Bài giảng chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 1 1 CHÖÔNG 2: ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN 2 I) ÑÒNH NGHÓA: *Ñaïi löôïng ngaãu nhieân (bieán ngaãu nhieân), vieát taét laø ÑLNN, coù theå ñöôïc xem nhö laø moät ñaïi löôïng maø caùc giaù trò soá cuûa noù laø keát quaû cuûa caùc thí nghieäm, thö ïc nghieäm ngaãu nhieân; giaù trò cuûa noù laø ngaãu nhieân, khoâng döï ñoaùn tröôùc ñöôïc. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñöôïc chia thaønh hai loaïi: ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc vaø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân luïc. ÑLNN rôøi raïc laáy caùc giaù trò höõu haïn hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc. ÑLNN lieân tuïc laáy baát kyø giaù trò treân moät soá khoaûng cuûa truïc soá thöïc. ÑLNN thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø X,Y,Z,… *Ñònh nghóa moät caùch chaët cheõ, ÑLNN X laø moät aùnh xaï thoûa: X: R , vôùi  laø khoâng gian maãu caùc bieán coá sô caáp. )( X Taäp }:)({)(  XX laø taäp caùc giaù trò coù theå coù cuûa X. 3 I)Ñònh nghóa (tt) VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa (ñoàng xu coù 2 maët, 1 maët saáp vaø 1 maët ngöõa) 2 laàn. Goïi X= soá laàn ñöôïc maët saáp. X coù laø ÑLNN? VD2: Tung 1 con xuùc xaéc. Goïi X= soá nuùt xuaát hieän cuûa con xuùc xaéc. X laø ÑLNN? VD3: Ño chieàu cao cuûa 1 ngöôøi. Goïi X= chieàu cao cuûa ngöôøi ñoù. X laø ÑLNN? VD4: Khaûo saùt soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy. Goïi X= soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong ngaøy. X laø ÑLNN? 4 I)Ñònh nghóa VD5: Nghieân cöùu baõo ôû Vieät Nam trong naêm. Goïi X= soá côn baõo ñoå boä vaøo VN trong naêm. X laø ÑLNN? VD6: Khaûo saùt tieàn löông cuûa 1 nhaân vieân nhaø nöôùc trong naêm. Goïi X= tieàn löông cuûa ngöôøi naøy trong thaùng. X laø ÑLNN? VD7: Moät ngöôøi laáy vôï. Xeùt xem ngöôøi naøy laáy phaûi ngöôøi vôï coù tính tình gioáng Taám hay Caùm (Taám maëc aùo töù thaân chöù khoâng phaûi Taám maëc aùo 2 daây!). Goïi X= tính tình cuûa ngöôøi vôï naøy. X laø ÑLNN? ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 2 5 VD8: Trong ñôøi 1 nam nhaân, coù ngöôøi khoâng bao giôø coù vôï, coù ngöôøi coù raát nhieàu vôï. Khaûo saùt 1 ngöôøi nam. Goïi X= soá vôï thöïc teá cuûa ngöôøi naøy. X laø ÑLNN? VD9: Trong ñôøi 1 ngöôøi, coù theå khoâng coù con hoaëc coù raát nhieàu con. Goïi X= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nam. X laø ÑLNN? Goïi Y= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nöõ. Y laø ÑLNN? VD10: Hoäp coù 10 bi, trong ñoù coù 6 bi Traéng. Laáy ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp. Goïi X= soá bi Traéng laáy ñöôïc. X laø ÑLNN? 6 II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN  ÑLNN rôøi raïc: duøng baûng phaân phoái xaùc suaát  ÑLNN lieân tuïc: duøng haøm maät ñoä xaùc suaát (moät soá saùch duøng haøm phaân phoái xaùc suaát).  Phaàn quan troïng nhaát cuûa chöông naøy laø laäp ñöôïc baûng ppxs (luaät ppxs) cuûa ÑLNN rôøi raïc. 7 II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN 1)ÑLNN rôøi raïc: Duøng baûng phaân phoái xaùc suaát: X x1 … xi … xn P p1 … pi … pn xi (i=1...n) laø caùc giaù trò khaùc nhau coù theå coù cuûa X pi = P(X = xi) : xaùc suaát X nhaän giaù trò xi Tính chaát: 0 pi  1 ,   n i i p 1 =1 Caâu hoûi: ñeå laäp ñöôïc baûng ppxs cuûa X ta caàn laøm gì? 8 Traû lôøi: *xaùc ñònh caùc giaù trò coù theå coù xi cuûa X *Tính caùc xaùc suaát pi töông öùng vôùi caùc giaù trò xi ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 3 9 II)Bieåu dieãn ÑLNN (rôøi raïc) VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 2 laàn. Goïi X= soá laàn ñöôïc maët saáp. Laäp baûng ppxs cho X? Giaûi VD1: *X coù theå coù caùc giaù trò: 0,1,2 *ta coù 4 tröôøng hôïp xaõy ra khi tung ñoàng xu SN 2 laàn: SS,SN,NS,NN P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS )= 2/4 , P(X=2)= P(SS)= ¼ X 0 1 2 P ¼ 2/4 ¼ Thoâng thöôøng ta ñaët ra caùc bieán coá roài tính xaùc suaát p i thoâng qua caùc bieán coá naøy. 10 VD2: hoäp coù 6 bi, trong ñoù coù 4 bi T, 2 bi Ñ. laáy ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxs cho X? Giaûi VD2: *X coù theå coù caùc giaù trò 0,1,2 *ta tính xaùc suaát nhö sau: Ñaët A=bc laáy ñöôïc 0 bi T (2 bi Ñ) B=bc laáy ñöôïc 1 bi T ; C=bc laáy ñöôïc 2 bi T P(X=0)= P(A)= C(2,2) /C(2,6) = 1/15. P(X=1)= P(B)= C(1,4).C(1,2) /C(2,6) = 8/15 P(X=2)= P(C)= C(2,4) /C(2,6) = 6/15 X 0 1 2 P 1/15 8/15 6/15 11  Löu yù:  *ta phaûi kieåm tra laïi xem toång xaùc suaát coù baèng 1 khoâng  *khoâng ñöôïc laøm:  P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) ñeå tính P(X=2)  *khoâng ñöôïc tính xaùc suaát ra soá thaäp phaân neáu pheùp chia khoâng heát, neáu coù giaûn öôùc phaân soá thì ñeå cuøng maãu soá. 12  VD3: giaû thieát gioáng VD2, nhöng ta laáy ra 3 bi (chöù khoâng phaûi 2 bi). Laäp luaät ppxs cho X? ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 4 13 Giaûi VD3: X 1 2 3 P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3/6) C(3,4) /C(3/6) 14  VD4: Coù 3 hoäp, trong ñoù coù 2 hoäp loaïi 1 vaø 1 hoäp loaïi 2. hoäp loaïi 1 coù: 3 bi T, 2 bi V. hoäp loaïi 2 coù: 3 bi T, 3 bi V. choïn ngaãu nhieân 1 hoäp roài töø hoäp ñoù laáy NN ra 2 bi. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxs cho X? 15 Giaûi VD4: Ñaët Hi=bc laáy ñöôïc hoäp loaïi i, i=1,2 P(H1)= 2/3 , P(H2)= 1/3 X 0 1 2 P 2/15 9/15 4/15 P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2) = [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15 P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2) =[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3) = 9/15 P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2) = [C(2,3)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3) = 4/15 16  VD5: hoäp 1 coù: 2 bi T, 3 bi V. hoäp 2 coù: 3 bi T, 2 bi V. laáy NN 2 bi töø hoäp 1 boû sang hoäp 2, roài laáy NN 2 bi töø hoäp 2 ra xem maøu. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc (trong 2 bi laáy ra töø hoäp 2). Laäp baûng ppxs cho X? ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 5 17 Giaûi VD5: Ñaët Ai=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 1, i=0,1,2. P(A0)= C(2,3)/C(2,5)=3/10 , P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10, P(A2)=C(2,2)/C(2,5)= 1/10 X 0 1 2 P P(X=0)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2) =[C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(2,2)/C(2,7)].(1/10) P(X=1)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=1/A1)P(A1)+P(X=1/A2)P(A2) =[C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10) P(X=2)=P(X=2/A0)P(A0)+P(X=2/A1)P(A1)+P(X=2/A2)P(A2) =[C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10) +[C(2,5)/C(2,7)].(1/10) 18 VD6: Coù 2 kieän haøng. Kieän 1 coù 3 saûn phaåm toát, 2 xaáu. Kieän 2 coù 2 saûn phaåm toát, 3 xaáu. Laáy ngaãu nhieân töø kieän 1 ra 2 saûn phaåm vaø töø kieän 2 ra 1 saûn phaåm. Laäp luaät ppxs cuûa soá sp toát trong 3 sp laáy ra. 19 Giaûi VD6: Ai=bc laáy ñöôïc i sp toát töø kieän 1, i=0,2 Bi=bc laáy ñöôïc i sp toát töø kieän 2, i=0,1 X=soá sp toát trong 3 sp laáy ra P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5). (3/5)= 0,06 P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1) = C(1,3)C(1,2)/C(2,5). (3/5) + C(2,2)/C(2,5). (2/5)= 0,4 P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12 X 0 1 2 3 P 0,06 0,40 0,42 0,12 20  Bình loaïn: Ña soá sinh vieân raát “ngaïi” khi gaëp daïng toaùn laäp baûng ppxs! Hoï khoâng bieát raèng ñaây laø moät daïng toaùn raát quen thuoäc maø hoï xem laø “chuyeän thöôøng ngaøy ôû huyeän”, ñoù laø daïng toaùn tính xaùc suaát cuûa bieán coá.  Baïn haõy töôûng töôïng C1 laø WindowsXP, coøn C2 chæ laø WinXP coù veû ngoaøi “haøo nhoaùng, hoaøng gia” cuûa Windows Vista maø thoâi (coù daïng P(X=k)), do coù caøi theâm Vista Transformation Pack. “Boä caùnh” hoaøng gia naøy khoâng che daáu ñöôïc baûn chaát queâ muøa, lam luõ, chòu thöông chòu khoù … cuûa WinXP (thöïc chaát btoaùn laäp baûng ppxs laø btoaùn tính xs cuûa bieán coá, nhöng xeùt cho taát caû caùc tröôøng hôïp coù theå xaûy ra). Phaøm thì con ngöôøi ta deã bò veû haøo nhoaùng beân ngoaøi laøm cho “khieáp sôï, kieâng deø”!  Baïn haõy nhìn ra baûn chaát chôn chaát, thaät thaø, xuø xì, thoâ keäch,… cuûa C1 maø töø ñoù suy ra caùch laøm cho C2. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 6 21 II)Bieåu dieãn ÑLNN (lieân tuïc) 2)ÑLNN lieân tuïc: Ta duøng haøm maät ñoä ñeå bieåu dieãn. Haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) laø haøm thoûa caùc ñieàu kieän sau: 1. f:IRIR 2. f(x)  0, x 3.      IR dxxfdxxf 1)()( (tích phaân suy roäng). Tính chaát:         2 1 21 x x dxxfxXxP 22 Thí duï: Haøm maät ñoä Gauss          22 1exp 2 1)()( xxxf   laø haøm maät ñoä cuûa phaân phoái chuaån taéc N(0,1). x=– x=+ YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñieàu kieän 3: Dieän tích cuûa hình (giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: ñöôøng cong haøm maät ñoä f(x) vaø truïc hoaønh, ñöôøng thaúng x=–, x=+) laø 1. 2 1 x0 1 23 YÙ nghóa hình hoïc cuûa tính chaát haøm maät ñoä xaùc suaát : Xaùc suaát ñeå ÑLNN X coù giaù trò naèm trong khoaûng (x1, x2) chính laø dieän tích cuûa vuøng ñöôïc toâ maøu trong hình x2x1 x0 f(x)         2 1 21 x x dxxfxXxP 24 VD: Cho          ]1,0[,0 ]1,0[,1)( x xxf f(x) coù laø haøm maät ñoä cuûa moät ÑLNN lieân tuïc X? Giaûi: *f:RR *f(x)>=0, x *         1 )( 1 0 )( 0 )()( dxxfdxxfdxxfdxxf   1 0 110.1 xdx Vaäy f laø haøm maät ñoä xaùc suaát. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 7 25 III)HAØM PHAÂN PHOÁI 1)ÑLNN RÔØI RAÏC X x1 ... xi ... xn P p1 ... pi ... pn F:RR F(x) = P(X<x) 26 VD: X -1 0 1 3 P 0,1 0,3 0,4 0,2 x≤-1: F(x)= P(X<x) = 0 -1<x≤0: F(x)= P(X<x)=P(X=-1)= 0,1 0<x≤1: F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0) =0,1+0,3=0,4 1<x≤3: F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) =0,1+0,3+0,4=0,8 3<x: F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=3) =0,1+0,3+0,4+0,2=1 27 28 2)ÑLNN lieân tuïc VD: Cho          ]1,0[,0 ]1,0[,1)( x xxf F(x)=P(X<x)=   x dxxf )( x≤0: F(x)=   x dxxf )( =   x dx0 = 0 0<x≤1: F(x)= xxx x dxdx x dxxf     00 1 0 0)( 1<x: F(x)=   x dxxf )( = 1101 0 1 0 1 0 0   x x dxdxdx ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 8 29 30 Caùc tính chaát cuûa haøm phaân phoái: 1)0≤F(x)≤1 2)Haøm F(x) laø haøm khoâng giaûm Heä quaû: 1)P(a≤X<b)= F(b)-F(a) 2)X laø ÑLNN lieân tuïc thì P(X=x0)= 0, x0 3)F(-)=0 , F(+)=1 Ñònh lyù: F(x), f(x) laàn löôït laø haøm phaân phoái, haøm maät ñoä cuûa ÑLNN lieân tuïc X. Ta coù: F’(x)= f(x) F(x)=   x dxxf )( 31 III)HAI ÑLNN ÑOÄC LAÄP *Nhaéc laïi 2 bieán coá ñoäc laäp: A, B ñoäc laäp P(AB)=P(A).P(B) *Xeùt 2 ÑLN X, Y coù baûng ppxs: X x1 … xi … xn P p1 … pi … pn Y y1 … yj … ym P p1 … pj … pm 2 bieán coá (X=xi) vaø (Y=yj) ñoäc laäp  P[(X=xi).(Y=yj)]= P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi).P(Y=yj) X,Y ñoäc laäp P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi).P(Y=yj), i,j Thöïc haønh: neáu khi thöïc hieän pheùp thöû maø vieäc X nhaän caùc giaù trò xi khoâng aûnh höôûng ñeán khaû naêng Y nhaän caùc giaù trò yj, vaø ngöôïc laïi, thì ta noùi X, Y ñoäc laäp. 32  VD1: Tung 1 con xuùc xaéc 2 laàn. Goïi X= soá nuùt xuaát hieän ôû laàn tung 1, Goïi Y= soá nuùt xuaát hieän ôû laàn tung 2.  X,Y ñoäc laäp? ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 9 33 Giaûi VD1:  Ñaët Ci=bc xh maët coù soá nuùt laø i ôû laàn tung 1. Di=bc xh maët coù soá nuùt laø i ôû laàn tung 2.  Khoâng gian maãu ={C1D1,C1D2,...,C1D6, C2D1,... , C2D6, .... C6D1,... C6D6} X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Y 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1) P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2) Töông töï: P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj) ,i,j Vaäy X,Y ñoäc laäp. 34  Thöïc haønh: ta thaáy keát quaû ôû laàn tung thöù 1 khoâng aûnh höôûng ñeán keát quaû ôû laàn tung thöù 2, vaø ngöôïc laïi neân X,Y ñoäc laäp.  VD2: tung 1 ñoàng xu SN 2 laàn. Goïi X=soá laàn ñöôïc maët S. Goïi Y=soá laàn ñöôïc maët N.  X,Y ñoäc laäp? 35 Giaûi VD2: X 0 1 2 P ¼ 2/4 ¼ Y 0 1 2 P ¼ 2/4 ¼ Ta thaáy X+Y = 2 neân X, Y khoâng ñoäc laäp. 36 IV)CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑLNN 1)Kyø voïng: Kyø voïng cuûa X, kyù hieäu E(X), ñöôïc tính baèng coâng thöùc: X x1 … xi … xn P p1 … pi … pn E(X) =  xipi (neáu X laø ÑLNN rôøi raïc), Hoaëc     dxxfxXE )(.)( (neáu X laø ÑLNN lieân tuïc). Kyø voïng toaùn coù caùc tính chaát: E(c)= c E(aX)= a.E(X) E(X±Y)= E(X)±E(Y) E(XY)= E(X).E(Y) neáu X, Y ñoäc laäp. vôùi a laø haèng soá, c laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 10 37 VD: Lôùp hoïc coù 100 sinh vieân. Ñieåm soá moân XSTK cuûa lôùp nhö sau: Ñieåm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Soá sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2 1) tính ñieåm trung bình moân XSTK cuûa lôùp? 2)Choïn NN 1 sinh vieân trong lôùp ra xem ñieåm thi. Goïi X laø ñieåm soá cuûa sv naøy. Laäp baûng ppxs cho X? tính kyø voïng EX? 38 Giaûi VD: 1) ñieåm tb x= (1/100).[0*1+1*3+….+10*2] = 5,04 ñieåm 2) X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 EX= 0*0,01+1*0,03+2*0,05+…+10*0,02 = (1/100)[0+1*3+….+10*2] = 5,04 = x Vaäy EX chính laø ñieåm soá trung bình. Töông töï: Neáu X laø troïng löôïng thì EX laø troïng löôïng trung bình. X laø chieàu cao thì EX laø chieàu cao trung bình. X laø naêng suaát thì EX laø naêng suaát tr ung bình, … 39 VD: Cho          ]1,0[,0 ]1,0[,1)( x xxf         1 )( 1 0 )( 0 )()( dxxxfdxxxfdxxxfdxxxfEX   1 0 2 11 02 2.1. xdxx 40 2)Phöông sai: Phöông sai xaùc ñònh baèng coâng thöùc: D(X)= var(X)=   2XEXE  Vôùi ÑLNN rôøi raïc : var(X)=   ipi XEix 2       Vôùi ÑLNN lieân tuïc : var(X)       dxxfXEx )(.2 Ta cuõng coù theå aùp duïng coâng thöùc bieán ñoåi cuûa phöông sai: var(X)= E(X2)[E(X)]2 vôùi E(X2)= xi2pi hoaëc     dxxfxXE )(.2)2( . ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 11 41 Phöông sai coù caùc tính chaát sau: var(c)= 0 var(X) ≥0, X ; var(X)=0 X=c var(aX)= a2.var(X) var(X ± c)= var(X) var(X ± Y)= var(X) + var(Y), neáu X, Y ñoäc laäp. Vôùi c laø ÑLNN haèng, a laø haèng soá 42  YÙ nghóa phöông sai:  Xeùt thí duï ñieåm soá ôû treân. Ta muoán xem lôùp coù hoïc “ñeàu” khoâng, nghóa laø caùc ñieåm soá xi coù taäp trung gaàn ñieåm trung bình EX khoâng, ta xeùt |xi-EX|. Ñeå xeùt taát caû caùc giaù trò cuøng luùc ta xeùt |xi-EX|pi. Ta mong muoán noù caøng nhoû caøng toát. Tuy nhieân haøm |x| khoâng phaûi luùc naøo cuõng coù ñaïo haøm, neân ta thay baèng haøm x2.  Vaäy ta xeùt: (xi-EX)2pi vaø mong muoán noù caøng nhoû caøng toát.  Ta goïi varX=(xi-EX)2pi. Neáu varX nhoû thì ta noùi caùc xi taäp trung quanh EX, varX lôùn ta noùi caùc xi phaân taùn ra xa EX. 43 VD: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 E(X2)=02*0.01+12*0.03+…+102*0.02 = 29,26 varX= E(X2)- (EX)2= 29,26-(5,04)2= 3,8584 Löu yù raèng ñôn vò ño cuûa phöông sai baèng ñôn vò ño cuûa X bình phöông. Ta hay gaëp kyù hieäu cho giaù trò phöông sai laø 2. 44 VD: Cho          ]1,0[,0 ]1,0[,1)( x xxf     dxxfxXE )(2)2(      1 )(2 1 0 )(2 0 )(2 dxxfxdxxfxdxxfx   1 0 3 11 03 3.1.2 xdxx varX= E(X2)-(EX)2 = (1/3)-(1/2)2 = 1/12 ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 12 45 3) Ñoä leäch chuaån *Ñoä leäch chuaån ñöôïc tính baèng caên baäc hai cuûa phöông sai, vaø coù cuøng ñôn vò ño vôùi X. SD(X)=  Xvar =  VD : = 8584,3 = 1,9643 *Ñoä leäch chuaån coù yù nghóa gioáng phöông sai 46 4)mode (giaù trò tin chaéc nhaát) cuûa X: Giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X, kyù hieäu modX. ÑLNN rôøi raïc : laø giaù trò xi öùng vôùi xaùc suaát pi lôùn nhaát trong baûng phaân phoái xaùc suaát ÑLNN lieân tuïc: hoaëc laø giaù trò cuûa X öùng vôùi ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X. Giaù trò modX coù theå khoâng duy nhaát. VD1: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 ta thaáy p6=0,25 lôùn nhaát neân modX= 5. 47 VD2: tung 1 ñoàng xu SN 3 laàn. Goïi X= soá laàn ñöôïc maët S X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 modX= 1 hoaëc 2. ghi laø modX=1, 2 VD3: haøm maät ñoä Gauss coù modX=0 VD4: Cho          ]1,0[,0 ]1,0[,1)( x xxf modX laø moïi ñieåm naèm treân ñoaïn [0,1] 48 5)Trung vò (median) X rôøi raïc hoaëc lieân tuïc m = med(X)  P(X m)½ Vaäy med(X) laø ñieåm phaân ñoâi khoái löôïng xaùc suaát thaønh 2 phaàn baèng nhau. Löu yù: med(X) khoâng duy nhaát. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 13 49 VD1: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 P(X<5)= 0.01+0.03+0.05+0.08+0.23 = 0.4 < ½ P(X>5)= 0.15+0.07+0.08+0.03+0.02 = 0.35 < ½ Vaäy medX=5 50 VD2: X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 *P(X<1)= 1/8 < ½ P(X>1)= 3/8+1/8 = ½ Vaäy medX= 1 *P(X<2)= 1/8+3/8 = ½ P(X>2) = 1/8 < ½ Vaäy medX=2 *m(1,2) P(X<m) = 1/8+3/8 = ½ P(X>m) = 3/8+1/8 = ½ Vaäy medX= m KL: medX= [1,2] 51 6. Moment baäc (caáp) k: Ñaët a=E(X) *X rôøi raïc mk = E(Xk) =   n i i pkix1 : moment goác caáp k cuûa X tk = E(X-a)k =    n i i pkaix1 )( : moment quy taâm caáp k cuûa X *X lieân tuïc mk = E(Xk) =    dxxfkx )( tk = E(X-a)k =     dxxfkax )()( 52 7. Heä soá baát ñoái xöùng: 3 3  t S  , vôùi )()( XDX  S = 0: Phaân phoái ñoái xöùng S > 0: Phaân phoái leäch beân phaûi (so vôùi EX) S < 0: Phaân phoái leäch beân traùi ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 14 53 8. Heä soá nhoïn (ñoä nhoïn) 4 4  t K  , 4)(4 aXEt  K caøng lôùn thì phaân phoái coù ñoä nhoïn caøng lôùn (thöôøng so saùnh K vôùi ñoä nhoïn cuûa phaân phoái chuaån taéc (coù haøm maät ñoä Gauss), laø 3) K>3: phaân phoái laø nhoïn K<3: phaân phoái laø beït (khoâng nhoïn) 54 Baøi 1: Tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 2 laàn ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn ñöôïc maët saáp. Tính heä soá baát ñoái xöùng, heä soá nhoïn. Giaûi: X 0 1 2 P ¼ 2/4 1/4 E(X) = 0.(1/4)+ 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1 var(X)= (0–1)2.(1/4)+(1–1)2.(2/4)+(2–1)2.(1/4)= ½ 55 t3=E(X–1)3=(0–1)3.(¼)+(1–1)3.(2/4)+(2–1)3.(¼)= 0 2 1)var()(  XX 03 0 3 3   t S :Phaân phoái ñoái xöùng qua giaù trò EX=1 t4=E(X-1)4=(0-1)4.(1/4)+(1-1)4.(2/4)+(2-1)4.(1/4)= ½ 24)2/1( 2/1 4 4   t K <3 : phaân phoái hôi beït. 56  V)HAØM CUÛA ÑLNN  1)haøm 1 bieán  X laø ÑLNN. Neáu f(x) laø haøm 1 bieán lieân tuïc thì f(X) laø ÑLNN.  VD : X2, |X| laø caùc ÑLNN  Löu yù: ta khoâng caàn ñieàu kieän “maïnh” laø f lieân tuïc, ta chæ caàn f laø “haøm ño ñöôïc”. Khaùi nieäm naøy ñoøi hoûi phaûi coù kieán thöùc veà xaùc suaát lyù thuyeát. Ñieàu naøy chaúng coù gì thích thuù caû!  2)haøm 2 bieán  X,Y laø 2 ÑLNN. Neáu f(x,y) laø haøm 2 bieán lieân tuïc thì f(X,Y) laø ÑLNN.  VD: X+Y, X.Y laø caùc ÑLNN ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 15 57 VD1: Cho X -1 0 1 2 P 1/7 3/7 1/7 2/7 1)Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho |X| 2)Tính E(|X|), var(|X|). 58 1) Giaûi VD1: |X| |-1| |0| |1| |2| P 7 1 7 3 7 1 7 2  Z=|X| 0 1 2 P 7 3 7 2 7 2 2) E(Z)= 0. 7 3 + 1. 7 2 + 2. 7 2 = 7 6 var(Z)= (0– 7 6 )2. 7 3 + (1– 7 6 )2. 7 2 + (2– 7 6 )2. 7 2 = 34/49 Caùch khaùc: E(Z2)= 02. 7 3 + 12. 7 2 + 22. 7 2 = 7 10 var(Z)= E(Z2) – (EZ)2 = 7 10 – ( 7 6 )2 = 34/49 59 VD2: Vôùi X ôû VD1. X -1 0 1 2 P 7 1 7 3 7 1 7 2 1) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho X2 2) Tính E(X2), var(X2)=D(X2). 60 Giaûi VD2: X2 (1)2 02 12 22 Z=X2 0 1 4 P 7 1 7 3 7 1 7 2  P 7 3 7 2 7 2 E(Z) = 0. 7 3 + 1. 7 2 + 4. 7 2 = 7 10 var(Z)=(0– 7 10)2.7 3+(1– 7 10)2.7 2+(4– 7 10)2.7 2 = 138/49 ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 16 61 VD3: Cho X, Y ñoäc laäp. X 0 1 Y 0 1 2 P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼ 1) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho X+Y. 2) Tính E(X+Y) , D(X+Y). 3) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X.Y 4) Tính E(X.Y), D(X.Y). 62 Giaûi VD3: 1) Ta laäp baûng sau: Z = X + Y Y X 0 1 2 0 Z=0 Z=1 Z=2 1 Z=1 Z=2 Z=3 Caùc soá trong baûng laø toång cuûa 2 soá ôû doøng, coät töông öùng X + Y 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 63 Giaûi VD3 (tt) P(X + Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0) = ½. ¼ = 1/8 P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)] = P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0) = P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0) = ½. 4 2 + ½. ¼ = 3/8 P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1) = ½ . ¼ + ½ . 4 2 = 3/8 P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 64 Giaûi VD3 (tt) 2) E(Z) = 0.8 1 + 1.8 3 + 2. 8 3 + 3. 8 1 = 3/2 D(Z) = (0 – 2 3)2. 8 1+ (1– 2 3)2. 8 3+(2– 2 3)2. 8 3+(3– 2 3)2. 8 1 = ¾ Caùch khaùc: E[Z2] = 02. 8 1+ 12. 8 3 + 22. 8 3 + 32. 8 1 = 3 D(Z) = E[Z2] – (EZ)2 = 3 – ( 2 3)2 = ¾ Löu yù: Neáu ta aùp duïng tính chaát cuûa kyø voïng, phöông sai thì ta laøm nhö sau: E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2 D(X + Y) = D(X) + D(Y) = ¼ + ½ = ¾ ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 17 65 Môøi gheù thaêm trang web:      www37.websamba.com/phamtricao www.phamtricao.web1000.com