Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 3 Lý thuyết về ứng suất

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(35) Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI I LI L I Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp ® ¹ i h ä c July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(35) Chương 3 Lý thuyết về ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(35) NỘI DUNG 3.1. Định nghĩa về ứng suất3.1. Định nghĩa về ứng suất 3.2. Điều kiện cân bằng3.2. Điều kiện cân bằng 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính 3.6. Ứng suất tiếp cực trị3.6. Ứng suất tiếp cực trị 3.7. Cường độ ứng suất3.7. Cường độ ứng suất 3.8. Bài tập tự giải3.8. Bài tập tự giải July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(35) 3.1. Định nghĩa về ứng suất Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng. Vật thể chịu tác dụng của ngoại lực ΔP ν Nội lực: mặt cắt – pháp tuyến ν Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν điểm P(x1, x2, x3) 0 lim A Pp Aν Δ → Δ= Δ JGJG pν - ứng suất toàn phần 3.1. Định nghĩa về ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(35) Phân tích vec tơ ứng suất pν ν pν3 pν1 pν2 1 2 31 2 3p p e p e p eν ν νν = + + JG G G G p νν νην σ σ= + JG JG JG 2 2 2 1 2 3p p p pν ν ν ν= + + 2 2pν νν νησ σ= + pνσνη σνν ν pν1, pν2, pν3 – các thành phần ứng suấttheo các phương 1, 2, 3 σνν – ứng suất pháp σi j σνη – ứng suất tiếp pháp tuyến phương ư.s 3.1. Định nghĩa về ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(35) x2 x1 x3 33σ 22σ 11σ xyσ 32σ 12σ 31σ 13σ 23σ 21σ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Tσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Tenxơ ứng suất Qui ước chiều dương của ứng suất - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng 3.1. Định nghĩa về ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(35) 3.2.1. Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm: ( )* * * *1 2 3, ,f f f f• Lực bề mặt có cường độ ( )1 2 3, ,f f f f• Lực thể tích có cường độ V S f* f 3.2. Điều kiện cân bằng Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ - Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật - Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện Vật thể ở trạng thái cân bằng⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng. 3.2. Điều kiện cân bằng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(35) 3.2.2. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy (Điều kiện cân bằng phân tố loại 1) - Lực tác động lên phân tố gồm: - Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i - Nội lực: các thành phần ứng suất σij - Các thành phần ứng suất trên các mặt lân cận xi, (xi+dxi): x x x σ11 + σ11x σ12 + σ12x σ13 + σ13x dx dx dx σ11 σ12 σ13 K M P 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 11 21 31 1 1 1 2 1 2 3 0 0 u X f x x x dt σ σ σ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + + + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠∑ 2 12 22 32 2 2 2 2 1 2 3 0 0 u X f x x x dt σ σ σ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + + + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠∑ σ σ σ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + + + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠∑ 2 13 23 33 3 3 3 2 1 2 3 0 0 u X f x x x dt là khối lượng riêngρ 3.2. Điều kiện cân bằng (3.7) 2 20 ji i i j uf x dt σ ρ∂ ⎛ ⎞∂+ = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ • Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy • Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(35) 3.2. Điều kiện cân bằng 3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp ij jiσ σ= (3.8) 3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2) σ22 f1 σ11 σ12 σ13 B C σ23 σ21 * f2* f3 * ν x2 x1 x3 A Xét điều kiện cân bằng phân tố tứ diện σ σ σ= ⇒ + + =∑ *1 11 1 21 2 31 3 10 X l l l f σ σ σ= ⇒ + + =∑ *2 12 1 22 2 32 3 20 X l l l f σ σ σ= ⇒ + + =∑ *3 13 1 23 2 33 3 30 X l l l f (3.9) * ji j il fσ =•Điều kiện biên:•Điều kiện biên: - (3.7) và (3.9): điều kiện cân bằng của toàn thể môi trường - (3.9) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân ( )cos ,i il xν= G JJG July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(35) 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng σ22 σ11 σ12 σ13 B C σ23 σ21 ν x2 x1 x3 A p p p ν1 ν2 ν3 Cosin chỉ phương của mặt nghiêng: ( )cos ,i il xν= G JJG Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng: 1 2 3, ,p p pν ν ν νpν* 1 1p fν ≈ * 2 2p fν ≈ * 3 3p fν ≈ Từ (3.9): July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 11(35) 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng σ22 σ11 σ12 σ13 B C σ23 σ21 ν x2 x1 x3 A p p p ν1 ν2 ν3 Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng: νσ σ σ+ + =11 1 21 2 31 3 1l l l p νσ σ σ+ + =12 1 22 2 32 3 2l l l p νσ σ σ+ + =13 1 23 2 33 3 3l l l p (3.10) ji j il pνσ = • Ứng suất trên mặt nghiêng:• Ứng suất trên mặt nghiêng: • Ứng suất toàn phần:• Ứng suất toàn phần: 2 2 21 2 3p p p pν ν ν ν= + + (3.12) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12(35) • Ứng suất pháp:• Ứng suất pháp: ( )ννσ σ σ σ σ σ σ2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32l l l l l l l l l= + + + + + • Ứng suất tiếp:• Ứng suất tiếp: νη ν ννσ σ= −2 2p (3.14) (3.13) ν σνν σνη 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần ứng suất lên pháp tuyến νν ν ν νσ = + +1 1 2 2 3 3p l p l p l July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(35) 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.1. Trạng thái ứng suất Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó. Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν điểm P(x1, x2, x3)Trạng thái ứng suất: - điểm P(x1, x2, x3) x2 x1 x3 33σ 22σ 11σ xyσ 32σ 12σ 31σ 13σ 23σ 21σ Qui ước chiều dương của ứng suất - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(35) 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ ' ij ik jl klc cσ σ= - hệ trục ban đầu xi- hệ trục mới 'ix ijc- cosin chỉ phương của góc giữa hệ trục mới và cũ: 3.4.3. Tenxơ ứng suất x2 x1 x3 33σ 22σ 11σ xyσ 32σ 12σ 31σ 13σ 23σ 21σ11 12 13 21 22 23 31 32 33 Tσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ • Ten xơ ứng suất:• Ten xơ ứng suất: Tenxơ hạng 2, đối xứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 15(35) • Ten xơ lệch ứng suất:• Ten xơ lệch ứng suất: 0T D Tσ σ σ= + σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 11 tb 12 13 21 22 tb 23 31 32 33 tb D • Ten xơ cầu ứng suất:• Ten xơ cầu ứng suất: σ σ σ σ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ tb tb tb 0 0 T 0 0 0 0 Biến đổi hình dáng Biến đổi thể tích 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 16(35) σ11 σ33 σ 22 σ33 - σtb σtb σtb σtb = σ11 - σtb σ22 - σtb Biến đổi hình dáng Biến đổi thể tích 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(35) - Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0. - Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính - Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính Giả sử phương chính có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ . Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có phương trùng với pháp tuyến và có giá trị bằng σ: i ip lν σ= Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng 2 2 2 1 2 3 1l l l+ + = ( )11 1 21 2 31 3 0l l lσ σ σ σ− + + = ( )12 1 22 2 32 3 0l l lσ σ σ σ+ − + = ( )13 1 23 2 33 3 0l l lσ σ σ σ+ + − = July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(35) 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính Các ứng suất chính σ xác định từ phương trình đặc trưng: 3 2 1 2 3 0I I Iσ σ σ− + − = 1 11 22 33I σ σ σ= + + σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ= + + 11 12 22 23 11 13 2 12 22 23 33 13 33 I σ σ σ σ σ σ σ σ σ = 11 12 13 3 12 22 23 13 23 33 I (3.23) Điều kiện để hệ phương trình không có nghiệm tầm thường cho ta phương trình đặc trưng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(35) - Phương chính ν của ứng suất chính σi có các cosin chỉ phương trong hệ xi là li xác định từ 3 trong hệ 4 phương trình: ( )σ σ σ σ− + + =11 1 21 2 31 3 0i l l l ( )σ σ σ σ+ − + =12 1 22 2 32 3 0il l l ( )σ σ σ σ+ + − =13 1 23 2 33 3 0il l l 2 2 2 1 2 3 1l l l+ + = (3.24) 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 20(35) 3.6. Ứng suất tiếp cực trị τmax σ τ 1σ2σ3σ x2 x3 σ2 σ3 x1 σ1 1 1 2 max 2 σ στ −= 2 2 3 max 2 σ στ −= 3 1 3max 2 σ στ −= Mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tyến nghiêng góc 450 so với các trục ứng suất chính. 3.6. Ứng suất tiếp cực trị3.6. Ứng suất tiếp cực trị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(35) 3.7. Cường độ ứng suất Cường độ ứng suất là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của tenxơ lệch ứng suất •Cường độ ứng suất tiếp•Cường độ ứng suất tiếp ( )2i I Dστ = ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 116iτ σ σ σ σ σ σ= − + − + − ( )23i I Dσσ =•Cường độ ứng suất pháp•Cường độ ứng suất pháp ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 122iσ σ σ σ σ σ σ= − + − + − 3.7. Cường độ ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 22(35) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 23(35)