Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 8 Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(53) Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI I LI L I Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp ® ¹ i h ä c July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(53) Chương 8 Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(53) NỘI DUNG 8.1. Mở đầu8.1. Mở đầu 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH 8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(53) 8.1. Mở đầu8.1. Mở đầu Trong chương trước, ta đã giải bài toán phẳng theo ứng suất với việc sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức hoặc chuỗi lượng giác – các lời giải này là lời giải giải tích. Số bài toán cho nghiệm giải tích là rất ít, đặc biệt là những bài toán không gian. Với các bài toán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìm cách giải gần đúng – kết quả không phải là hàm giải tích mà là giá trị của các đại lượng cần tìm tại một số điểm nhất định trong vật thể và trên biên => Phương pháp số Phương pháp số: 9Giải các phương trình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời rạc hóa toán học, đưa các phương trình vi phân về các phương trình đại số) 9Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH): rời rạc hoá mô hình vật thể - mô hình tương thích, mô hình cân bằng và mô hình hỗn hợp. 8.1. Mở đầu July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(53) • Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực • Các ứng dụng ‰ Cơ học/Hàng không/Xây dựng/ Công nghiệp ô tô ‰ Phân tích kết cấu (tĩnh, động,tuyến tính/phi tuyến) ‰ Nhiệt/dòng chảy ‰ Điện từ ‰ Cơ học đất đá ‰ Sinh học ‰ ... 8.1. Mở đầu July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(53) 8.1. Mở đầu July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(53) 8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH Miền xác định V của vật thể chia thành một số hữu hạn các miền con - phần tử hữu hạn (finite element), liên kết với nhau tại các nút (node). e 2 3 1 8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(53) Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ bởi một hàm đơn giản nào đó gọi là hàm dạng (shape function) hoặc hàm nội suy (interpolation function). Các hàm này được biểu diễn qua giá trị của hàm tại các điểm nút phần tử. Số lượng các giá trị này tại mỗi nút gọi là bậc tự do của nút. Tổng số bậc tự do của các nút trong phần tử là số bậc tự do của phần tử và là ẩn số cần tìm của bài toán. Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ mà người ta có thể phân tích bài toán theo các mô hình: • Mô hình tương thích: ẩn số cơ bản là chuyển vị (được sử dụng rộng rãi hơn). • Mô hình cân bằng: ẩn số cơ bản là ứng suất. • Mô hình hỗn hợp: ẩn số vừa là ứng suất vừa là chuyển vị. Giả thiết: Các phần tử chỉ liên kết với nhau tại các nút. Tại nút có chuyển vị nút và lực nút. Lực nút bao gồm lực tương tác giữa các phần tử và tải trọng nút (tải tập trung tại nút, tải trọng phân bố qui đổi về nút) 8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(53) 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát Miền khảo sát V được chia thành các phần tử Ve có hình dạng thích hợp. Số phần tử, hình dạng hình học, kích thước phần tử được xác định. Số điểm nút từng phần tử được lất tùy thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản. 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(53) Solid Planar One-dimensional Mesh Elements Shell July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 11(53) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12(53) Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp Giả thiết dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản khi lập trình máy tính nhưng đồng thời phải thỏa mãn điều kiện hội tụ. Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử [Ke] và vec tơ tải phần tử {Pe} bằng nhiều cách: trực tiếp, sử dụng nguyên lý biến phân,... Phương trình phần tử có thể biểu diễn dưới dạng [ ]{ } { }e e eK q P= { }eq - vec tơ các bậc tự do của phần tử. Bước 4: Ghép nối các phần tử để có hệ thống phương trình [ ]K - ma trận độ cứng tổng thể { }q - vec tơ chuyển vị nút tổng thể { }P - vec tơ tải tổng thể. 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH [ ]{ } { }K q P= July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(53) { } { }* * *K q P⎡ ⎤ =⎣ ⎦ Bước 5: Giải hệ phương trình (*) để tìm các chuyển vị nút => Xác định ứng suất, biến dạng trong từng phần tử. Sử dụng các điều kiện biên để nhận được hệ phương trình để giải (*) 1 2 3 4 5 11 1234 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(53) 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị 8.4.1. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị (mô hình tương thích) • Các nút: i, j, k – đánh số theo chiều ngược chiều kim đồng hồ • Toạ độ các nút : ( ) ( ) ( ), , , , ,i i j j k kx y x y x y • Chiều dày phần tử: t • Diện tích phần tử: 1 1 1 1 2 i j k i j k Det x x x y y y Δ = July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 15(53) • Vec tơ chuyển vị nút: mỗi nút có hai thành phần chuyển vị theo hai phương x, y là u, v { } displacements at node i displacements at node j displacements at node k i i i j je j k k k u v q u q q v q u v ⎫⎧ ⎫ ⎬⎪ ⎪ ⎭⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎪ ⎬⎩ ⎭ ⎭ • Vec tơ chuyển vị nút phần tử { } { } { }1 2 3 4 5 6 k i T T j i i j j k ke q q q u v u v u v q q q q q q q ⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 16(53) Chuyển vị tại điểm bất kỳ bên trong phần tử: u, v { } { }( , ) ( , ) ex y x y q=U N 31 2 31 2 Node 2Node 1 Node 3 00 0 00 0 NN N NN N ⎤⎡= ⎥⎢⎣ ⎦ N       Hàm dạng (shape function) Hàm nội suy (interpolation function) 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(53) • Vec tơ lực tương tác tại nút phần tử : Tại các nút đều có lực tương tác giữa các phần tử ta gọi chúng là các lực nút. Tại mỗi nút có 2 thành phần lực nút theo hai phương x, y là U, V, chúng tạo thành vec tơ lực nút phần tử { } { }i Tj i i j j k ke k R R R U V U V U V R ⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(53) • Vec tơ tải trọng nút phần tử : tại các nút có tải trọng tác dụng (tải trọng tập trung hoặc tải trọng phân bố qui đổi về tải trọng tập trung tại nút) mà 2 thành phần theo hai phương là X và Y { } { } { }1 2 3 4 5 6i T Tj i i j j k ke k F F F X Y X Y X Y F F F F F F F ⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(53) Khi ghép các phần tử thành vật thể thì theo điều kiện cân bằng, tổng các lực tương tác phần tử tại mỗi nút sẽ triệt tiêu và chỉ còn tổng các tải trọng tại từng nút. Cũng do vật thể ở trạng thái cân bằng nên tại các nút các lực cũng phải cân bằng, và do vậy tại nút thứ i ta có (e là số phần tử tại nút i): { } { }i i e R F=∑ Trên mỗi phần tử, các tải trọng nút phần tử có thể biểu diễn qua chuyển vị nút (từ điều kiện cân bằng phần tử): { } [ ]{ }ee eF K q= [ ]eK - ma trận độ cứng phần tử { }eq - vec tơ chuyển vị nút phần tử { }eF - vec tơ tải trọng nút phần tử.ẩn số cần tìm 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 20(53) 8.4.2. Hàm xấp xỉ chuyển vị Giả thiết chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử là hàm bậc nhất của toạ độ. ( ) 1 2 3,u x y x yα α α= + +( ) 4 5 6,v x y x yα α α= + + Như vậy giá trị chuyển vị nút tại các đỉnh i, j, k sẽ là: 1 2 3i i iu x yα α α= + + 1 2 3j j ju x yα α α= + + 1 2 3k k ku x yα α α= + + 4 5 6i i iv x yα α α= + + 4 5 6j j jv x yα α α= + + 4 5 6k k kv x yα α α= + + iα 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(53) Biểu thức của chuyển vị. ( ) [ ] [ ]{ }1, 2 i i i i j j j j k k k ku x y a b x c y u a b x c y u a b x c y u⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦Δ ( ) [ ] [ ]{ }1, 2 i i i i j j j j k k k kv x y a b x c y v a b x c y v a b x c y v⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦Δ trong đó: i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − + j k i i ka x y x y= − k i j j ia x y x y= − j k ib y y= − k i jb y y= − j k ic x x= − + k i jc x x= − + (8.10) 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 22(53) 8.4.3. Biểu thức biến dạng ,xx u x ε ∂= ∂ ,yy v y ε ∂= ∂ xy u v y x γ ∂ ∂= +∂ ∂ Theo quan hệ chuyển vị - biến dạng : { } 0 0 0 1 0 0 0 2 2 ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎢ ⎥Δ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ xx i j k T yy i j k i j j j k k xy i i j j k k b b b c c c u v u v u v c b c b c b ε ε ε ε { } [ ]{ }⇒ = eB qε [ ] 0 0 01 0 0 0 2 i j k i j k i i j j k k b b b B c c c c b c b c b ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦Ma trận hình học 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 23(53) 8.4.4. Biểu thức ứng suất [ ][ ]{ }2 1 0 1 0 1 10 0 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦ xx xx yy yy e xy xy E D B q σ ν ε σ σ ν ενσ ν ε Quan hệ ứng suất – biến dạng : [ ] 2 1 0 1 0 1 10 0 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ED ν νν ν [ ] 1 0 1 0 (1 )(1 2 ) 1 20 0 2 ED ν ν ν νν ν ν ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ Ma trận đàn hồi (biến dạng phẳng) (ứng suất phẳng) 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 24(53) 8.4.5. Quan hệ lực nút - chuyển vị nút - Ma trận độ cứng phần tử Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange Ở trạng thái cân bằng nếu hệ có thêm các chuyển vị khả dĩ thì trị tuyệt đối của công ngoại lực và của công nội lực bằng nhau: A U= Ở trạng thái cân bằng phần tử có: - vec tơ lực nút { }eF - vec tơ chuyển vị nút { }eq - vec tơ biến dạng { } [ ]{ }eB qε = - vec tơ ứng suất { } [ ][ ]{ }eD B qσ = Khi cho các nút phần tử một chuyển vị khả dĩ { }*eq phần tử có biến dạng khả dĩ là { } [ ]{ }* *eB qε = 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 25(53) Công của ngoại lực trên các chuyển vị khả dĩ là: { }eF { } { }* Te eA q F= Công nội lực trên toàn bộ phàn tử: { } { } [ ]{ }( ) { } { } [ ] [ ][ ]{ }* * *TT T Te e e S S S U t dS t B q dS t q B D B q dSε σ σ= = =∫ ∫ ∫ { } [ ] [ ][ ]{ }*⇒ = Δ T Te eU t q B D B q Cân bằng với công A, ta thu được biểu thức: { } [ ] [ ][ ]( ){ } [ ]{ }T ee e eF t B D B q K q= Δ = k F = k.u Độ cứng lò xoMa trận độ cứng phần tử [Ke] 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 26(53) Ma trận độ cứng phần tử [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ Với phần tử tam giác ma trận độ cứng phần tử là ma trận (6x6): [ ] 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 61 62 63 64 65 66 6 6 e ij k k k k k k k k k k k k K k k k k k k k × ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ # # # # # # [ ] [ ] [ ] [ ]6 6 6 3 3 3 3 6Te e e e V K B D B dV× × × ×= ∫Tổng quát: 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 27(53) 8.4.6. Ma trận độ cứng tổng thể (kết cấu) ™ Thế năng biến dạng đàn hồi toàn kết cấu ∑ = =+++= N e eN UUUUU 1 21 " { } [ ]{ } { } [ ]{ }uKudkdUU TN e ee T e N e e 2 1 2 1 11 ∑∑ == === ™ Ghép nối Tăng kích thước ma trận™ Ma trận độ cứng tổng thể [ ] [ ] [ ] [ ]NkˆkˆkˆK +++= "21 Kích thước ma trận độ cứng tổng thể phụ thuộc vào kích thước của vec tơ chuyển vị nút tổng thể (DOF) 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 28(53) 8.4.6 Qui đổi tải trọng về các nút: - Trong phương pháp phần tử hữu hạn người ta giả thiết các tải trọng đều đặt tại các nút để thuận tiện khi lập các phương trình cân bằng giữa ngoại lực và nội lực tại các nút. - Nếu trong phần tử có những tải trọng tập trung không đặt tại các nút, hoặc là tải trọng phân bố thì cần phải qui đổi chúng về nút một cách đơn giản theo nguyên lý tương đương tĩnh học. - Nếu trên biên của phần tử có lực phân bố bề mặt{ } { }Tx yp p p= thì vec tơ lực nút qui đổi sẽ là: { } [ ] { }TpeF N p tds= ∫ ds là vi phân chiều dài biên của phần tử - Nếu tại điểm bất kỳ có toạ độ (x, y) trong phần tử có tác dụng của lực tập trung { } { }x yP P P= vec tơ lực nút qui đổi: { } [ ] { }TpeF N P= 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(53) với [N] là ma trận các hàm dạng và tính theo: [ ] 0 0 00 0 0i j ki j k N N N N N N N ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 / 2 i i i i j j j j k k k k N a b x c y N a b x c y N a b x c y = + + Δ = + + Δ = + + Δ Tổng hợp vec tơ lực nút qui đổi và vec tơ tải trọng đặt tại các nút ta được vec tơ tải trọng nút phần tử { } { } { }pe e eP F F= + 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(53) • Nguyên tắc chung để qui đổi dựa trên cơ sở tương đương về công: Công sinh ra bởi các lực đã cho trên các chuyển vị của điểm đặt của chúng theo phương, chiều đã cho bằng công sinh ra do các lực nút tương đương trên các thành phần chuyển vị nút có cùng phương, chiều đã chọn. • Trong thực hành tính các lực nút tương đương của PTHH do tải trọng phân bố ta có thể tiến hành như tính phản lực của một dầm tựa đơn, chịu tải trọng phân bố tương ứng. L q VA=qL/2 VB=qL/2 L q VA=qL/6 VB=qL/3 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 31(53) 8.4.7. Phương trình chung toàn kết cấu Sau khi rời rạc hoá kết cấu để thu được phương trình cho từng phần tử, bây giờ ta sẽ ghép nối các phần tử lại để có hệ phương trình chung cho toàn kết cấu. ¾ Các chuyển vị nút phải thoả mãn điều kiện liên tục của biến dạng: chuyển vị ở cùng một nút thuộc các phần tử khác nhau phải như nhau. Với bài toán phẳng, nếu hệ có n nút => 2n ẩn chuyển vị => Vec tơ chuyển vị nút tổng thể (toàn kết cấu): { } { }1 2 3 2 1 2 Tn nQ q q q q q−= " ¾ Các lực nút phải thỏa mãn điều kiện cân bằng => sau khi ghép các phần tử, các lực liên kết giữa các phần tử triệt tiêu nhau, ở nút chỉ còn tải trọng. Vec tơ tải trọng nút toàn kết cấu cũng có 2n số hạng: { } { }1 2 3 2 1 2 Tn nP P P P P P−= " ¾ Sau khi ghép nối ta nhận được hệ phương trình chung cho toàn kết cấu có dạng: [ ]{ } { }K Q P= [ ]2 2n nK × - ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 32(53) 8.4.8. Hệ phương trình để giải Sau khi ghép nối để nhận được hệ phương trình (8.20), trước khi giải cần áp đặt các điều kiện biên theo chuyển vị để khử bớt các ẩn số và khử dạng suy biến của ma trận [K] - Nếu ẩn số chuyển vị qi = 0 bỏ dòng i của vec tơ {Q}, và {P}, đồng thời gạch bỏ dòng i và cột i của ma trận [K] 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 33(53) Ví dụ 8.1 1. Thiết lập ma trận độ cứng của một PTHH tam giác phẳng ở trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ các đỉnh là (1,2), (1,4), (3,3). Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25. Gợi ý các bước thực hiện: ƒ Biểu diễn toạ độ các đỉnh tam giác trong hệ trục vuông góc xy ƒ Đánh số các nút theo thứ tự i, j, k ngược chiều kim đồng hồ. ƒ Xác định toạ độ các đỉnh, tính diện tích phần tử theo (6.1) ƒ Tính các hệ số a, b, c theo (8.10) => Tính ma trận hình học [B] theo (8.12) ƒ Xác định ma trận đàn hồi [D] theo (8.14) ƒ Tính ma trận độ cứng phần tử [Ke] theo (8.15) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 34(53) Ví dụ 8.2 Cho tấm có hình dạng, kích thước, liên kết và chịu tải trọng như hình vẽ. Tính trường ứng suất phát sinh trong tấm. Khi tính lấy ν = 0,25 q q 2a 2a a July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 35(53) 2a a Bước 1: chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số • Chia làm 3 phần tử tam giác: 1, 2. và 3 1 2 3 5 1 2 3 4 • Đánh số thứ tự các nút: 1, 2, 3, 4, 5 • Mỗi nút có 2 thành phần chuyển vị u, v X1 X2 X3 X10 X4 X5 X6 X7 X8 X9aa Bảng định vị các phần tử: 1 2 3 4 5 6 1 2 5 6 3 4 3 4 5 6 7 8 3 4 7 8 9 10 Bậc tự doPhần tử 1 2 3 Vec tơ chuyển vị nút tổng thể: { } { }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , , TX X X X X X X X X X X= Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 36(53) i j k 2a a 1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 x yBước 2: Xác định các ma trận độ cứng phần tử [Ke]Phần tử 1: xi = 0 yi = 2a xj = 0 yj = 0 xk = a yk = 2a i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − + j k i i ka x y x y= − k i j j ia x y x y= − j k ib y y= − k i jb y y= − j k ic x x= − + k i jc x x= − + bi= -2a bj= 0 bk= 2a ci= a cj= -a ck= 0 Diện tích phần tử: 2aΔ = 1 1 1 1 2 i j k i j k Det x x x y y y Δ = Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 37(53) Ma trận hình học: [ ] 0 0 0 1 0 0 0 2 i j k i j k i i j j k k b b b B c c c c b c b c b ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 21 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 a a B a a a a a a a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Ma trận vật lý: [ ] 2 1 0 1 0 1 10 0 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ED ν νν ν [ ] 1 0,25 0 16 0,25 1 0 15 0 0 0,375 ED ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 8 2 0 2 2 8 0 15 0 0 3 ED ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]1 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 2 1 0 0 2 B a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 38(53) i j k 2a a 1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 x yMa trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ [ ]1 35 10 3 4 32 6 10 20 6 8 4 12 3 6 3 0 0 6 4 8 0 8 4 030 32 4 0 4 32 0 6 12 6 0 0 12 e EtK − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Vec tơ chuyển vị nút phần tử: { } { }1 2 5 6 3 41 , , , , , TX X X X X X X= 1 2 5 6 3 4 1 2 5 6 3 4k61 k46 Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 39(53) 35 10 3 4 32 6 10 20 6 8 4 12 3 6 3 0 0 6 4 8 0 8 4 0 32 4 0 4 32 0 6 12 6 0 0 12 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 1 2 5 6 3 4 1 2 5 6 3 4 1 2 5 6 8 93 4 7 10 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -3 -3 4-32 6 -10 20 6 -84 -12 6 3 00 -6 4 -12 0 8 -32 4 0 -432 0 -4 0 6 -12 -6 00 12 Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 40(53) Phần tử 2: i j k 2a2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 a x y xi = a yi = 2a xj = 0 yj = 0 xk = a yk = 0 i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − + j k i i ka x y x y= − k i j j ia x y x y= − j k ib y y= − k i jb y y= − j k ic x x= − + k i jc x x= − + bi= 0 bj= -2a bk= 2a ci= a cj= 0 ck= -a Diện tích phần tử: 2aΔ = 1 1 1 1 2 i j k i j k Det x x x y y y Δ = Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 41(53) Ma trận hình học: [ ] 0 0 0 1 0 0 0 2 i j k i j k i i j j k k b b b B c c c c b c b c b ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 22 0 0 2 0 2 0 1 0 0 0 0 2 0 0 2 2 a a B a a a a a a a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Ma trận vật lý: [ ] 2 1 0 1 0 1 10 0 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ED ν νν ν [ ] 1 0,25 0 16 0,25 1 0 15 0 0 0,375 ED ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 8 2 0 2 2 8 0 15 0 0 3 ED ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]2 0 0 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 2 B a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 42(53) Ma trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ [ ]2 3 0 0 6 3 6 0 8 4 0 4 8 0 4 32 0 32 4 6 0 0 12 6 1230 3 4 32 6 35 10 6 8 4 12 10 20 e EtK − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ Vec tơ chuyển vị nút phần tử: { } { }3 4 5 6 7 82 , , , , , TX X X X X X X= 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8k63 k86 2a2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 a x y Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 43(53) Phần tử 3: i j k 2a a 3 X3 X10 X4 X7 X8 X9 x y a xi = a yi = 2a xj = a yj = 0 xk = 2a yk = 0 i j k k ja x y x y= − i j kb y y= − i j kc x x= − + j k i i ka x y x y= − k i j j ia x y x y= − j k ib y y= − k i jb y y= − j k ic x x= − + k i jc x x= − + bi= 0 bj= -2a bk= 2a ci= a cj= -a ck= 0 Diện tích phần tử: 2aΔ = 1 1 1 1 2 i j k i j k Det x x x y y y Δ = Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 44(53) Ma trận hình học: [ ] 0 0 0 1 0 0 0 2 i j k i j k i i j j k k b b b B c c c c b c b c b ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 23 0 0 2 0 2 0 1 0 0 0 0 2 0 2 0 2 a a B a a a a a a a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Ma trận vật lý: [ ] 2 1 0 1 0 1 10 0 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ED ν νν ν [ ] 1 0,25 0 16 0,25 1 0 15 0 0 0,375 ED ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 8 2 0 2 2 8 0 15 0 0 3 ED ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]3 0 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 2 0 2 B a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 45(53) Ma trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]TeK t B D B= Δ [ ]3 3 0 3 6 0 6 0 8 4 8 4 0 3 4 35 10 32 6 6 8 10 20 4 1230 0 4 32 4 32 0 6 0 6 12 0 12 e EtK − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −= ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Vec tơ chuyển vị nút phần tử: { } { }3 4 7 8 9 102 , , , , , TX X X X X X X= 3 4 7 8 9 10 3 4 7 8 9 10k83 K10,8 2a a 3 X3 X10 X4 X7 X8 X9 x y a Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 46(53) Bước 3: Xác định ma trận độ cứng toàn kết cấu [K] [ ]10 10 ijK K× ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ eij ijK k=∑ 35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0 -10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0 -32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6 6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0 -3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0 4 -8 -10 0 0 20 6 -12 0 0 0 0 -6 0 -32 6 70 0 -32 -6 0 0 0 -16 4 -12 -32 40 -4 -12 0 0 0 4 0 0 -32 -4 32 0 0 0 6 0 0 0 -6 -12 0 12 [K] = 30 Et Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 47(53) Bước 3: Xác định vec tơ tải trọng nút toàn kết cấu { } { }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , , TP P P P P P P P P P P= 2a a 5 1 2 3 4 P1 P2 P3 P10 P4 P5 P6 P7 P8 P9aa q q P2=qa/2 P4=qa/2 P3=qa P9=qa Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 48(53) P2=qa/2 P4=qa/2 P3=qa P9=qa Ta có: 2 2 qaP = − 3P qa= − 4 2 qaP = − 9P qa= − 1 5 6 7 8 10 0P P P P P P= = = = = = { } { }0 1 2 1 0 0 0 0 2 0 2 TqaP = − Phương trình viết cho kết cấu: [ ] { } { }.K X P= Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 49(53) Bước 5: Áp đặt điều kiện biên Từ đặc điểm liên kết, ta có: 1 5 6 9 10 0X X X X X= = = = = 2a a 1 2 3 5 1 2 3 4 X1 X2 X3 X10 X4 X5 X6 X7 X8 X9aa => Loại bỏ 1 5 6 9 10, , , ,X X X X X trong vec tơ các ẩn số => Loại bỏ 1 5 6 9 10, , , ,P P P P P trong vec tơ tải trọng => Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K] 2 3 4 7 8 1 20 4 12 0 0 2 4 38 0 6 0 1 12 0 28 0 16 2 30 0 0 6 0 70 0 0 0 0 16 0 40 X X qa Et X X X − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 50(53) 35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0 -10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0 -32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6 6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0 -3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0 4 -8 -10 0 0 20 6 -12 0 0 0 0 -6 0 -32 6 70 0 -32 -6 0 0 0 -16 4 -12 -32 40 -4 -12 0 0 0 4 0 0 -32 -4 32 0 0 0 6 0 0 0 -6 -12 0 12 30 Et 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X X X X X X X X X X ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P P P P P P P P P P ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K] Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 51(53) 2 3 4 7 8 1 20 4 12 0 0 2 4 38 0 6 0 1 12 0 28 0 16 2 30 0 0 6 0 70 0 0 0 0 16 0 40 X X qa Et X X X − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Phương trình để giải: Nghiệm của phương trình: 2 3 4 7 8 0,104 0,042 15 0,104 0,004 0,042 X X qaX Et X X ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 52(53) Ứng suất trong các phần tử: Phần tử 1 [ ][ ] { } [ ][ ] { }1 1 2 5 6 3 411 1 TD B X D B X X X X X Xσ = = 1 0 0,104 16 2 0 2 16 0 0,884 0 4 8 0 8 4 0 1,001 0 3 6 3 0 0 6 0,001 0,042 0,104 xx yy xy q q t t σ σ σ σ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ − −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = − − − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ Phần tử 2, 3 Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 53(53) Ứng suất tại các nút: Ứng suất tại nút i ri n σσ = ∑ n - số phần tử có nút I, r – tên phần tử có nút i Ví dụ 8.2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 54(53) Example 1: Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension ( FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress Ansys application July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 55(53) Example 2: Circular Disk Under Diametrical Compression Distribution of x-stressFEM Mesh and load condition July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 56(53) Distribution of x-stressFEM Mesh and load condition Abaqus application Example 1: Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 57(53) BÀI TẬP LỚN Giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo. Trình tự thực hiện 1. Vẽ lại tấm với các kích thước, liên kết và tải trọng theo các sơ đồ được giao. 2. Chia tấm thành 4 phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ. Đánh số tên các phần tử, tên các nút. 3. Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết véc tơ chuyển vị nút. 4. Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các thành phần trong ma trận. 5. Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm. 6. Tìm véc tơ lực nút. 7. Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn dạng phương trình để giải. 8. Giải phương trình. Viết lại các kết quả của véc tơ chuyển vị nút. 9. Tính các ứng suất trong từng phần tử 10.Tính ứng suất tại các nút theo các giá trị trung bình. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 58(53) Sơ đồ liên kết Số sơ đồ Điểm A Điểm B Điểm C Điểm D Điểm E 1 u=v=0 v=0 v=0 u=0 2 u=0 u=v=0 v=0 v=0 3 v=0 u=v=0 v=0 u=0 4 u=0 u=0 u=0 v=0 u=0 5 u=0 v=0 u=v=0 u=0 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 59(53) Sơ đồ hình học Trong các sơ đồ dưới đây, các phần tử là những hình tam giác vuông cân có cạnh bên là a BA C D E I BA C D E II BA C D E III July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 60(53) Sơ đồ tấm q q q 2q A Sơ đồ tấm q q 2q 2q B Sơ đồ tải trọng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 61(53) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 62(53)