Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 7: Thế lưu - Nguyễn Quốc Ý

Đ7: Thế lưu Bài giảng của TS. Nguyễn Quốc í nguyenquocy@hcmut.edu.vn Ngày 14 thỏng 1 năm 2013 Nội dung cần nắm PT Navier-Stokes, Euler Hàm dũng, hàm thế và cỏc tớnh chất Tớnh chất cỏc dũng thế cơ bản và chồng nhập 1 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng PT Navier-Stokes δ ~F  δm~a δ ~F  $ ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' % Lực mặt: δ~Fb $ ' ' & ' ' % Fbx Fby Fbz  δm ~g  δm $ ' ' & ' ' % gx gy gz Lực khối: δ~Fs  # δFn K bề mặt δF1 ,2 ‖ bề mặt ~a  d~V dt  B ~V Bt u B ~V Bx v B ~V By w B ~V Bz Fsδ Fnδ F1δF2δ Aδ Arbitrary surface 2 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng PT Navier-Stokes σn  lim δAẹ0 δFn δA τ1, 2  lim δAẹ0 δF1, 2 δA z x y (b) (a) A' A C' C BB' D' D σxx τxy τxz σxx τxy τxz ~σx  σxx~i τxy~j τxz~k 3 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng PT Navier-Stokes δ ( xx – xx x y z ____ __ x 2σ ∂σ ∂ δ δ(δ y δz δx x y z ( zx + zx z x y ____ __ z 2τ ∂τ ∂ δ δ(δ ( yx – yx y x z ____ __ y 2τ ∂τ ∂ δ δ(δ ( zx – zx z x y ____ __ z 2τ ∂τ ∂ δ δ(δ ( yx + yx y x z ____ __ y 2τ ∂τ ∂ δ δ(δ ( xx + xx x y z ____ __ x 2σ ∂σ ∂ δ δ(δ δFsx   Bσxx Bx Bτyx By Bτzx Bz Bx By Bz δmax  δFsx δmgx với δm  ρBx By Bz 4 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng PT Navier-Stokes ρ  Bu Bt u Bu Bx v Bu By w Bu Bz  Bσxx Bx Bτyx By Bτzx Bz ρ gx Lưu chất Newton: σxx 
p à Bu Bx τxy  τyx  à  Bu By Bv Bx nờn ρ  Bu Bt u Bu Bx v Bu By w Bu Bz 
Bp Bx ρgx à  B u Bx B u By B u Bz 5 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng PT Navier-Stokes Tương tự cho hai phương y, z: Bu Bt u Bu Bx v Bu By w Bu Bz 
 ρ Bp Bx gx ν  B u Bx B u By B u Bz Bv Bt u Bv Bx v Bv By w Bv Bz 
 ρ Bp Bz gy ν  B v Bx B v By B v Bz Bw Bt u Bw Bx v Bw By w Bw Bz 
 ρ Bp Bz gz ν  B w Bx B w By B w Bz Viết cỏch khỏc: D íẹ V Dt 
1 ρ íẹ∇p ~g ν∇2íẹV PT Navier-Stokes 6 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng PT Euler Bỏ qua tớnh nhớt: Bu Bt u Bu Bx v Bu By w Bu Bz 
 ρ Bp Bx gx Bv Bt u Bv Bx v Bv By w Bv Bz 
 ρ Bp Bz gy Bw Bt u Bw Bx v Bw By w Bw Bz 
 ρ Bp Bz gz Viết cỏch khỏc: D íẹ V Dt  B íẹ V Bt
íẹ V  íẹ∇ íẹ V 
1 ρ íẹ∇p ~g PT Euler 7 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảo toàn động lượng thẳng Bàn luận: Cú bao nhiờu biến trong PT động lượng thẳng? Cần bao nhiờu PT để giải cỏc biến đú, là cỏc PT nào? Tại sao hầu như khụng thể tỡm nghiệm tổng quỏt của PT Navier-Stokes hay Euler? Khi nào thỡ cú thể bỏ qua tớnh nhớt? 8 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội lưu- Ngoại lưu U U U (c) (b) (a) D D Boundary layer Separated region Viscosity not important Re = 105 δ <<D Boundary layer separation Viscous effects important Wake region x Separation bubble Separation location Viscosity not important Re = 50 Viscous forces important throughout Re = UD/v = 0.1 x x Viscous effects important Inviscid core Boundary layer Entrance region flow Fully developed flow D x r (2)(1) e (3) (4)(5)(6) x6 – x5 Fully developed flow x5 – x4 Developing flow 9 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dũng 2D, khụng nộn được Hàm dũng PT liờn tục: Bu Bx Bv By  0 Tỡm hàm vụ hướng ψpx , yq: u  Bψ By v 
Bψ Bx ψpr , φq: ur  1 r Bψ Bθ uθ 
Bψ Br thay vào PT liờn tục: OK! Vậy, cú thể mụ tả 2 biến upx , yq, vpx , yqbằng 1 hàm ψpx , yq hàm vụ hướng ψpx , yq được gọi là hàm dũng Bàn luận: cú hàm dũng 3D? 10 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dũng khụng quay hàm thế vận tốc Dũng khụng quay: ωz  1 2  Bv Bx
Bu By  0 Tỡm hàm vụ hướng φpx , yq: u  Bφ Bx v  Bφ By φpr , θq : ur  Bφ Br uθ  1 r Bφ Bθ thay vào ĐK khụng quay ωz  0: satisfied! vậy cú thể mụ tả hai biến upx , yq, vpx , yq bằng 1 hàm φpx , yq φpx , yq được gọi là thế vận tốc Bàn luận: cú hàm thế vận tốc 3D? 11 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thế lưu khụng nộn được + khụng quay $ ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' % u  Bφ Bx v  Bφ By Bu Bx Bv By  0 ủ B 2φ Bx2 B 2φ By2  0 $ ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' % u  Bψ By v 
Bψ Bx ωz  Bv Bx
Bu By  0 ủ B 2ψ Bx2 B 2ψ By2  0 Vậy φ và ψ đều thỏa PT Laplace 12 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dũng thế chồng nhập Như vậy, cho dũng thế 2D: cú thể dựng φ hoặc ψ để miờu tả φ1: thế vận tốc cho dũng thế 1 φ2: thế vận tốc cho dũng thế 2 φ  φ1 φ2: thế vận tốc cho dũng thế 1 kết hợp dũng thế 2 tương tự cho ψ ủ kết hợp (chồng nhập) nhiều dũng thế cú φ1, φ2, . . . φn và ψ1, ψ2, . . . ψn: φ  ná i φi ψ  ná i ψi íẹ V  ná i íẹ V i # u  °n i ui v  °n i vi 13 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Như vậy, đó cú u và v khi biết φ hoặc ψ, Làm sao để tỡm p? ủ Dựng Pt Bernoulli cho dũng thế và ổn định:: Từ PT Euler cho dũng lý tưởng: B ~V Bt
~V ∇ ~V 
1 ρ ∇p, với
~V ∇ ~V  1 2 ∇p~V  ~V q
~V  p∇ ~V q  1 2 ∇p~V  ~V q cho dũng thế. Dũng ổn định B ~V Bt  0, vỡ vậy 1 2 ∇p~V  ~V q 
1 ρ ∇p pq Lấy pq  d~s   dx~i dy~j  , ∇p  d~s  dp, ∇p~V  ~V q  d~s  ∇pV 2q  d~s  dpV 2q dp ρ dV 2 2  0ủ p ρ V 2 2  const. cho bất kỡ d~s 14 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Qua hệ giữa φ và ψ? Đường với ψ  const. là đường dũng (cho dũng ổn định). Đường với φ  const. là cỏc đường Đẳng Thế. Đường với φ= const. K với cỏc đường ψ=const. Streamline ( = constant)ψ d2 < d V2 > V V2 V1V V d d d1 > d V1 < V Equipotential line ( = constant)φ + dψ ψ ψ C A B dq u dy – v dx x y ψ1 ψ2 q (b)(a) dq  udy
vdx  Bψ By dy Bψ Bx dx  dψ q  ằ ψ2 ψ1 dψ  ψ2
ψ1 15 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Do đú, Nơi nào đường dũng dày hơn ủ vận tốc lớn hơn const.  ∆ψ  q  vận tốc khoảng cỏch vận tốc tăng, khoảng cỏch giảm 16 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập dũng đều y x U φ = 1φ φ = 2φ = 1 = 2 = 3 = 4 y x U α = 1 = 2 = 3 = 4 φ = 1φ φ = 2φ (a) (b) Bφ Bx  U Bφ By  0 vậy, φ  Ux C or φ  Ux và ψ  Uy Dũng đều với phương α so với trục x: φ  Upx cosα y sinαq và ψ  Upy cosα
x sinαq 17 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập điểm nguồn- điểm giếng = constantφ vr r θ x y ψ = constant q Ă 0 cho điểm nguồn q   0 cho điểm giếng p2pirqur  q, hoặc, ur  q 2pir và, uθ  0 vậy, Bφ Br  q 2pir 1 r Bφ θy  0 rồi φ  q 2pir ln r và, ψ  q 2pir θ 18 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập xoỏy tự do φ = constant θ ψ = constanty x r vθ Xoỏy tự do: ur  0 uθ  0 uθ ể khi r ề, vớ dụ, uθ  K r Lưu số của xoỏy tự do: Γ  ắ C ~V  íẹ ds  ằ 2pi 0 uθrdθ  2pir uθ, or ủ uθ  Γ 2pir Vậy, φ  Γ 2piθ , và ψ  Γ 2pi ln r 19 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập lưỡng cực một điểm nguồn ở A một điểm giếng ở B Lấy AB  2ẹ 0 và q ẹ8 để .q  q0  const. bằng cỏch này, một Lưỡng Cực được định nghĩa: φ  q0 cos θ r và ψ 
q0 sin θ r 20 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập dũng đều + nguồn= dũng qua ’nửa vật rắn’ U Stagnation point y x r θ Source b bπ bπ b Stagnation point = bUψ π (b)(a) ψ  ψuniform flow ψsource @ origin  U r sin θ q 2pi θ φ  φuniform flow φsource @ origin  U r cos θ q 2pi ln r @ điểm dừng: ur |source  U q 2pib  U b  q 2piU 21 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập dũng đều + nguồn + giếng= dũng qua ’vật rắn’ (b)(a) x y U a a r2 2 r r1 θ θ 1θ Source Sink a a +m –m Stagnation point Stagnation pointψ = 0 h h ψ  ψuniform flow ψsource @ p
a,0q ψsink @ pa,0q @ điểm dừng bờn trỏi ur |source  U ur |sink @ điểm dừng bờn phải ur |sink  U ur |source ψ  0 trờn bề mặt vật thể (tỡm được bằng phương phỏp trial-error) 22 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập dũng đều + lưỡng cực= dũng qua trụ trũn tĩnh a r U θ Ψ = 0 2U Cố thể Rankine: aẹ 0, nguồn + giếngẹ lưỡng cực, oval ẹ trụ! a2  q0 U trờn bề mặt trụ: uθs 
2U sin θ, và, p  p 8 1 2 ρU2p1
4 sin2 θq (Hóy tự chứng minh cỏc cụng thức đú!) 23 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số dũng thế cơ bản và chồng nhập dũng qua trụ trũn + xoỏy tự do= dũng qua trụ trũn quay đều Thành phần vận tốc tiếp tuyến bề mặt: uθs 
2U sin θ Γ 2pia (U=0, Γ  2pia uθ  2pia 2ω) ở điểm dừng: uθ  0ẹ sin θ  Γ 4piUa xem xột 4 trường hợp của Γ 4piUa như trờn hỡnh! 24 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lực tỏc dụng lờn bề mặt trụ trũn a x y Fx Fy dθ θ ps trụ tĩnh Fx  0 Fy  0 trụ quay đều F‖dũng  0 FKdũng  0 F Kdũng 
ρΓU pN{mq CT Kutta-Joukowski, hiện tượng Magnus Bàn luận: tại sao F Kdũng  0? 25 / 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt