Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 4 Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(39) Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI I LI L I Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp ® ¹ i h ä c July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) Chương 4 Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(39) NỘI DUNG 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính 4.5. Cường độ biến dạng4.5. Cường độ biến dạng 4.6. Ten-xơ quay4.6. Ten-xơ quay 4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(39) 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động 4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ độ - Hệ toạ độ đồng hành và hệ toạ độ qui chiếu • Hệ trục toạ độ vuông góc Descrates x, y, z có thể biểu diễn dạng x1, x2, x3 hoặc xi vớii=1, 2, 3 • X1 X2 X3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi là hệ trục toạ độ đồng hành (t=0) Xi - tọa độ điểm vật chất ban đầu, Xi ∉ t • x1x2x3 (xi ) –hệ toạ độ qui chiếu (t≠0) M - điểm vật chất (t=0) M1- điểm vật chất (t≠0) X1 X2 X3 x1 x2 x3 M M1t=0 t R u r b 1u MM r b R= = + − G JJJJG G G G - Vec tơ chuyển vị của điểm M: July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(39) 4.1.2 Chuyển vị Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị Chuyển vị ƒ Chuyển vị cứngƒ Chuyển vị cứng ƒ Chuyển vị gây biến dạngƒ Chuyển vị gây biến dạng • Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi • Khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(39) - Vec tơ chuyển vị của điểm M: -Chọn 2 hệ trục toạ độ đồng hành và qui chiếu cùng gốc, phương và chiều R u r u r R= −G G JG - Hình chiếu các thành phần chuyển vị lên 3 trục: i i iu = x - X Mô tả chuyển động • Lagrange• Lagrange • Euler• Euler 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(39) 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động • Mô tả Lagrange• Mô tả Lagrange Mô tả các phần tử vật chất tại các thời điểm t khác nhau 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x x X X X t x x X X X t x x X X X t = = = ⎧⎪⎨⎪⎩ 1 2 3( , , , ) ( , )i i i ix x X X X t x X t= = ( ),iu u X t=G G R u r xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét - Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange (4.1) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(39) • Cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vậtchất M (quĩ đạo chuyển động). • Cố định thời gian t thì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong môi trường tại thời điểm t • Nếu cả Xi và t cùng thay đổi thì (4.1) xác định qui luật chuyểnđộng của môi trường . 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(39) • Mô tả Euler• Mô tả Euler Mô tả hiện tượng xảy ra tại điểm không gian M1 ở thời điểm t R u r xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét - toạ độ (biến số) Euler - Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - (4.2) 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) X X x x x t X X x x x t X X x x x t = = = ⎧⎪⎨⎪⎩ 1 2 3( , , , ) ( , )i i i iX X x x x t X x t= = ( ),G G iu u x t= xi = xi (t) 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(39) • Nếu cố định M1, thì phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vậtchất lần lượt chuyển tới M1 theo thời gian t. • mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòng chảy, tại các điểm khác nhau của thành ống) • mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 11(39) 4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange Mô tả Lagrange Mô tả Euler Biến Lagrange Xi Biến Euler xi J ≠ 0Chuyển động 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 0i j x x x X X X dx x x xJ dX X X X x x x X X X ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ≠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Đại lượng nghiên cứu A 1 2 3( , , , )i iA A X X X t= 1 2 3( , , , )i iA A x x x t= 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12(39) 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2.1. Đạo hàm vật chất: Vận tốc thay đổi theo thời gian t của một đại lượng của phần tử vật chất gọi là đạo hàm vật chất của đại lượng đó Đại lượng AĐại lượng A dt dA ( )tXAA i ,=Lagrange Euler ( )txAA i ,= t A dt dA ∂ ∂=→ ∑ = ∂ ∂+∂ ∂= 3 1i i i x Av t A dt dA July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(39) 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2.2. Vận tốc Vận tốc chuyển động tức thời của các phần tử vật chất là đạo hàm của các chuyển vị theo thời gian. i i duv u v e dt = = =i GJJGG JG ( ), ;i i i iu u X t X t= ∉Lagrange Euler ( )( ),i iu A x t t= ( ) ( ) ( )1 1 11 1 , , ,i i iu X t u X t u X tduv dt t t t ∂ ∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂ ( )j ,ii i i u X tduv u dt t ∂= = = ∂ i 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 du u u u uv v v v dt t x x x ∂ ∂ ∂ ∂= = + + +∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ), ,i j i j i i k k u x t u x t v u v t x ∂ ∂= = +∂ ∂ i July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(39) 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2.3. Gia tốc Là đạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc ( ), ;i i i iu u X t x t= ∉Lagrange Euler ( )( ),i iu A x t t= ( ) ( ) ( )1 31 1 1 21 1 ,, , v X tv X t v X tdva dt t t t ∂∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂ 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 dv v v v va a a a dt t x x x ∂ ∂ ∂ ∂= = + + +∂ ∂ ∂ ∂ i i dva v a e dt = = =i GJGG JG ( ) ( ), ,i j i j i dv X t v X t a dt t ∂= = ∂ ( ) ( ) ( ), , ,i j i j i j i k k dv x t v x t v x t a v dt t x ∂ ∂= = +∂ ∂ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 15(39) 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3.1. Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho m m n nu 1 u3 2u u2 u 1 u3 * * * 1 1 3x e e3 2 1eO 1x x 2Xét hai điểm vật chất M, N lân cận nhau M(x1,x2,x3) và N(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3) Ngoại lực => Biến dạng: M=>M1 và N=> N1 Các thành phần của vec tơ chuyển vị ( )1 1 2 3, ,MM u u uJJJJJG( )* * *1 1 2 3, ,NN u u uJJJJJG * 1 1 1u u du= + * 2 2 2u u du= + * 3 3 3u u du= +( )1 1 iu u x= ( )2 2 iu u x= ( )3 3 iu u x= khai triển Taylor July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 16(39) m m n nu 1 u3 2u u2 u 1 u3 * * * 1 1 3x e e3 2 1eO 1x x 2 * 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 u u uu u dx dx dx x x x ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ * 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 u u uu u dx dx dx x x x ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ * 3 3 3 3 3 1 2 3 1 2 3 u u uu u dx dx dx x x x ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ Nếu hai điểm khảo sát nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt toạ độ, đồng thời song song với một trong hai trục của mặt phẳng toạ độ thì các phương trình trên có dạng đơn giản hơn MN//Ox1x2x3, và MN//Ox1 => 2 3 0dx dx= = * 1 1 1 1 1 uu u dx x ∂= + ∂ * 2 2 2 1 1 uu u dx x ∂= + ∂ * 3 3 3 1 1 uu u dx x ∂= + ∂ 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(39) 4.3.2. Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi) M Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox1x2 M => M1: chuyển vị MM1: u1(x1,x2), u2(x1,x2) Điểm lân cận N => N1: chuyển vị NN1: 1 1 1 1 uu dx x ∂+ ∂ 2 2 1 1 uu dx x ∂+ ∂ Điểm lân cận P => P1: chuyển vị PP1: 1 1 2 2 uu dx x ∂+ ∂ 22 2 2 uu dx x ∂+ ∂ x1 x2 u1+ ∂ u2 ∂ x1 dx1 u 2 u2+ ∂ u2∂ x2 dx2 P1 M1 N1 dx1 M u1 N P u1+ ∂ u1∂ x1 dx1 u2+ ∂ u2∂ x1 dx1d x 2 α β N2 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(39) x1 x2 u1+ ∂ u2 ∂ x1 dx1 u 2 u2+ ∂ u2∂ x2 dx2 P1 M1 N1 dx1 M u1 N P u1+ ∂ u1∂ x1 dx1 u2+ ∂ u2∂ x1 dx1d x 2 α β N2 - Biến dạng dài tỉ đối theo các phương x1, x2 là 11 22,ε ε 1 1 11 M N MN MN ε −= 1MN dx= 1 2 1 1 1 2cos M NM N M Nα=  (Biến dạng bé) - Biến dạng góc trong mặt phẳng x1x2 là 12γ 12γ α β= + Biến dạng bé: sin ; tgα α α sintgβ β β  2 1 12 1 2 u u x x γ ∂ ∂= +∂ ∂ 1 11 1 u x ε ∂= ∂ 2 22 2 u x ε ∂= ∂ 3 33 3 u x ε ∂= ∂ 2 1 12 21 12 1 2 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ 3 2 23 32 23 2 3 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ 3 1 13 31 13 1 3 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ (4.15) 1 11 1 ;u x ε ∂= ∂ 2 22 2 u x ε ∂= ∂ ij 1 2 ji j i uu x x ε ⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(39) 4.3.3 Ten xơ biến dạng bé x1 x2 x3 M K K1 M1 x3 x1 x2 x1+dx1 x3+dx3 x2+dx2 ds1 ds 1. Biến dạng dài theo phương bất kỳ Khảo sát một vi phân chiều dài ds = MK theo phương ν bất kỳ - Toạ độ ban đầu: ( ) ( )1 2 3, , iM x x x M x= ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , i iK x dx x dx x dx K x dx+ + + = + Khi biến dạng MK => M1K1=ds1chuyển vị của M là ui 1( )i iM x u+ 1( )i i i iK x dx u du+ + + Biến dạng dài theo phương ν ( )2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32l l l l l l l l lννε ε ε ε ε ε ε= + + + + + li=dxi/ds 1 2 2 2 22 ds ds dsνν νν ε ε −+ = 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 20(39) 2. Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng (4.19) 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Tε ε γ γε ε ε ε ε ε γ ε γ ε ε ε γ γ ε ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0T D Tε ε ε= + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 tb tb tb Dε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ •Tenxơ lệch biến dạng•Tenxơ lệch biến dạng •Tenxơ cầu biến dạng:•Tenxơ cầu biến dạng: 0 0 0 0 0 0 0 tb tb tb Tε ε ε ε ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )11 22 3313tbε ε ε ε= + + 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(39) 4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính • Tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, trên ba phương đó biến dạng trượt bằng không - gọi là phương biến dạng chính • Các biến dạng tương ứng theo các phương này gọi là biến dạng chính, ký hiệu là 11 22 33, ,ε ε ε •Các biến dạng chính được xác định từ phương trình: ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (4.23) 1 11 22 33J ε ε ε= + + 22 23 11 1311 12 2 32 33 31 3321 22 J ε ε ε εε ε ε ε ε εε ε= + + 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 J ε ε ε ε ε ε ε ε ε = 4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 22(39) 4.5. Cường độ biến dạng Cường độ biến dạng là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của ten-xơ lệch biến dạng ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 211 22 22 33 33 11 12 23 312 63iε ε ε ε ε ε ε ε ε ε= − + − + − + + + (4.25) 4.6. Ten-xơ quay Ngoài biến dạng dài và biến dạng góc, phân tố còn bị quay. Sự quay này được đặc trưng bởi góc quay của đường chéo phân tố. 4.5. Cường độ biến dạng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 23(39) x x 2 1M N QP P1 N 1 x x 2 1M N QP P Q1 1 α α/2 β/2 β • Xét góc quay của đường chéo MQ của hình chiếu phân tố hình lập phương trên mặt Ox1x2 quay quanh trục x3, ta ký hiệu là 12ω α/2 – MN quay góc αα/2 – MN quay góc α β/2 – MP quay góc ββ/2 – MP quay góc βω12 •Nếu qui ước góc quay là dương, khi đường chéo quay ngược chiều kim đồng hồ ta có: 2 1 12 1 2 1 2 2 2 u u x x α βω ⎛ ⎞∂ ∂= − = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 2 1 12 1 2 1 2 u u x x ω ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 32 13 3 1 1 2 uu x x ω ⎛ ⎞∂∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 3 2 23 2 3 1 2 u u x x ω ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (4.26) 4.6. Ten-xơ quay July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 24(39) 1 2 ji ij ji j i uu x x ω ω⎛ ⎞∂∂= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 1 1 2 2 j i i ij ij ij i j j u u u x x x ε γ ω⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Ten xơ biến dạng có thể biểu diễn 1 1 1 1 2 311 12 13 12 31 2 2 12 21 22 23 12 23 1 2 3 31 2331 32 33 3 3 3 1 2 3 0 0 0 u u u x x x u u uT x x x u u u x x x ε ε ε ε ω ω ε ε ε ω ω ω ωε ε ε ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ Ten xơ quay 12 31 12 23 31 23 0 0 0 Tω ω ω ω ω ω ω −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ (4.30) 4.6. Ten-xơ quay July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 25(39) 4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy • Vận tốc và gia tốc biến dạng là các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến dạng theo thời gian • tenxơ vận tốc biến dạng bé• tenxơ vận tốc biến dạng bé • tenxơ vận tốc xoáy• tenxơ vận tốc xoáy (đạo hàm bậc nhất của các thành phần tenxơ quay theo thời gian) 11 12 1311 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Tε ε γ γε ε ε ε ε ε γ ε γ ε ε ε γ γ ε ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ i i ii i i i i i i i i i i i i i i i 3112 12 23 31 23 0 0 0 Tω ω ω ω ω ω ω ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ i i i i i i 4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 26(39) 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng Hệ phương trình hình học Navier-Cauchy 1 11 1 u x ε ∂= ∂ 2 22 2 u x ε ∂= ∂ 3 33 3 u x ε ∂= ∂ 2 1 12 21 12 1 2 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ 3 2 23 32 23 2 3 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ 3 1 13 31 13 1 3 2 u u x x γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂ • Bài toán thuận: biết 3 thành phần chuyển vị => 6 thành phần biến dạng: OK !!! • Bài toán thuận: biết 3 thành phần chuyển vị => 6 thành phần biến dạng: OK !!! • Bài toán ngược: Biết 6 thành phần biến dạng => 3 thành phần chuyển vị ??? • Bài toán ngược: Biết 6 thành phần biến dạng => 3 thành phần chuyển vị ??? V S f* f 3 ẩn, 6 phương trình => giữa các thành phần biến dạng phải có ràng buộc 3 ẩn, 6 phương trình => giữa các thành phần biến dạng phải có ràng buộc Các phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở. Nếu sự biến dạng của các phân tố này là tùy ý thì giữa chúng có khe hở Các phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở. Nếu sự biến dạng của các phân tố này là tùy ý thì giữa chúng có khe hở Điều kiện tương thíchĐiều kiện tương thích 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 27(39) Phương trình tương thích biến dạng Nhóm 1: Quan hệ giữa các thành phần biến dạng trong một mặt phẳng 2 2 2 2 11 22 12 12 2 2 2 1 1 2 1 2 2 x x x x x x ε ε ε γ∂ ∂ ∂ ∂+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 22 33 13 1311 2 2 3 1 1 3 1 3 2 x x x x x x ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 22 33 23 2322 2 2 3 2 2 3 2 3 2 x x x x x x ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Nhóm 2: Quan hệ giữa các thành phần biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau 2 23 3111 12 2 3 1 1 2 3x x x x x x ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 31 2322 12 3 1 2 2 3 1x x x x x x ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 33 23 3112 1 2 3 3 1 2x x x x x x ε ε εε⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 28(39) 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn - Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé trong biểu thức 1 2 2 2 22 ds ds dsνν νν ε ε −+ = - Biến dạng là lớn (hữu hạn) thì biến dạng dài ενν2 không thể bỏ qua, nghiệmcủa phương trình (*) phụ thuộc vào 1 2 2ds ds− 1 2 2ds ds− = Toạ độ vật chất Lagrange Toạ độ vật chất Lagrange 2 2 1 ij2 i jds ds G dX dX− = Toạ độ không gian Euler Toạ độ không gian Euler 2 2 1 ij2 i jds ds A dx dx− = Tenxơ biến dạng Almansi Tenxơ biến dạng Green 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(39) Toạ độ vật chất LagrangeToạ độ vật chất Lagrange Tenxơ biến dạng Green 11 12 13 21 22 23 31 32 33 G G G G T G G G G G G ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 2 j i k k ij ji i j i j u u u uG G X X X X ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 2 2 31 1 2 11 1 1 1 1 1 2 uu u uG X X X X ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦2 2 2 32 1 2 22 2 2 2 2 1 2 uu u uG X X X X ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 2 3 31 2 33 3 3 3 3 1 2 u uu uG X X X X ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 3 31 2 1 1 2 2 12 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 u uu u u u u uG X X X X X X X X ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 3 31 1 1 2 2 13 1 3 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 u u uu u u u uG X X X X X X X X ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 3 32 1 1 2 2 12 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 u u uu u u u uG X X X X X X X X ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Các thành phần trên đường chéo của tenxơ biến dạng Green đặc trưng cho biến dạng dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ. 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(39) Toạ độ không gian EulerToạ độ không gian Euler Tenxơ biến dạng Almansi 11 12 13 21 22 23 31 32 33 A A A A T A A A A A A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 2 j i k k ij ji i j i j u u u uA A x x x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 2 2 31 1 2 11 1 1 1 1 1 2 uu u uA x x x x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 2 31 1 2 22 2 2 2 2 1 2 uu u uA x x x x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 2 3 31 2 33 3 3 3 3 1 2 u uu uA x x x x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 3 31 2 1 1 2 2 12 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 u uu u u u u uA x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 3 31 1 1 2 2 13 1 3 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 u u uu u u u uA x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 3 32 1 1 2 2 23 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 u u uu u u u uA x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Các thành phần trên đường chéo của tenxơ biến dạng Almansi đặc trưng cho biến dạng dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ. 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 31(39) 4.9.3. Trường hợp biến dạng bé - Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất các thành phần chuyển vị. - Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và Almansi có thể bỏ qua Tenxơ biến dạng bé GreenTenxơ biến dạng bé Green Tenxơ biến dạng bé EulerTenxơ biến dạng bé Euler 1 2 j i ij i j u uL X X ⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 1 2 ji ij j i uuE x x ⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠- So sánh hai trường hợp, ta thấy khi xét biến dạng bé thì đạo hàm theo biến Lagrange và Euler là như nhau, do vậy lúc này không cần phân biệt cách mô tả. Như vậy: 1 2 ji ij ij ij j i uuL E x x ε ⎛ ⎞∂∂= = = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 32(39)