ xem ÿLӇm A thuӝc bánh song phҷng 2, có tâm vұn tӕc là ÿLӇm tiӃp xúc: 22rvA Z 7ӯÿó ta có: )1( 2 1 2 r r ZZ Thay các ÿҥi lѭӧng vӯa tính ÿѭӧc vào biӇu thӭc ÿӝng năng ta ÿѭӧc: 2221 )(6 92 2 1 Zrr g PQT  'Ӊ dàng tính ÿѭӧc: dt drr g PQ dt dT ZZ221 )(6 92  Vì chӍ có ngүu lӵc sinh công nên ta có: ZMW ¦ 9ұy ÿӏnh lý biӃn thiên ÿӝng năng cho ta: ZZZ M dt drr g PQ  221 )(6 92 9ұy ta có gia tӕc góc cӫa tay quay là: const rrPQ Mg dt d  2 21 ))(92( 6ZJ 9ұy tay quay OA quay nhanh dҫn ÿӅu. Câu 7: Vұt nһng A có trӑng lѭӧng P1ÿѭӧc buӝc vào ÿҫu dây vҳt qua ròng rӑc B ÿӗng chҩt trӑng lѭӧng P2 và dây lҥi ÿѭӧc quҩn vào tang quay C có trӑng lѭӧng P3 và bán kính r. Tang C quay quanh trөc cӕÿӏnh O dѭӟi tác dөng cӫa momen quay 2MaM vӟi M là góc quay cӫa tang, a = const > 0. Khӕi lѭӧng cӫa tang C ÿѭӧc xem nhѭ phân bӕ ÿӅu trên vành tang. Bӓ qua khӕi lѭӧng cӫa dây và ma sát tҥi các trөc quay cӫa ròng rӑc NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 13 - A B C 2MaM r P1 c Z r1 h vA và cӫa tang, dây không giãn. Tҥi thӡi ÿLӇm ÿҫu hӋÿӭng im. Tìm vұn tӕc cӫa vұt A phө thuӝc vào ÿӝ cao h mà nó kéo lên. Giҧi: Xét cѫ hӋ gӗm vұt A chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn, ròng rӑc B và tang quay C chuyӇn ÿӝng quay. Cѫ hӋ chӏu tác dөng cӫa momen quay M phө thuӝc vào góc quay cӫa C, do ÿó ta phҧi áp dөng ÿӏnh lí biӃn thiên ÿӝng năng dҥng vi phân. ¦ dAdT Ĉӝng năng cӫa cѫ hӋ tҥi mӝt vӏ trí bҩt kì trong chuyӇn ÿӝng cӫa nó: 2 0 2 01 21 2 1 2 1 2 1 CBA JJvg PT ZZ  Trong ÿó: 23021201 1 ; 2 1;; r g PJr g PJ r v r v A C A B ZZ Thay các kӃt quҧ trên vào biӇu thӭc tính ÿӝng năng ta ÿѭӧc: 2 321 )22(4 1 AvPPPg T  Vi phân hai vӃ biӇu thӭc trên ta có: AAdvvPPPg dT )22( 2 1 321  (1) 7ҥi vӏ trí ÿang xét cӫa hӋ, nӃu cho vұt A di chuyӇn mӝt ÿRҥn vô cùng bé dh thì tang quay C quay ÿѭӧc góc vô cùng bé Md và tәng công nguyên tӕ cӫa các lӵc tác dөng lên hӋ trong di chuyӇn ÿó bҵng: dhPh r adhP r dh r hadhPdadA )( 1 2 312 2 1 2    ¦ MM (2) .Ӄt hӧp (1) và (2) ta ÿѭӧc: dhPh r advvPPP g AA )()22( 2 1 1 2 3321   Tích phân hai vӃ phѭѫng trình trên vӟi ÿLӅu kiӋn ÿҫu khi h = 0 thì vA = 0. dhPh r advvPPP g h A v A A )()22( 2 1 1 2 3 00 321   ³³ hPh r avPPP g A 1 3 3 2 321 3 )22( 4 1   Giҧi ra ta tìm ÿѭӧc vұn tӕc cӫa vұt A phө thuӝc vào ÿӝ cao h mà nó ÿi ÿѭӧc; )22(3 )3(2 321 3 1 32 PPPr Prahgh r vA   Câu 8: Các vұt nһng A và B ÿѭӧc nӕi vӟi nhau bҵng mӝt sӧi dây không dãn vҳt qua ròng rӑc C. Khi vұt nһng A có trӑng lѭӧng P1 hҥ xuӕng dѭӟi, ròng rӑc C có trӑng lѭӧng NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 14 - P3 quay xung quanh trөc nҵm ngang cӕÿӏnh cӫa nó, còn vұt nһng B có trӑng lѭӧng P2 ÿѭӧc nâng lên theo mһt phҷng nghiêng vӟi phѭѫng ngang mӝt góc D . Cho biӃt ròng rӑc C là ÿƭa tròn ÿӗng chҩt có bán kính R, có momen cҧn ÿһt lên nó là MC, hӋ sӕ ma sát giӳa vұt B và mһt phҷng nghiêng là f, bӓ qua khӕi lѭӧng cӫa dây.Xác ÿӏnh gia tӕc cӫa Yұt A. Giҧi: Giҧ sӱ ban ÿҫu hӋÿӭng yên và sau khoҧng thӡi gian t vұt A di chuyӇn ÿѭӧc mӝt khoҧng s, ròng rӑc quay ÿѭӧc mӝt góc R s M . Vұn tӕc cӫa vұt A, vұt B ӣ thӡi ÿLӇm t có giá trӏ bҵng nhau: vA = vB = v. Do sӧi dây không dãn và ròng rӑc là vұt rҳn cho nên công cӫa nӝi lӵc bҵng không. Công cӫa các ngoҥi lӵc tác dөng lên hӋ bҵng: R sMsPsPfA C 12)cos(sin DD Ĉӝng năng cӫa cѫ hӋÿѭӧc tính theo công thӭc: ¸ ¹ ·¨ © §  ¸¸¹ · ¨¨© §   22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 21 2 2 2 232221 22221 P PP g v R vR g P v g Pv g P Jv g Pv g PTTTT CBA Z Áp dөng ÿӏnh lí biӃn thiên ÿӝng dҥng ÿҥo hàm ta tìm ÿѭӧc gia tӕc cӫa vұt A: dt dA dt dT ¸ ¹ ·¨ © §  ¸ ¹ ·¨ © §  2 1)cos(sin 3 21 21 P PPR M fPPg dt dva CDD Câu 9: Ngѭӡi A ÿi xe ÿҥp trên ÿѭӡng thҷng ngang. Trӑng lѭӧng cӫa ngѭӡi và khung xe là P. Mӛi bánh xe có trӑng lѭӧng p, bán kính r và ÿѭӧc coi nhѭ vành tròn ÿӗng chҩt, lăn không trѭӧt trên mһt ÿѭӡng. HӋ sӕ ma sát lăn giӳa các bánh xe vӟi mһt ÿѭӡng là k. Xe và ngѭӡi chӏu lӵc cҧn cӫa gió, có hӧp lӵc Q vӟi giҧ thiӃt Q = const và luôn tҥo góc D Yӟi phѭѫng nҵm ngang. Tҥi các trөc quay cӫa bánh xe có momen cҧn MC = const. NӃu xe ÿang chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc v0 thì ngѭӡi A không ÿҥp nӳa, tìm ÿRҥn ÿѭӡng mà tӯ lúc ÿó xe ÿi ÿѭӧc cho ÿӃn lúc dӯng lҥi. Į B A C R P1 P2 NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 15 - P p p Q D MC MC Giҧi: &ѫ hӋ gӗm ngѭӡi A và khung xe chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn, hai bánh xe B1, B2 chuyӇn ÿӝng song phҷng. Áp dөng ÿӏnh lí biӃn thiên ÿӝng năng dҥng hӳu hҥn: ¦  ATT 01 (1) 7ҥi vӏ trí cuӕi cӫa chuyӇn ÿӝng xe dӯng lҥi do ÿó T1 = 0. 7ҥi vӏ trí ÿҫu ÿӝng năng cӫa hӋ bҵng: ¸¸¹ · ¨¨© §  220200 2 1 2 12 2 1 BcJvg pv g PT Z Trong ÿó: 20 ; r g pJ r v cB Z thay vào biӇu thӭc trên ta ÿѭӧc:   2 00 2 4 v g pPT  (2) Xe di chuyӇn ÿѭӧc ÿRҥn ÿѭӡng sA thì bánh xe lăn ÿѭӧc góc r sA B M . 7әng công cӫa các lӵc trong di chuyӇn cӫa hӋ bҵng: BcBA MkNNsQA MMD 2)(.cos 21  ¦ 0һt khác: pPQNN 2sin21   D Vây: A c BcBA s r M pPQ r kQ MkpPQsQA . 2 )2sin(cos 2)2sin(.cos ¸ ¹ ·¨ © §   ¦ DD MMDD (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta ÿѭӧc: A c s r M pPQ r kQv g pP . 2 )2sin(cos 2 )4( 2 0 ¸¹ ·¨ © §   DD Giҧi ra ta tìm ÿѭӧc ÿRҥn ÿѭӡng ÿi cӫa xe ÿҥp :  cA MpPkkrQg vpPr s 2)2()sincos(2 )4( 20   DD Câu 10: Khӕi hình trө tròn ÿӗng chҩt có bán kính ÿáy bҵng r, có vұn tӕc ÿҫu rҩt nhӓ, Oăn không trѭӧt trên mһt bàn nҵm ngang. Khi lăn ÿӃn mép bàn tҥi B, ÿѭӡng sinh cӫa khӕi trө song song vӟi mép bàn. Tҥi thӡi ÿLӇm khӕi trө tách khӓi bàn, góc CBC ˆ0 D có giá trӏ nào ÿó. Bӓ qua ma sát lăn và lӵc cҧn không khí. Tìm giá trӏ cӫa góc D và vұn tӕc Jӕc cӫa khӕi trө tҥi thӡi ÿLӇm nó tách khӓi bàn. NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 16 - Giҧi: Áp dөng ÿӏnh luұt II Newton cho khӕi trө: cms amFNP &&&&  7ҥi thӡi ÿLӇm khӕi trө tách khӓi bàn, thì N = 0, do ÿó phѭѫng trình trên chӍ còn ӣ Gҥng ÿѫn giҧn: cms amFP &&&  ChiӃu lên trөc pháp tuyӃn Cn cӫa quƭÿҥo cӫa ÿLӇm C, ta ÿѭӧc: r vmP c 2 cos D 9ӟi B là tâm quay tӭc thӡi cӫa khӕi trө Zrvc ,suy ra: DZ cos2 gr Khӕi trө chuyӇn ÿӝng song phҷng, ban dҫu có vұn tӕc rҩt nhӓ nên ta có thӇ xem T0 = 0, ÿӝng năng cӫa khӕi trө tҥi vӏ trí tách ra khӓi bàn bҵng: 2222222 4 3 2 1 2 1)( 2 1 2 1 2 1 ZZZZ mrmrrmJmvT cc ¸¹ ·¨ © §  Áp dөng ÿӏnh lí biӃn thiên ÿӝng năng dҥng hӳu hҥn: ¦  ATT 0 ThӃ các giá trӏ tính toán ӣ trên vào ta ÿѭӧc: )cos1(cos 4 3 )cos1( 4 3 22 DD DZ   gg mgrmr 7ӯÿây ta tìm ÿѭӧc góc D và vұn tӕc góc Z cӫa khӕi trө tҥi thӡi ÿLӇm nó bҳt ÿҫu tách khӓi bàn: r g 7 2; 7 4cos ZD Câu 11:ĈRҥn dây xích AB có chiӅu dài l, có hai phҫn ba xích nҵm dӑc theo ÿѭӡng dӕc chính cӫa mһt phҷng, nghiêng góc D vӟi phѭѫng nҵm ngang, phҫn còn lҥi cӫa xích ÿѭӧc buông thõng theo phѭѫng thҷng ÿӭng. Dѭӟi tác dөng cӫa trӑng lӵc dây xích bҳt ÿҫu chuyӇn ÿӝng dӑc theo mһt phҷng nghiêng xuӕng phía dѭӟi tӯ trҥng thái tƭnh. cho biӃt hӋ sӕ ma sát giӳa xích vӟi mһt phҷng nghiêng là f. Tìm vұn tӕc cӫa xích tҥi thӡi ÿLӇm khi ÿҫu B cӫa xích chuyӇn ÿӝng ÿӃn ÿLӇm O, xích bҳt ÿҫu nҵm hoàn toàn trên mһt D B C P vc n Fms C0 t Z NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 17 - nghiêng. HӋ sӕ ma sát f phҧi thӓa mãn ÿLӅu kiӋn gì ÿӇ xích có thӇ trѭӧt xuӕng dӑc theo Pһt nghiêng nhѭ vұy. Giҧi: Xét hӋ là ÿRҥn dây xích AB, ta áp dөng ÿӏnh lí biӃn thiên ÿӝng năng dҥng vi phân: ¦ dAdT 7ҥi vӏ trí bҩt kì cӫa hӋÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi tӑa ÿӝ OA = x, mӑi mҳt xích ÿӅu có vұn Wӕc bҵng v, kí hiӋu P là trӑng lѭӧng cӫa cҧÿRҥn dây xích, ta ÿѭӧc ÿӝng năng cӫa cѫ hӋ: 22 2 1 2 1 v g PvmT k ¸¹ ·¨ © § ¦ Suy ra: vdv g PdT 7ҥi vӏ trí ÿó, ÿRҥn xích ÿѭӧc chia làm hai phҫn: ÿRҥn OA có trӑng lѭӧng l PxP 1 và ÿRҥn OB có trӑng lѭӧng l xlPP )(2  . Lӵc ma sát tác dөng vào ÿRҥn xích OA có giá trӏ bҵng: DD coscos. 1 l fPxfPNfFms Cho cѫ hӋ di chuyӇn mӝt ÿRҥn vô cùng bé dx, tәng công nguyên tӕ cӫa các lӵc tác dөng lên cѫ hӋ là: Pdxxdxf l PdxPdxFdxPdA ms   ¦ )1cos(sinsin 21 DDD 9ұy ta có: Pdxxdxf l Pvdv g P  )1cos(sin DD 7ҥi vӏ trí ban ÿҫu lx 3 2 0 , vӏ trí cuӕi khi B chuyӇn ÿӝng ÿӃn O thì x1 = l. Tích phân phѭѫng trình trên: ³³³  l l l l v dxgxdxf l gvdv 3 2 3 20 )1cos(sin DD > @1)cos(sin5 18 lg 2 2  DD fv > @1)cos(sin5lg 3 1  DD fv Į x O A B P2 P1 l-x NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 18 - D A B H B C A l ĈӇ cho ÿRҥn xích có thӇ trѭӧt xuӕng dӑc theo mһt nghiêng, hӋ sӕ ma sát phҧi thӓa mãn ÿLӅu kiӋn sao cho biӇu thӭc dѭӟi dҩu căn phҧi dѭѫng: DD DD cos5 1 01)cos(sin5 Ÿ ! tgf f BÀI TҰP TӴ GIҦI: Câu 1: Trên mһt phҷng nghiêng góc D ngѭӡi ta ÿһt mӝt hình trөÿһc A có khӕi lѭӧng m1 = 4kg và bán kính r =5cm, cách chân H cӫa mһt phҷng nghiêng mӝt ÿRҥn 2m. Ngѭӡi ta xuyên dӑc theo trөc cӫa hình trө mӝt thanh nhӓ không có khӕi lѭӧng, tì vào các ә bi. Dùng mӝt sӧi dây không dãn, không có khӕi lѭӧng, nӕi vào thanh lõi cӫa hình trө mӝt Yұt B có khӕi lѭӧng m =2kg. Tìm lӵc căng cӫa dây nӕi và thӡi gian hình trө lăn ÿӃn H NӇ tӯ khi bҳt ÿҫu thҧ vұt B, khi góc nghiêng 030 D . Cho biӃt hӋ sӕ ma sát giӳa vұt B và mһt phҷng nghiêng là k = 0,2, bӓ qua ma sát ӣ các ә bi và ma sát lăn. Ĉáp sӕ: a lt 2 , vӟi > @ 2 cossin)( 1 21 221 mmm kmmmga   DD ; > @)sincos(2 DD  kgamT Câu 2: Vұt khӕi lѭӧng m1ÿѭӧc treo bҵng sӧi dây không dãn, khӕi lѭӧng không ÿáng NӇ, vҳt qua mӝt ròng rӑc cӕÿӏnh B gҳn vӟi mһt bàn nҵm ngang. Ĉҫu kia cӫa sӧi dây nӕi Yӟi trөc cӫa mӝt con lăn C có thӇ lăn không trѭӧt trên mһt bàn. Ròng rӑc B và con lăn C là nhӳng hình trөÿӗng chҩt có cùng bán kính R và khӕi lѭӧng m2. Ban ÿҫu cѫ hӋÿӭng yên. Tìm vұn tӕc cӫa vұt A sau khi nó ÿi ÿѭӧc mӝt ÿRҥn h0 cho biӃt momen ma sát lăn tác dөng lên C bҵng Mms = fN, và công cӫa ma sát lăn (công cҧn) bҵng MmsM (vӟi M là góc quay quanh trөc). Bӓ qua ma sát ӣ trөc ròng rӑc và sӭc cҧn không khí, coi sӧi dây không trѭӧt trên rãnh ròng rӑc. Ĉáp sӕ: )2( )(2 21 21 mmr ghfmrmv   Câu 3: Mӝt dây ÿӗng chҩt dài L có mӝt phҫn nҵm trên mһt bàn nҵm ngang nhҹn, mӝt phҫn buông tӵ do. Xác ÿӏnh khoҧng thӡi gian T ÿӇ dây rӡi khӓi mһt bàn, biӃt rҵng tҥi thӡi ÿLӇm ÿҫu chiӅu dài cӫa phҫn dây thҧ buông dài là l và vұn tӕc ÿҫu bҵng không. Ĉáp sӕ: )ln( 22 l lLL g LT  NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 19 - B A A0 h Į a0 m m M l v0 Câu 4: Dѭӟi tác dөng cӫa trӑng lѭӧng bҧn thân, mӝt khӕi trө tròn ÿӗng chҩt lăn xuӕng theo ÿѭӡng dӕc chính cӫa mһt phҷng nghiêng có góc nghiêng là D . HӋ sӕ ma sát giӳa Pһt trө và mһt phҷng nghiêng là f. Tìm góc nghiêng D cӫa mһt phҷng nghieng ÿӇÿҧm Eҧo cho chuyӇn ÿӝng lăn ÿó là không trѭӧt và tìm gia tӕc cӫa khӕi trө. Bӓ qua ma sát Oăn. Ĉáp sӕ: DD sin 3 2;3 gafarctg d . Câu 5: Mӝt trө tròn ÿӗng chҩt A, có khӕi lѭӧng m, lăn xuӕng theo mӝt dây treo thҷng ÿӭng quҩn vào nó. Ĉҫu B cӫa dây ÿѭӧc buӝc chһt và khi trө rѫi không vұn tӕc ÿҫu thì nhҧ dây quҩn ra. Tìm vұn tӕc trөc khӕi trө khi nó ÿã rѫi ÿѭӧc mӝt ÿRҥn thҷng h và tìm Oӵc căng cӫa dây treo. Ĉáp sӕ: 3 ;3 3 2 mgTghv . Câu 6: ViӃt phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng cӫa mӝt vұt rѫi nӃu kӇÿӃn lӵc cҧn cӫa không khí biӃt lӵc cҧn tӍ lӋ vӟi vұn tӕc rѫi vkFc &&  , trong ÿó k = const > 0 là hӋ sӕ tӍ lӋ. Ĉáp sӕ: )1(2 2 t m k e k gmt k mgx  Câu 7: Mӝt vұt ban ÿҫu ÿӭng yên ӣÿӍnh mӝt cái nêm nhӡ ma sát.Tìm thӡi gian vұt trѭӧt hӃt nêm khi nêm chuyӇn ÿӝng nhanh dҫn sang trái vӟi gia tӕc 0a & . HӋ sӕ ma sát giӳa nêm và vұt là k, chiӅu dài mһt nêm là l, góc nghiêng là D và Dgga cot0  . Ĉáp sӕ: DD cos)(sin)( 2 00 kgakag lt  Câu 8: Trên mһt bàn nҵm ngang rҩt nhҹn có mӝt tҩm ván khӕi lѭӧng M, chiӅu dài l. Ĉһt ӣÿҫu ván mӝt vұt nhӓ có khӕi lѭӧng m. HӋ sӕ ma sát giӳa vұt và ván là k. Tính vұn tӕc Wӕi thiӇu v0 cҫn truyӅn ÿӝt ngӝt cho ván ÿӇ vұt trѭӧt khӓi ván. Ĉáp sӕ: M mMkglv )(20 t Câu 9: Mӝt vұt A có khӕi lѭӧng m1 trѭӧt trên mһt phҷng nghiêng và làm quay hình trө tròn ÿӝng chҩt có bán kính R. Khӕi lѭӧng hình trө là m, momen càn ÿһt lên hình trө là Mc. HӋ sӕ ma sát giӳa A và mһt phҷng nghiêng là k. Tìm gia tӕc góc cӫa hình trө. BiӃt NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 20 - 450 450 Z 2 1 góc tҥo bӣi mһt phҷng nghiêng và mһt nҵm ngang làD , sӧi dây không dãn, không khӕi Oѭӧng. Ĉáp sӕ: )( )cossin( 2 11 R JmR R Mgkmgm c   DD J Câu 10: Hai vұt nһng P1 và P2ÿѭӧc buӝc vào hai dây quҩn vào hai tang cӫa mӝt tӡi bán kính là r và R. ĈӇ nâng vұt nһng P1 lên ngѭӡi ta tác dөng vào tӡi mӝt momen quay M. Tìm gia tӕc gӕc cӫa tӡi quay, gia tӕc cӫa hai vұt. BiӃt trӑng lѭӧng cӫa tӡi là Q và bán kính quán tính ÿӕi vӟi trөc quay là U . Ĉáp sӕ: JJUJ RaraQRPrP grPRPM   21222 2 22 1 12 ;;)( Câu 11: Mӝt cuӝn chӍ gӗm hai ÿƭa tròn ÿӗng chҩt nhѭ nhau có bán kính R và khӕi Oѭӧng M ÿѭӧc gҳn vào trөc có bán kính, khӕi lѭӧng không ÿáng kӇ. Mӝt sӧi chӍÿѭӧc cuӝn vào trөc cӫa cuӝn và gҳn lên trҫn. Cho cuӝn chӍ chuyӇn ÿӝng xuӕng dѭӟi tӯ trҥng thái tƭnh, tìm gia tӕc chuyӇn ÿӝng cӫa tâm cuӝn chӍ. Ĉáp sӕ: g r Ra 1 2 2 2 1  ¸¸¹ · ¨¨© §  Câu 12: Mӝt xi lanh thành mӓng, khӕi lѭӧng m, bán kính R, ÿѭӧc quay vӟi tӕc ÿӝ góc 0Z rӗi ÿѭӧc ÿһt nhҽ nhàng vào giӳa hai mһt phҷng nghiêng, nhám, có góc nghiêng 045 D so vӟi phѭѫng ngang. HӋ sӕ ma sát trѭӧt giӳa xilanh và hai mһt phҷng nghiêng ÿӅu bҵng P . Tính sӕ vòng xilanh quay ÿѭӧc cho ÿӃn khi dӯng lҥi. Cho biӃt trөc cӫa xilanh ÿӭng yên khi bӏ hãm. Ĉáp sӕ: g RN PS ZP 24 )1( 20 2 Į Mc m1 P2 M P1 R r NguyӉn Anh Văn Lý K32 Ĉҥi Hӑc Cҫn Thѫ - 21 - Câu 13: Mӝt hình trөÿһc ÿӗng chҩt có bán kính R lăn trên mӝt mһt phҷng nҵm ngang Uӗi mӝt mһt phҷng nghiêng tҥo mӝt góc D vӟi mһt phҷng ngang. Tìm giá trӏ cӵc ÿҥi v0 Fӫa vұn tӕc mà vӟi giá trӏÿó hình trөÿi trên mһt phҷng nghiêng mà không nhҧy. Giҧ sӱ không có sӵ trѭӧt. Ĉáp sӕ: )4cos7( 3max0  DgRv Câu 14: Mӝt hòn bi ÿӗng chҩt, bán kính r lăn không trѭӧt tӯÿӍnh mӝt quҧ cҫu bán kính R. Xác ÿӏnh vӏ trí hòn bi rӡi mһt cҫu và tӕc ÿӝ góc cӫa hòn bi khi ÿó. Ĉáp sӕ: 217 )(10; 17 10cos r grR  ZD Câu 15: Mӝt hòn bi bán kính r nҵm yên tҥi ÿӍnh cӫa mӝt quҧ cҫu bán kính R. Khi quҧ Fҫu nhұn ÿѭӧc gia tӕc a& không ÿәi, nҵm ngang thì hòn bi bҳt ÿҫu lăn không trѭӧt xuӕng dѭӟi. Xác ÿӏnh vӏ trí hòn bi rӡi quҧ cҫu và tӕc ÿӝ góc cӫa hòn bi ÿӕi vӟi trөc qua tâm cӫa nó. Ĉáp sӕ: )1(17 1891710 cos; 17 )(10 2 2 2 2 2 2    g a g a g a r grR DZ R v0 D O P D P D a&