Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 6 Lý thuyết đàn hồi tuyến tính

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(39) Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI I LI L I Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp ® ¹ i h ä c July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) Chương 6 Lý thuyết đàn hồi tuyến tính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(39) NỘI DUNG 6.1. Định luật Hooke6.1. Định luật Hooke 6.2. Biểu thức nội năng6.2. Biểu thức nội năng 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(39) 6.1. Định luật Hooke 6.1. Định luật Hooke6.1. Định luật Hooke Tĩnh học: trạng thái ứng suấtTĩnh học: trạng thái ứng suất Hình học: trạng thái biến dạngHình học: trạng thái biến dạng Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất - biến dạng ??? Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất - biến dạng ??? Chương 3: Chương 4: July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(39) 6.1. Định luật Hooke Tổng quát: các ứng suất có thể biểu diễn bằng hàm của các biến dạng ( )ij ijfσ ε= Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính khi bỏ qua những mất mát nhiệt năng, quan hệ ứng suất – biến dạng là các quan hệ thuần nhất tuyến tính σ σ σ σ σ σ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ 11 22 33 12 23 13 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 45 55 56 61 62 63 64 65 66 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 11 22 33 12 23 13 ε ε ε ε ε ε ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ = . [Cij]6x6 -ma trận các hằng số đàn hồi – 36 phần tử July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(39) 1 2 11 12 13 3 21 22 23 4 31 32 33 5 6 σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ σ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⇒⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 3 4 56 1 11 2 22 3 33 4 23 5 13 6 12 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = = = = = = 6.1. Định luật Hooke July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(39) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⇒ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 333231 232221 131211 γ γ γ ε ε ε εεε εεε εεε 2 1 3 4 56 126 135 234 333 222 111 2 2 2 εγ εγ εγ εε εε εε = = = = = = γ = 2ε 6.1. Định luật Hooke July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(39) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 6 5 4 3 2 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 6 5 4 3 2 1 ε ε ε ε ε ε σ σ σ σ σ σ CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC Dị hướng: ứng suất đơn có thể gây nên biến dạng dài và biến dạng góc Tương tác kéo - cắt Tương tác cắt - cắt Tương tác kéo - kéo 6.1. Định luật Hooke July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(39) Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh trong nền epoxy, và (d) a tinh thể khối lập phương. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(39) 6.2. Biểu thức nội năng 6.2. Biểu thức nội năng6.2. Biểu thức nội năng Khi phân tố biến dạng, các nội lực (ứng suất) trên các mặt của phân tố sẽ thực hiện các công (A) trên các chuyển vị đường và chuyển vị góc tương ứng của phân tố. Vật thể đàn hồi lý tưởng: năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo toàn do vậy công của nội lực trên phân tố sẽ hoàn toàn chuyển hoá thành thế năng biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong trong phân tố: A W= δ δ⇒ =A W 11 11 22 22 33 33 12 12 13 13 13 13 ij ijAδ σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε= + + + + + = Mặt khác thế năng biến dạng đàn hồi là hàm của các thành phần biến dạng Mà: ( )ijW W ε= ij ij WWδ δεε ∂⇒ = ∂ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 11(39) Công thức Clapeyron xác định thế năng biến dạng đàn hồi 1 2 ij ij W σ ε= Định lý Castigliano ij ij Wε σ ∂= ∂ Định lý Green: các thành phần nội lực (ứng suất) bằng đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với biến dạng tương ứng ij ij Wσ ε ∂= ∂ (5.5) (5.6) (5.7) 6.2. Biểu thức nội năng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12(39) 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3.1. Vật liệu đàn hồi dị hướng Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, các tính chất đối xứng hình học làm giảm đi số lượng các hằng số độc lập của ma trận độ cứng hay ma trận độ mềm. => 21 hằng số [ ] 11 12 13 14 15 16 22 23 24 25 26 33 34 35 36 44 45 46 55 56 66 § X C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(39) Trục đối xứng đàn hồi: Trong hệ trục toạ độ Ox1x2x3 và Ox’1x’2x’3 (x3≡x’3) tại 1 điểm xác định nếu các hằng số đàn hồi Cij không thay đổi khi chuyển từ hệ trục này sang hệ trục khác bằng phép quay => x3 (x’3) là trục đối xứng đàn hồi Mặt phẳng đối xứng đàn hồi: Nếu phép biến đổi là đối xứng gương của các trục đối với một mặt phẳng nào đó thì mặt phẳng này gọi là mặt phẳng đối xứng đàn hồi (mặt phẳng x1x2) 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(39) Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ: 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi Mặt phẳng đối xứng đàn hồi: July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 15(39) Nếu tồn tại một mặt phẳng đối xứng đàn hồi (mặt phẳng vuông góc với e3) thì gọilà vật liệu đơn nghiêng, khi đó số các hằng số độc lập trong ma trận độ cứng và độ mềm là 13. 6.3.2. Vật liệu đơn nghiêng (monoclinic) 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi c b a e3 e1 e2 e’1 e’3e’2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 16(39) 6.3.3. Vật liệu trực hướng (orthotropic) Vật liệu có 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc với nhau từng đôi một, khi đó ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn 9 hằng số độc lập. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi ca b ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− 100 010 001 100 010 001 100 010 001 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(39) 6.3.4. Vật liệu đẳng hướng ngang Nếu một trong các mặt phẳng đối xứng đàn hồi của vật liệu trực hướng là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng ngang. Ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn lại 5 hằng số độc lập. )( ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − 66 66 2322 222312 232212 121211 00000 00000 00 2 1000 000 000 000 C C CC CCC CCC CCC 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 100 0cossin 0sincos ][ θθ θθ Q July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(39) 6.3.5. Vật liệu đẳng hướng Nếu mọi mặt phẳng đối xứng vật liệu trong vật liệu trực hướng đều là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng. Tính chất của vật liệu theo mọi phương là như nhau, lúc này số các hằng số độc lập chỉ còn 2 )( )( )( 11 12 12 12 11 12 12 12 11 11 12 11 12 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 2 10 0 0 0 0 2 10 0 0 0 0 2 C C C C C C C C C C C C C C C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 12C λ= )( 11 1212 C C μ− = λ, μ - hằng số Lamé 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(39) Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng có thể viết dưới dạng sau: 11 112σ με λθ= + 22 222σ με λθ= + 33 332σ με λθ= + 12 122σ με= 13 132σ με= 23 232σ με= 2ij ij ijσ με δ λθ= + ( )2 1 Eμ ν= + 11 22 33iiθ ε ε ε ε= = + + λ- hằng số Lamé ( )( )1 1 2 Eνλ ν ν= + − (5.13a) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 00000 00000 00000 0002 0002 0002 γ γ γ ε ε ε μ μ μ μλλλ λμλλ λλμλ τ τ τ σ σ σ 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi μ – modul đàn hồi trượt July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 20(39) Dạng biểu diễn biến dạng qua ứng suất của định luật Hooke ( )11 11 22 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )22 22 11 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )33 33 11 221Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ 12 12 1 E += νε σ 13 13 1 E += νε σ 23 23 1 E += νε σ 1 ij ij ij kkE E ν νε σ δ σ+= − ν - hệ số Poisson ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 100000 010000 001000 0001 0001 0001 τ τ τ σ σ σ μ μ μ νν νν νν γ γ γ ε ε ε / / / E/E/E/ E/E/E/ E/E/E/ 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi ( )2 1 Eμ ν= + G (Sức bền Vật liệu) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(39) 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản 6.4.1. Các phương trình cơ bản Vật thể đàn hồi tuyến tính có thể tích V, mật độ vật chất ρ bề mặt giới hạn S, nằm cân bằng dưới tác động của ngoại lực thể tích có cường độ f trong toàn bộ hay một phần thể tích V, của ngoại lực bề mặt có cường độ f* trên phần S1 của mặt giới hạn, và của các chuyển vị cưỡng bức cho trước u0 trên phần S2 của mặt giới hạn. V S1 S2 Mục đích: Xác định ứng suất, chuyển vị và biến dạng của vật thể đàn hồi • Bài toán tĩnh: gia tốc các chuyển vị bằng không • Bài toán động: gia tốc các chuyển vị khác không July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 22(39) Phương hướng giải quyết: • Các phương trình cân bằng: quan hệ giữa các ứng suất với nhau, giữa các ứng suất và các ngoại lực. • Các phương trình hình học: quan hệ giữa các biến dạng và chuyển vị, các quan hệ giữa các biến dạng với nhau. • Các phương trình vật lý: quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng (định luật Hooke). • Tìm cách giải hệ thống các phương trình kể trên. 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 23(39) a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy (3.7) 1 11 1 u x ε ∂= ∂ 2 22 2 u x ε ∂= ∂ 3 33 3 u x ε ∂= ∂ 2 1 12 21 12 1 2 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ 3 2 23 32 23 2 3 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ 3 1 13 31 13 1 3 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ 11 21 31 1 1 2 3 0f x x x σ σ σ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ 12 22 32 2 1 2 3 0f x x x σ σ σ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ 31 32 33 3 1 2 3 0f x x x σ σ σ b. Hệ phương trình hình học Cauchy (4.15) (5.16) (5.17) 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 24(39) c. Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34) 2 2 2 2 11 22 12 12 2 2 2 1 1 2 1 2 2 x x x x x x ε ε ε γ∂ ∂ ∂ ∂+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 22 33 13 1311 2 2 3 1 1 3 1 3 2 x x x x x x ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 22 33 23 2322 2 2 3 2 2 3 2 3 2 x x x x x x ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 23 3111 12 2 3 1 1 2 3x x x x x x ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 31 2322 12 3 1 2 2 3 1x x x x x x ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 33 23 3112 1 2 3 3 1 2x x x x x x ε ε εε⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (5.18) 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 25(39) d. Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b) 11 112σ με λθ= + 22 222σ με λθ= + 33 332σ με λθ= + 12 122σ με= 13 132σ με= 23 232σ με= ( )11 11 22 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )22 22 11 331Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )33 33 11 221Eε σ ν σ σ= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ 12 12 1 E += νε σ 13 13 1 E += νε σ 23 23 1 E += νε σ Hệ gồm 15 phương trình vi phân và đại số: (5.19a) (5.19b) • 3 phương trình (5.16) • 6 phương trình (5.17) hoặc (5.18) • 6 phương trình (5.19a) hoặc (5.19b) 15 hàm ẩn: 6 ứng suất + 6 biến dạng + 3 chuyển vị Điều kiện biên ??? 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 26(39) 6.4.2. Điều kiện biên a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học)a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học) + + = *11 1 21 2 31 3 1l l l fσ σ σ + + = *12 1 22 2 32 3 2l l l fσ σ σ + + = *13 1 23 2 33 3 3l l l fσ σ σ Trên bề mặt S1 của vật thể chịu lực bề mặt cường độ *if 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 27(39) b. Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học)b. Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học) Trên phần bề mặt S2 chịu các chuyển vị hoặccác đạo hàm của chuyển vị cưỡng bức usi = u0i ; vsi = v0i (hoặc các đạo hàm của chuyển vị) u0, v0 là các thành phần chuyển vị đã biết trên bề mặt. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 28(39) c. Nguyên lý Saint-Venantc. Nguyên lý Saint-Venant Khi giải các bài toán biên, để giảm bớt khó khănkhi tính toán người ta thường sử dụng một nguyên lý nổi tiếng là nguyên lý Saint-Venant: Nếu trên một miền nhỏ của vật thể đàn hồi có tác dụng một hệ lực trong trạng thái cân bằng , thì ở những nơi đủ xa miền đặt lực đó, trạng thái ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào hợp lực đặt vào, mà không phụ thuộc vào hình thức phân bố của các lực đó. Áp dụng nguyên lý này, ta có thể thay thế các điều kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng các điều kiện biên tích phân viết theo hợp lực. 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(39) Saint-Venant’s Principle July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(39) 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi Nếu giải cùng lúc 15 phương trình trên để nhận được 15 ẩn số: cồng kềnh về mặt toán học Thu gọn về một số phương trình để tìm một số hàm ẩn chính - các phương trình để giải của bài toán ƒ Cách giải theo chuyển vị: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần chuyển vị ƒ Cách giải theo ứng suất: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần ứng suất ƒ Cách giải hỗn hợp: Chọn một phần ẩn chuyển vị, một phần ẩn ứng suất Các ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi đã xác định được các ẩn số chính. 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 31(39) 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi 6.5.1. Cách giải theo chuyển vị Ẩn số là các thành phần chuyển vị ui , để xác định chúng cần 3 phương trình Từ 3 phương trình cân bằng, biểu diễn ứng suất qua biến dạng, rồi biến dạng qua chuyển vị ta nhận được hệ phương trình Lamê. 2 2 1 1 1 2 1 ( ) 0 d uu f x dt θμ μ λ ⎛ ⎞∂∇ + + + = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 d uu f x dt θμ μ λ ⎛ ⎞∂∇ + + + = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ 2 2 3 3 3 2 3 ( ) 0 d uu f x dt θμ μ λ ⎛ ⎞∂∇ + + + = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ 31 2 1 2 3 uu u x x x θ ∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3x x x ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ Nabla kép (5.21) Giải (5.21) Pt quan hệ cvị-bdạngu i Định luật Hookeε i σi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 32(39) 6.5.2. Cách giải theo ứng suất Sáu ẩn ứng suất cần 6 phương trình. Ba phương trình cân bằng (hoặc chuyển động) và điều kiện biên không đủ xác định trạng thái ứng suất một cách duy nhất => Bài toán siêu tĩnh => Cần bổ sung phương trình : biến đổi phương trình tương thich biến dạng Từ các pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ các pt định luật Hooke, chú ý đến 3 pt cân bằng ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel 2 2 11 2 1 (1 ) 0Sv x σ ∂+ ∇ + =∂ 2 2 22 2 2 (1 ) 0Sv x σ ∂+ ∇ + =∂ 2 2 33 2 3 (1 ) 0Sv x σ ∂+ ∇ + =∂ 2 2 12 1 2 (1 ) 0Sv x x σ ∂+ ∇ + =∂ ∂ 2 2 13 1 3 (1 ) 0Sv x x σ ∂+ ∇ + =∂ ∂ 2 2 23 2 3 (1 ) 0Sv x x σ ∂+ ∇ + =∂ ∂ 11 22 33S σ σ σ= + + là hàm tổng ứng suất (5.22) 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 33(39) 6.5.3. Các phương pháp giải - Lời giải giải tích và lời giải số Bài toán thuận: xác định ứng suất, biến dạng xuất hiện trong vật thể có hình dáng cho trước, chịu tác dụng của lực ngoài cho trứơc => Tích phân phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động với điều kiện biên và điều kiện ban đầu Bài toán ngược: cho biết trước biến dạng hay ứng suất, cần phải xác định lực ngoài tác dụng lên vật thể để sinh ra biến dạng đó ¾ Phương pháp thuận: Tích phân trực tiếp các phương trình, các hằng số xác định theo điều kiện biên. Khó khăn về mặt toán học. ¾ Phương pháp ngược: Cho nghiệm, thử các điều kiện của bài toán. Nếu đúng thì nghiệm ban đầu cho là đúng, nếu sai thì chọn lại nghiệm khác. Khó khăn về mặt thời gian (chỉ dùng trong một số bài toán đơn giản). 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 34(39) ¾ Phương pháp nửa ngược (Saint-Venant): Cho dạng nghiệm, dạng này có thể đã thoả mãn một vài điều kiện nào đó của bài toán nhưng dạng nghiệm còn chứa một số hằng số hoặc hàm số chưa xác định. Những hàm số, hằng số này có thể tìm được từ những điều kiện còn lại của bài toán. (đa số các bài toán sử dụng phương pháp này) Phần lớn các bài toán quan trọng của kỹ thuật đều giải bằng phương pháp nửa ngược ™Các dạng lời giải: • Lời giải giải tích: cho kết quả nghiệm là những hàm số giải tích - biết nghiệm tại mọi điểm của vật thể => Phương pháp giải tích. • Lời giải số: cho kết quả nghiệm bằng số tại một số điểm của vật thể. => Phương pháp số. • Cùng với sự phát triển của công cụ tính toán, phương pháp số ngày càng được ứng dụng rộng rãi và tỏ ra rất hữu hiệu trong việc giải quyết các bài toán thực tế kỹ thuật (phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn...) 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 35(39) * * ( ) ( ) ( ) ( ) x s xy s x y s xy s y l m f m l f σ τ σ τ + = + = 1,0 −== ml * * 00, ( )x y xf f p x p l = = − = − Bài toán phẳng A B C x y β h p(x) p0 l AB（y = 0）： )(0)1( 0)1(0 xpyxy xyx −=⋅+−⋅ =−⋅+⋅ τσ τσ 0 0 ==yxyτ 00 )( p l xxp yy ===σ Ví dụ (điều kiện biên ứng suất ) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 36(39) A B C x y β h p(x) p0 l Biên AC cos( , ) cos(90 ) sin l N x β β = = + = − D βcos),cos( == yNm 0)sin(cos 0cos)sin( =−⋅+⋅ =⋅+−⋅ βτβσ βτβσ yxy xyx July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 37(39) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ww vv uu s s s A B C x y β h p(x) p0 l Điều kiện biên chuyển vị BC（x = l）： 0|,0| == == lxlx vu 0,0 =∂ ∂=∂ ∂ == lxlx x v y u July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 38(39)