Bài giảng chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 1 1 CHƯƠNG IV: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 2 I.ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2 CHIỀU (rời rạc) ĐLNN 2 chiều (véctơ ngẫu nhiên 2 chiều) là 1 bộ 2 đại lượng ngẫu nhiên X,Y. Ký hiệu V=(X,Y). Bảng phân phối xác suất dồng thời của (X,Y) có dạng: Y X y1 yj yn x1 p11 p1j p1n xi pi1 pij pin xm pm1 pmj pmn Trong đó: X nhận các giá trị x1, x2 ,…, xm Y nhận các giá trị y1, y2 ,…, yn Xác suất X nhận giá trị xi , Y nhận giá trị yj là: pij = P(X=xi ,Y = yj ) 3 Lưu ý: Ta không xét ĐLNN 2 chiều liên tục. Tính chất: 0≤ pij ≤1 , i,j 1 ijpji 4 Ví dụ: Cho ĐLNN 2 chiều V=(X,Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời Y X 1 2 3 4 2 1/8 2/8 0 0 4 1/8 0 1/8 2/8 6 0 0 1/8 0 ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 2 5 II.PHÂN PHỐI LỀ (PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN) 1) Phân phối lề của X Ví dụ: X 2 4 6 P 3/8 4/8 1/8 P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)] = P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4) 8 3008 2 8 1  P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) = 8 4 8 2 8 108 1  Tương tự cho P(X=6) 6 X 2 4 6 P 3/8 4/8 1/8 Kỳ vọng: E(X) =   i i xXPix )( = 2 7 8 168 448 32  Phương sai: D(X) = 2)( EX i i x  .P (X=xi) = 4 7 8 1.2)2 76(8 4.2)2 74(8 3.2)2 72(  7 Nhận xét: Để xác định phân phối lề đơn giản, ta lập bảng sau: Y X 1 2 3 4  2 1/8 2/8 0 0 3/8 4 1/8 0 1/8 2/8 4/8 6 0 0 1/8 0 1/8  2/8 2/8 2/8 2/8 1 8 2) Phân phối lề của Y: Ví dụ: Y 1 2 3 4 P 2/8 2/8 2/8 2/8 P(Y=1)= P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)] =P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)= 8 208 1 8 1  Tương tự cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6) Kỳ vọng: E(Y) =  j j yYPjy )( = 2 5 8 248 238 228 21  Phương sai: D(Y) =  j (yj -EY)2 . P(Y=yj) = 4 5 8 2.2)2 54(8 2.2)2 53(8 2.2)2 52(8 2.2)2 51(  ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 3 9 III.ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X,Y . X,Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j Ví dụ: P(X=2, Y=1) = 8 2.8 3 8 1  = P(X = 2).P(Y = 1) Vậy X,Y không độc lập 10 IV. LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CHO X.Y , TÍNH E(X.Y) Ví dụ: XY 2 4 6 8 12 16 18 P 1/8 3/8 0 0 1/8 2/8 1/8 P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8 P(XY=4) = P(X=2, Y=2) + P(X=4, Y = 1) = 2/8+1/8=3/8 P(XY=6)= P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3)= 0+0= 0 E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8)= 19/2 11  Bài tập:  lập bảng ppxs cho X+Y?  Tính E(X+Y), var(X+Y)? 12 V.PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN Giả sử biến cố F đã xãy ra và P(F) > 0 Phân phối của X theo điều kiện F là: P(X=xi /F) = )( ),( FP FixXP  = iFP Ví dụ: Xét F = (Y=1) Phân phối có điều kiện của X theo F là: XF 2 4 6 PiF ½ 1/2 0 ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 4 13 P(X=2/Y=1) = 2 1 8 2 8 1 )1( )1,2(    YP YXP = P1F P(X=4/Y=1) = 2 1 8 2 8 1 )1( )1,4(    YP YXP = P2F P(X=6/Y=1) = 0 8 2 0 )1( )1,6(    YP YXP = P3F 14 Phân phối của Y theo điều kiện F là: P(Y=yj /F) = )( ),( FP FjyYP  = PFj Ví dụ: Xét F = (X=4) YF 1 2 3 4 PFj ¼ 0 ¼ 2/4 P(Y=1/X=4) = 4 1 8 4 8 1 )4( )1,4(    XP YXP Tính chất: piF  0, i ,   i iF p 1 pFj  0, j ,   j Fj p 1 15 VI.KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN, PHƯƠNG SAI CÓ ĐIỀU KIỆN 1. Xét cho X: E(XF)=E(X/F) =  i iF pix nếu biết bảng phân phối XF Nếu chưa biết bảng XF thì: E(XF) =     i i FP FixXP ixFixXPix )( ),( )/( var(XF) = var(X/F) =  i iF pFXEix 2))(( 16 Ví dụ: F=(Y=1) E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F = 3062 142 12  Nếu ta chưa có bảng phân phối XF thì tính như sau: E(XF) = )1( )1,6(6 )1( )1,4(4 )1( )1,2(2         YP YXP YP YXP YP YXP = 382 0682 81482 812  Tương tự : E(X/Y=2)=2 , E(X/Y=3)=5 , E(X/Y=4)=4 var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F = 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 1 ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 5 17 Ý nghĩa của E(X/F): là trung bình có điều kiện của X, điều kiện là F 2. Xét cho Y: E(YF)=E(Y/F) =  j Fj pjy nếu biết bảng phân phối YF Nếu chưa biết bảng YF thì: E(YF) =     j j FP FjyYP jyFjyYPjy )( ),( )/( var(YF) = var(Y/F) =  j Fj pFYEjy 2))(( 18 Ví dụ: F=(X=4) E(Y/F) = 1.pF1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4 =1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4)=3 Nếu ta chưa có bảng phân phối YF thì tính như sau: E(YF) = )4( )3,4(3 )4( )2,4(2 )4( )1,4(1         XP YXP XP YXP XP YXP 384 8/24 8/4 813 8/4 0.284 811 )4( )4,4(4     XP YXP Tương tự : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)=3 var(YF)=(1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4) +(4–3)2(2/4) =3/2 19 VIII. HIỆP PHƯƠNG SAI, HỆ SỐ TƯƠNG QUAN, MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI , MA TRẬN TƯƠNG QUAN Nếu E(Y/X=xi)=E(Y/xi)=a+bxi hoặc E(X/Y=yj)=E(X/yj)=c+dyj thì ta nói X,Y có tương quan tuyến tính. 1) Hiệp phương sai Cov(X,Y) =E EYEXXYEYEYXEX        )())(())(( Với E(XY) = i j ij pjyix 20 Cov(X,Y) đo mức độ phụ thuộc tương quan tuyến tính giữa X và Y. Cov(X,Y) phụ thuộc đơn vị đo của X,Y Ví dụ: E(X.Y)=    i j ij pjyix )04038 228 11(2 + )048 130201(6)8 248 130.28 11(4  =19/2 Cov(X,Y) = E(XY)–EX.EY = 4 3 2 5 2 7 2 19  Nếu có bảng phân phối xác suất của XY thì ta dễ dàng tính E(XY). Xem mục IV ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 6 21 Tính chất:  Cov(X,Y) = Cov(Y,X)  Cov (X,Y) > 0 : X, Y tương quan thuận Cov (X,Y) < 0 : X, Y tương quan nghịch  Cov (X+ Z, Y) = Cov (X,Y) + Cov (Z,Y)  Cov (aX,bY) = ab cov (X,Y) , a,b  R  D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2 cov(X,Y) , D(X-Y) = D(X)+D(Y)–2 cov(X,Y)  D(aX  bY) = a2DX+b2DY2ab.cov(X,Y) 22  Nếu X,Y độc lập thì :  E(X.Y)= EX.EY  cov(X,Y)= E(XY)-EX.EY= 0  Vậy : X,Y độc lập  X,Y không tương quan Điều ngược lại không đúng  Nếu X,Y có phân phối chuẩn thì điều ngược lại đúng. 23 Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz: |cov(X,Y)|  )().( YDXD Dấu “=” đạt được khi : P(Y=aX+b) = 1, a 0 2) Hệ số tương quan: YX YX DYDX YXRXY  . ),cov( . ),cov(  RXY đo mức độ tương quan tuyến tính giữa X và Y RXY không phụ thuộc đơn vị đo của X,Y 24 Ví dụ: RXY = 35 3 4 5 4 7 4 3   Tính chất: - RXY = RYX = R = R(X,Y) - R cùng dấu với cov(X,Y) - |RXY|  1 - R(aX+b, cY + d) = R(X,Y) a,b,c,d  R - Nếu Y = aX + b thì R(X,Y) =  1 - Nếu |R| càng gần 1 thì mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X, Y càng chặt. - Nếu |R| càng gần 0 thì mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X, Y càng lỏng. ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 7 25 - Nếu |R| = 1 thì Y=aX+b với xác suất 1 . Tức là : P (Y=aX+b) = 1 - Nếu R = 0: ta nói X,Y không tương quan. Tính chất: - E(X+Y)2 = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) - E(X-Y)2 = E(X2) - 2E(XY) + E(Y2) 26 Lưu ý:  r>0 : nếu X tăng thì Y sẽ tăng  r<0 : nếu X tăng thì Y sẽ giảm  Nếu phát biểu như vậy thì có đúng không? 27 3) Ma trận hiệp phương sai:             )(),cov( ),cov()( YDXY YXXD Ví dụ: Ma trận hiệp phương sai của X,Y là:             4/54/3 4/34/7 4) Ma trận tương quan:               1 1 YXR XYR Ví dụ: Ma trận tương quan của X, Y là:             135/3 35/31 28 Một số thí dụ: Bài 1: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp 1 có: 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3 . Trong hộp 2 có: 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2 , 1 bi mang số 3. X là số ghi trên bi rút ra từ hộp 1, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp 2. Rút từ mỗi hộp 1 bi. 1) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của V=(X,Y) 2) Bảng phân phối xác suất lề của X, Y 3) Kỳ vọng, phương sai của X,Y ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 8 29 Giải 1) Bảng phân phối xác suất đồng thời Y X 1 2 3  1 2/36 3/36 1/36 1/6 2 4/36 6/36 2/36 2/6 3 6/36 9/36 3/36 3/6  2/6 3/6 1/6 1 2) X 1 2 3 Y 1 2 3 P 1/6 2/6 3/6 P 2/6 3/6 1/6 3) EX = 7/3 , EY = 11/6 DX =5/9 , DY = 17/36 30 Bài 10: Có hai loại cổ phiếu A, B được bán trên thị trường chứng khoán và lãi suất của chúng là hai biến ngẫu nhiên X,Y tương ứng. Giả sử (X,Y) có bảng phân bố xác suất như sau: Y X –2 0 5 10 0 0 0,05 0,05 0,1 4 0,05 0,1 0,25 0,15 6 0,1 0,05 0,1 0 31 1) Nếu đầu tư toàn bộ cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng và mức độ rủi ro là bao nhiêu? 2) Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ vọng là lớn nhất thì nên đầu tư vào cả hai loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào? 3) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào? 32 Giải: 1)Ta phải tìm EX và X Từ bảng phân bố xác suất của (X,Y) ta suy ra bảng phân bố xác suất của X là: X 0 4 6 P 0,2 0,55 0,25 EX=3,7(%) ; Var(X)=4,11;(X)= 11,4 = 2,0273 ThS. Phạm trí Cao * Chương 4 9 33 2)Nếu ký hiệu  (0<=<=1) là tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu A thì ta có tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu B là (1–). Ta phải tìm  sao cho:E(X+(1–)Y) max Ta có : E (X + (1–) Y) =  EX + (1–) EY Làm tương tự như đối với X ta tính được : EY = 4,2 và Var(Y) = 17,96 Do đó: E(X+(1–)Y)= 3,7+(1–).4,2 =4,2– 0,5  E (X + (1 - ) Y) = max khi  = 0. Tức là muốn đạt được lãi suất kỳ vọng là lớn nhất thì ta phải đầu tư vào mua toàn bộ cổ phiếu B. 34 3)Xác định  sao cho : Var(X+(1–)Y) min Ta có : Var(X+(1–)Y) = 2Var(X)+(1–)2 Var(Y)+2(1–)cov(X,Y) Và cov(X,Y)= xiyjpij – EX.EY = 12,4 – 3,7 * 4,2 = –3,14 Vậy var(X+(1–)Y) = 4,112+17,96(1–)2+ 2(1–)(–3,14) = 28,352– 42,2 + 17,96 = f()  min f/() = 56,7 – 42,2 = 0   = 0,7443 f//() = 56,7 > 0 nên  chính là giá trị cực tiểu cần tìm. Kết luận : Nếu đầu tư vào cổ phiếu A và B theo tỷ lệ 74,43% và 25,57% sẽ có mức độ rủi ro là thấp nhất. 35 Mời ghé thăm trang web:      www37.websamba.com/phamtricao www.phamtricao.web1000.com