Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 7 Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(39) Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI I LI L I Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp ® ¹ i h ä c July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) Chương 7 Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(39) NỘI DUNG 7.1. Bài toán ứng suất phẳng7.1. Bài toán ứng suất phẳng 7.2. Bài toán biến dạng phẳng7.2. Bài toán biến dạng phẳng 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(39) Mở đầu Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ không gian ba chiều. Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai trong ba biến số toạ độ. Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên chiều dày tấm và song song với mặt trung bình. Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp bài toán này. Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông góc vớimặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(39) 7.1. Bài toán ứng suất phẳng 7.1. Bài toán ứng suất phẳng7.1. Bài toán ứng suất phẳng xyyx τσσ ,, yσ xσ xyτ xyτ Giả thiết: - Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy) - Chiều dày tấm là bé so với các kích thước còn lại (h<<D) - Ví dụ: tấm mỏng yσ xσ xyτ xyτ ( ) 0=±= hzzσ ( ) 0=±= hzzxτ ( ) 0=±= hzzyτ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(39) 7.1. Bài toán ứng suất phẳng 1. Đặc điểm: 0zx zy zzσ σ σ= = = 0γ γ= =zx zy ƒ Giả thiết: (mặt trên và dưới không có tải trọng)=> ; ; xx yy xyσ σ σ ; ; xx yy xyε ε ε ƒ Các ẩn số ứng suất: ƒ Các ẩn số biến dạng: ( )1 0 1zz xx yy xx yyE ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = + ≠⎜ ⎟⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎝ ⎠ με μ σ σ ε εμ 2. Phương trình cân bằng: 0yxxx xfx y σσ ∂∂ + + =∂ ∂ 0xy yy yfx y σ σ∂ ∂+ + =∂ ∂ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(39) 7.1. Bài toán ứng suất phẳng 3. Phương trình động hình học Cauchy xx u x ε ∂= ∂ yy v y ε ∂= ∂ 1 ( ) 2xy u v y x ε ∂ ∂= +∂ ∂ 4. Phương trình tương thích: yxxy xyyyxx ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ εεε 2 2 2 2 2 2 1 xx xx yyE ε σ νσ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 5. Phương trình định luật Hooke: 1 yy yy xxE ε σ νσ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 1 1 2xy xy xyE νε σ σμ += = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x E γ ε ε νν ν ντ σ σ 2 100 01 01 1 2 ( ) 1zz xx yy νε = − ε + ε− ν July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(39) 7.2. Bài toán biến dạng phẳng 7.2. Bài toán biến dạng phẳng7.2. Bài toán biến dạng phẳng yε xε xyγ xyγxyyx γεε ,,Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng z 1 Đoạn chiều dài 1 đ.v x y yσ xσ xyτ xyτ zσ Đập nước Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài, hai đầu bị ngàm chặt July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(39) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(39) 7.2. Bài toán biến dạng phẳng 1. Đặc điểm: ; ; xx yy xyσ σ σ ; ; xx yy xyε ε ε ƒ Các ẩn số ứng suất: ƒ Các ẩn số biến dạng: 2. Phương trình cân bằng: 0yxxx xfx y σσ ∂∂ + + =∂ ∂ 0xy yy yfx y σ σ∂ ∂+ + =∂ ∂ ƒ Giả thiết: 0zx zy zzε ε ε= = = 0;zx zy⇒ = =σ σ ( )0zz ≠σ 3. Phương trình động hình học Cauchy xx u x ε ∂= ∂ yy v y ε ∂= ∂ 1 ( ) 2xy u v y x ε ∂ ∂= +∂ ∂ 4. Phương trình tương thích: yxxy xyyyxx ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ εεε 2 2 2 2 2 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 11(39) Vì: ( )1 0zz zz xx yyEε σ ν σ σ⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦ ( )zz xx yy⇒ = +σ ν σ σ ( ) 21 1 1xx xx yy zz xx yyE E ν νε σ ν σ σ σ σν − ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + = −⎜ ⎟⎣ ⎦ −⎝ ⎠ Mà: 1 1 1 xx xx yyE ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ε σ ν σ 1 1 1 yy yy xxE ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ε σ ν σ 1 1 11 2xy xy xyE += = νε σ σμ 1/E1 ν1 1 21 EE ν= − 1 1 νν ν= − ( )( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −+=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x E γ ε ε ννν νν νντ σ σ 2 2100 01 01 211 ( )zz xx yy= +σ ν σ σ 7.2. Bài toán biến dạng phẳng 5. Phương trình định luật Hooke: July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12(39) 7.3.1. Nhận xét chung về các bài toán phẳng: ¾ Các phương trình cơ bản của bài toán biến dạng phẳng và ứng suất phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở phương trình vật lý (E và E1, ν và ν1) => Phương pháp giải giống nhau. ¾ Bài toán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị). Ta có 8 phương trình để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động hình học và 3 pt vật lý) ¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân: * xx xy xl m fσ + σ = * xy yy yl m fσ + σ = ¾ Có cùng phương trình tương thích ( )2 0xx yyσ σ∇ + = (Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp vớiphương trình cân bằng, lực thể tích =const) 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(39) 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn: - Là hàm hai biến độc lập (x, y)- Là hàm hai biến độc lập (x, y) Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích => Pt điều hoà Levy có dạng: - Khi bỏ qua lực thể tích: - Khi bỏ qua lực thể tích: 2 2 yxx ∂ ∂= ϕσ 2 2 xyy ∂ ∂= ϕσ yxxy ∂∂ ∂−= ϕσ 2 4 4 4 4 4 2 2 42 0x x y y ∂ ∂ ∂∇ = + + =∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕϕ Phương trìnhđiều hoà kép July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(39) 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.4. Đường lối giải bài toán LTĐH Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác (khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục). a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó khăn khi muốn có lời giải chính xác. b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản. VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác. Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm. a b c b x yy x July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 15(39) Các bước giải: • Kiểm tra điều kiện: 4 4 44 4 2 2 42 0x x y y ∂ φ ∂ φ ∂ φ∇ ϕ = + + =∂ ∂ ∂ ∂ • Xác định các thành phần ứng suất 2 2 yxx ∂ ∂= ϕσ 2 2 xyy ∂ ∂= ϕσ yxxy ∂∂ ∂−= ϕσ 2 •Tìm tải trọng theo điều kiện biên Trên mỗi biên xác định các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y) • Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn) σxxl + σyxm = fx* σxyl + σyym = fy* 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 16(39) c. Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa một số hệ số dưới dạng ẩn, sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn đk biên, từ đó xác định được các hệ số và các số hạng chưa biết. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(39)