Bài giảng Các phép biến đổi

CH
NG IV CÁC PHÉP BIN I 4.1. CÁC PHÉP BIN I TRONG MT PHNG 4.1.1. C s toán h c Phép bi
n i Affine 2D s bi
n im P(x,y) thành im Q(x’,y’) theo h phng trình sau: x’ = Ax + Cy + trx y’ = Bx + Dy + try D i d ng ma trn, h này có d ng: (x’ y’) = (x y).

     DC BA + (trx try) Hay vi
t gn hn: X’ = X.M + tr v i X’=(x’,y’); X=(x,y); tr=(trx,try) - vector t nh ti
n; M =

     DC BA - ma trn bi
n i. 4.1.1.1. Phép ng d ng Ma trn ca phép ng d ng là: M = A D 0 0     
⇔ x Ax y Dy ' ' = =   Cho phép ta phóng to hay thu nh hình theo mt hay hai chiu. 4.1.1.2. Phép i xng ây là trng hp c bit ca phép ng d ng v i A và D i nhau. −    
1 0 0 1 i xng qua Oy Ch
ng IV. Các phép bin i . 42

     1 1 h g 1 0 0 1−     
i xng qua Ox − −     
1 0 0 1 i xng qua gc ta  4.1.1.3. Phép quay Ma trn tng quát ca phép quay là R =

     − )()( )()( αα αα CosSin SinCos Chú ý: • Tâm ca phép quay c xét  ây là gc ta . •  nh thc ca ma trn phép quay luôn luôn bng 1. 4.1.1.4. Phép tnh tin Bi
n i (x,y) thành (x’,y’) theo công thc sau x’ = x + M y’ = y + N  thun tin biu din d i d ng ma trn, ta có th biu din các ta  d i d ng ta  thun nht (Homogen): (x y 1). 1 0 0 0 1 0 1M N       


= (x + M y + N 1) 4.1.1.5. Phép bin d ng Ma trn tng quát là: M = Trong ó: g = 0: bi
n d ng theo trc x. h = 0: bi
n d ng theo trc y. 4.1.1.6. Hp ca các phép bin i Có ma trn bi
n i là tích ca các ma trn ca các phép bi
n i. Ch
ng IV. Các phép bin i . 43 Ví d: Phép quay quanh mt im bt k trong mt ph ng có th th!c hin bi tích ca các phép bi
n i sau: ° Phép t nh ti
n tâm quay 
n gc ta . ° Phép quay v i góc ã cho. ° Phép t nh ti
n k
t qu" v tâm quay ban u. Nh vy, ma trn ca phép quay quanh mt im bt k c th!c hin bi tích ca ba phép bi
n i sau: 1 0 0 0 1 0 1− −       


M N . Cos Sin Sin Cos ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α 0 0 0 0 1 −       


. 1 0 0 0 1 0 1M N       


4.2. Ví d minh h a Vi
t chng trình mô phng phép quay mt tam giác quanh gc ta . Uses crt,Graph; Type ToaDo=Record x,y:real; End; var k,Alpha,goc:real; P,PP,PPP,P1,P2,P3:ToaDo; x0,y0:word; ch:char; Procedure VeTruc; Begin Line(GetMaxX div 2,0,GetMaxX div 2,GetMaxY); Line(0,GetMaxY div 2,GetMaxX,GetMaxY div 2); End; Procedure VeHinh(P1,P2,P3:ToaDo); Begin Line(x0+Round(P1.x*k),y0-Round(P1.y*k), x0+Round(P2.x*k),y0- Round(P2.y*k)); Line(x0+Round(P2.x*k),y0-Round(P2.y*k), Ch
ng IV. Các phép bin i . 44 x0+Round(P3.x*k),y0- Round(P3.y*k)); Line(x0+Round(P3.x*k),y0-Round(P3.y*k), x0+Round(P1.x*k),y0- Round(P1.y*k)); End; Procedure QuayDiem(P:ToaDo;Alpha:real; var PMoi:ToaDo); Begin PMoi.x:=P.x*cos(Alpha)-P.y*sin(Alpha); PMoi.y:=P.x*sin(Alpha)+P.y*cos(Alpha); End; Procedure QuayHinh(P1,P2,P3:ToaDo;Alpha:real; var P1Moi,P2Moi,P3Moi:ToaDo); Begin QuayDiem(P1,Alpha,P1Moi); QuayDiem(P2,Alpha,P2Moi); QuayDiem(P3,Alpha,P3Moi); End; BEGIN ThietLapDoHoa; x0:=GetMaxX div 2; y0:=GetMaxY div 2; k:=GetMaxX/50; Vetruc; P.x:=5; P.y:=3; PP.x:=2; PP.y:=6; PPP.x:=6; PPP.y:=-4; P1.x:=5; P1.y:=3; P2.x:=2; P2.y:=6; P3.x:=6; P3.y:=-4; Alpha:=0; goc:=Pi/180; SetWriteMode(XORPut); VeHinh(P,PP,PPP); Repeat ch:=readkey; if ord(ch)=0 then ch:=readkey; case Upcase(ch) of #75: Begin Ch
ng IV. Các phép bin i . 45 VeHinh(P1,P2,P3); Alpha:=Alpha-goc; QuayHinh(P,PP,PPP,Alpha,P1,P2,P3); VeHinh(P1,P2,P3); End; #77: Begin VeHinh(P1,P2,P3); Alpha:=Alpha+goc; QuayHinh(P,PP,PPP,Alpha,P1,P2,P3); VeHinh(P1,P2,P3); End; End; Until ch=#27; CloseGraph; END. 4.2. CÁC PHÉP BIN I TRONG KHÔNG GIAN 4.2.1. Các h trc t a    nh v mt im trong không gian, ta có th chn nhiu h trc ta : X Y Z O Y Z H tr!c ti
p H gián ti
p Hình 4.1 • H ta  trc tip : n
u tay ph"i cm trc Z sao cho ngón cái h ng theo chiu dng ca trc Z thì bn ngón còn l i s quay t# trc X sang trc Y (Qui t$c bàn tay ph"i). Ch
ng IV. Các phép bin i . 46 • H ta  gián tip : ngc l i (Qui t$c bàn tay trái). Thông thng, ta luôn luôn  nh v mt im trong không gian qua h tr!c ti
p. Trong h ta  tr!c ti
p, ta chia ra làm 2 lo i sau: O X Y Z P(x,y,z) X O Y P(R,θ,φ) Z θ φ R H ta  Descarter H cu Hình 4.2 Ta có công thc chuyn i ta  t# h này sang h khác: x = R.Cos(θ).Cos(Φ) y = R.Sin(θ).Cos(Φ) z = R.Sin(Φ) R2 = x2 + y2 + z2  thun tin cho vic tính toán, tt c" các im trong không gian u c mô t" d i d ng ma trn 1x4, tc là (x,y,z,1). Vì vy, tt c" các phép bi
n i trong không gian u c biu din bi các ma trn vuông 4x4 (Ma trn Homogen). 4.2.2. Các công thc bin i Phép bi
n i Affine 3D có d ng: X’=X.M + tr v i X’=(x’,y’,z’); X=(x,y,z); M - ma trn bi
n i; tr=(trx,try,trz) - vector t nh ti
n 4.2.2.1. Phép thay i t l M = A B C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1        



⇔ x A x y B y z C z ' . ' . ' . = = =   Ch
ng IV. Các phép bin i . 47 4.2.2.2. Phép i xng Mz = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −        



i xng qua mt (XY) My= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −        



i xng qua mt (XZ) Mx = −       



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 i xng qua mt (YZ) 4.2.2.3. Phép tnh tin M = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1M N P        



⇔ x x M y y N z z P ' ' ' = + = + = +   4.2.2.4. Phép quay Ta nhn thy rng, n
u phép quay quay quanh mt trc nào ó thì ta  ca vt th t i trc ó s không thay i. Do ó, ta có ma trn ca các phép quay nh sau: RZ =




         − 1000 0100 00)()( 00)()( θθ θθ CosSin SinCos RX =




         − 1000 0)()(0 0)()(0 0001 θθ θθ CosSin SinCos Ch
ng IV. Các phép bin i . 48 RY =




         − 1000 0)(0)( 0010 0)(0)( θθ θθ CosSin SinCos Chú ý: Tích ca 2 ma trn nói chung không giao hoán nên k
t qu" ca 2 phép quay liên ti
p tùy thuc vào th t! th!c hin tích s. Ví d: RX.RY ≠ RY.RX 4.2.3. Ma trn nghch o nh ngha: Hai ma trn c gi là ngh ch "o ca nhau n
u tích s ca chúng là ma trn n v . Ma trn ngh ch "o ca ma trn M ký hiu là M-1 Ví d: 1 2 3 1 3 3 1 2 4       


. 6 2 3 1 1 0 1 0 1 − − − −       


= 1 0 0 0 1 0 0 0 1       


Ngi ta chng minh c rng: Tt c" các ma trn ca các phép bi
n i ã nêu  trên u có ma trn ngh ch "o. • Ma trn ngh ch "o ca phép t nh ti
n có c bng cách thay M, N, P bng - M, -N, -P. • Ma trn ngh ch "o ca phép thay i t% l có c bng cách thay A, B, C bng 1/A, 1/B, 1/C. • Ma trn ngh ch "o ca phép quay có c bng cách thay góc θ bng -θ . 4.3. CÁC PHÉP CHIU CA VT TH TRONG KHÔNG GIAN LÊN MT PHNG 4.3.1. Phép chiu phi cnh (Perspective) Phép chi
u này cho hình "nh ging nh khi nhìn vt th.  tìm hình chi
u P’(y’,z’) ca P(x,y,z), ta ni P v i m$t (tâm chi
u). Giao im ca ng này v i mt quan sát chính là P’ (hình 4.3). Gi" s& P nm phía tr c m$t, tc là P.x < E. Ch
ng IV. Các phép bin i . 49 Y Z X (E,0,0)
 y ' z ' P ' P(x,y,z)
   Hình 4.3 Phng trình ca tia i qua m$t và P là: r(t) = (E,0,0).(1-t) + (x,y,z).t (*) Giao im v i mt ph ng quan sát có thành phn x’ = 0. Do thành phn x’ ca tia r là E.(1-t) + x.t = 0 nên t = 1 1− x E/ . Thay t vào (*) ta tính c: y’ = y x E1− / va z’ = z x E1− / NHN XÉT i/ Phép chi
u phi c"nh không gi' nguyên hình d ng ca vt th. ii/ Ch% có nh'ng ng th ng song song v i mt ph ng chi
u thì m i song song v i nhau. iii/ Phép chi
u phi c"nh c qui  nh bi 5 bi
n: • H ng ca mt ph ng chi
u so v i vt th. •  cao ca tâm chi
u so v i vt th. • Kho"ng cách t# tâm chi
u 
n vt th (R). • Kho"ng cách t# mt ph ng chi
u 
n tâm chi
u (D). •  d ch chuyn ngang ca tâm chi
u so v i vt th. Chú ý: V i ta  cu, ta ch% cn 4 tham s: R, Φ, θ, D. Ch
ng IV. Các phép bin i . 50 4.3.2. Phép chiu song song (Parallel) Phép chi
u này có tâm chi
u  vô c!c và y’=y, z’=z.(Hình 4.4) Tính song song c b"o toàn.
    ∝     Hình 4.4 4.4. CÔNG THC CA CÁC PHÉP CHIU LÊN MÀN HÌNH Khi quan sát mt vt th trong không gian d i mt góc  nào ó, ta có 2 kh" n(ng chn l!a: • im nhìn (màn hình) ng yên và vt th di ng. • Vt th ng yên và im nhìn s c b trí thích hp. Ta thng chn gi"i pháp th hai vì nó sát v i th!c t
hn.  φ  θ      
     Hình 4.5 Khi quan sát mt vt th bt k trong không gian, ta ph"i tuân th các nguyên t$c sau (hình 4.5): • Vt th ph"i c chi
u lên mt h trc tip (O,X,Y,Z). Ch
ng IV. Các phép bin i . 51 • Con m$t ph"i nm  gc ca mt h gián ti
p th hai (O’,X0,Y0,Z0) • Màn hình là mt ph ng vuông góc v i ng th ng OO’. • Trc Z0 ca h quan sát ch% 
n gc O. N
u dùng h ta  cu   nh v m$t ca ngi quan sát thì ta d dàng thay i góc ng$m bng cách thay i góc θ và Φ. Bây gi, ta kh"o sát phép bi
n i mà vt th (X,Y,Z) ph"i ch u  cho nó trùng v i h quan sát (X0,Y0,Z0)  cui cùng t o ra h ta  màn hình (Xe,Ye). B c 1: T nh ti
n gc O thành O’ (hình 4.6). X θ O φ Y Z Z1 X1 Y1 O' Hình 4.6 Ma trn ca phép t nh ti
n (Ly ngh ch "o): A= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1− − −        



M N P = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1− − −        



R Cos Cos R Sin Cos R Sin. ( ). ( ) . ( ). ( ) . ( )θ φ θ φ φ và h (X,Y,Z) bi
n i thành h (X1,Y1,Z1). B c 2: Quay h (X1,Y1,Z1) mt góc -θ‘ (θ‘=900 - θ) quanh trc Z1 theo chiu kim ng h. Phép quay này làm cho trc âm ca Y1 c$t trc Z (hình 4.7). Ta gi Rz là ma trn tng quát ca phép quay quanh trc Z. Vì ây là phép quay h trc nên ph"i dùng ma trn ngh ch "o R-1z. Ch
ng IV. Các phép bin i . 52 Rz = Cos a Sin a Sin a Cos a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −        



R -1 z = Cos a Sin a Sin a Cos a ( ) ( ) ( ) ( ) −       



0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ta thay góc a = -θ‘ . Theo các phép toán lng giác: Sin(-θ') = -Sin(θ') = -Sin(900 - θ) = -Cos(θ) Cos(-θ') = Cos(θ') = Cos(900-θ) = Sin(θ) θ X2 O' φ O Y Y2 Z2Z X θ' Hình 4.7 Nên ma trn ca phép quay tìm c s có d ng: B = Sin Cos Cos Sin ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −        



và h (X1,Y1,Z1) bi
n i thành h (X2,Y2,Z2). B !c 3: Quay h (X2,Y2,Z2) mt góc 900 + Φ quanh trc X2. Phép bi
n i này s làm cho trc Z2 h ng 
n gc O (hình 4.8). Ta có: Rx =




         − 1000 0)()(0 0)()(0 0001 aCosaSin aSinaCos Ch
ng IV. Các phép bin i . 53 X3 Z3 θ X O Z O' φ θ' Y Y3 Hình 4.8 R -1 x = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Cos a Sin a Sin a Cos a ( ) ( ) ( ) ( ) −        



Thay góc a = 90 0 + Φ , ta có: Cos(90 0 + Φ) = -Sin(Φ) và Sin(90 0 + Φ) = Cos(Φ) nên ma trn tìm c s có d ng: C = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − − −        



Sin Cos Cos Sin ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ Lúc này, h (X2,Y2,Z2) bi
n i thành h (X3,Y2,Z3). B !c 4: Bi
n i h tr!c ti
p (X3,Y3,Z3) thành h gián ti
p (hình 4.9). Trong b c này, ta ph"i i h ng trc X3 bng cách i du các phn t& ca ct X. Ta nhn c ma trn: D = −       



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 và h (X3,Y3,Z3) bi
n i thành h (X0,Y0,Z0). Ch
ng IV. Các phép bin i . 54 O X θ Z0 O' φ X0 θ' Y0 Y Z Hình 4.9 TÓM L"I Các im trong không gian s nhn trong h quan sát mt ta  có d ng: (x0 ,y0 ,z0 ,1) = (x y z 1).A.B.C.D Gi T = A.B.C.D, ta tính c: T = − − − − − −        



sin( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) θ θ φ θ φ θ θ φ θ φ φ φ Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin R 0 0 0 0 0 0 1 Cui cùng ta có: (x0 ,y0 ,z0 ,1) = (x y z 1).T hay: x0 = -x.Sin(θ) + y.Cos(θ) y0 = -x.Cos(θ).Sin(Φ) - y.Sin(θ).Sin(Φ) + z.Cos(Φ) z0 = -x.Cos(θ).Cos(Φ) - y.Sin(θ).Cos(Φ) - z.Sin(Φ) + R * Bây gi
ta chiu nh ca h quan sát lên màn hình. 1. Phép chiu phi cnh Cho im P(x,y,z) và hình chi
u P’(x0,y0,z0) ca nó trên mt ph ng. Gi D là kho"ng cánh t# mt ph ng 
n m$t (gc ta ). (Hình 4.10) Ch
ng IV. Các phép bin i . 55     !"#$#% !" #$ #% 
    
     !"#$#% !"#$#% & $  " Hình 4.10 Xét các tam giác ng d ng, ta có: xE/D = x0/z0 và yE/D = y0/z0  x E = D.x 0 /z 0 và y E = D.y 0 /z 0 Chú ý: z0 bao hàm vic phóng to hay thu nh vt th. 2. Phép chiu song song Ta  quan sát (x0,y0,z0) và ta  màn hình tha mãn công thc: x E = x 0 và y E = y 0 Ch
ng IV. Các phép bin i . 56

  
   !'( '  ') *+, Hình 4.11 KT LUN Có 4 giá tr "nh hng 
n phép chi
u vt th 3D là: các góc θ , Φ , kho"ng cách R t# O 
n O’ và kho"ng cách D t# O’ 
n mt ph ng quan sát. C th: • T(ng gi"m θ s quay vt th trong mt ph ng (XY). • T(ng gi"m Φ s quay vt th lên xung. • T(ng gi"m R  quan sát vt t# xa hay gn. • T(ng gi"m D  phóng to hay thu nh "nh. 4.5. PH# L#C T o UNIT DOHOA3D (DOHOA3D.PAS). UNIT DOHOA3D; INTERFACE USES graph,crt; { Cac hang de quay hinh } Const IncAng = 5; {Tang goc} Type ToaDo3D=Record x,y,z:real; End; ToaDo2D=Record x,y:integer; End; Ch
ng IV. Các phép bin i . 57 PhepChieu = (PhoiCanh,SongSong); VAR R,d,theta,phi : real; aux1,aux2,aux3,aux4 : real; aux5,aux6,aux7,aux8 : real; projection : PhepChieu; xproj,yproj : real; Obs,O : ToaDo3D; PE,PC : ToaDo2D; { cac bien dung quay hinh } ch : char; PROCEDURE ThietLapDoHoa; PROCEDURE KhoiTaoPhepChieu; PROCEDURE Chieu(P :ToaDo3D); PROCEDURE VeDen(P :ToaDo3D); PROCEDURE DiDen(P :ToaDo3D); PROCEDURE TrucToaDo; PROCEDURE DieuKhienQuay; {dung de quay hinh} IMPLEMENTATION Procedure ThietLapDoHoa; var gd,gm:integer; Begin Gd:=0; InitGraph(gd,gm,'C:\BP\BGI'); End; PROCEDURE KhoiTaoPhepChieu; VAR th,ph :real; BEGIN th := pi*theta/180; ph := pi*phi/180; aux1 := sin(th); aux2 := sin(ph); aux3 := cos(th); Ch
ng IV. Các phép bin i . 58 aux4 := cos(ph); aux5 := aux3*aux2; aux6 := aux1*aux2; aux7 := aux3*aux4; aux8 := aux1*aux4; PC.x := getmaxx div 2; PC.y := getmaxy div 2; END; PROCEDURE Chieu(P :ToaDo3D); BEGIN Obs.x := -P.x*aux1 + P.y*aux3 ; Obs.y := -P.x*aux5 - P.y*aux6 + P.z*aux4 ; IF projection = PhoiCanh THEN BEGIN obs.z:=-P.x*aux7 -P.y*aux8 -P.z*aux2 + R; Xproj := d*obs.x/obs.z; Yproj := d*obs.y/obs.z; END ELSE BEGIN Xproj := d*obs.x; Yproj := d*obs.y; END; END; PROCEDURE VeDen(P :ToaDo3D); BEGIN Chieu(P); PE.x := PC.x + round(xproj); PE.y := PC.y - round(yproj); lineto (PE.x,PE.y); END; PROCEDURE Diden(P :ToaDo3D); BEGIN Ch
ng IV. Các phép bin i . 59 Chieu(P); PE.x := PC.x + round(xproj); PE.y := PC.y - round(yproj); moveto (PE.x,PE.y); END; PROCEDURE TrucToaDo; { Ve 3 truc } var OO,XX,YY,ZZ:ToaDo3D; Begin OO.x:=0; OO.y:=0; OO.z:=0; XX.x:=3; XX.y:=0; XX.z:=0; YY.x:=0; YY.y:=3; YY.z:=0; ZZ.x:=0; ZZ.y:=0; ZZ.z:=3; DiDen(OO); VeDen(XX); DiDen(OO); VeDen(YY); DiDen(OO); VeDen(ZZ); END; PROCEDURE DieuKhienQuay; {Dieu khien Quay/Zoom hinh} BEGIN ch := readkey; IF ch = #0 THEN ch := readkey; cleardevice; CASE UpCase(ch) OF #72 : phi := phi + incang; #80 : phi := phi - incang; #75 : theta := theta + incang; #77 : theta := theta - incang; END; {of case ch} END; {of Procedure} END. {Of UNIT} 4.6. VÍ D# MINH H$A Vi
t chng trình mô t" phép quay ca mt hình lp phng quanh các trc (hình 4.12). Ch
ng IV. Các phép bin i . 60    !- !. !/ !0 !1 !2 !3 !4 Hình 4.12 Uses crt,graph,Dohoa3D; var P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8:ToaDo3D; Procedure KhoiTaoBien; Begin D:=70; R:=5; Theta:=40; Phi:=20; P1.x:=0; P1.y:=0; P1.z:=0; P2.x:=0; P2.y:=1; P2.z:=0; P3.x:=1; P3.y:=1; P3.z:=0; P4.x:=1; P4.y:=0; P4.z:=0; P5.x:=1; P5.y:=0; P5.z:=1; P6.x:=0; P6.y:=0; P6.z:=1; P7.x:=0; P7.y:=1; P7.z:=1; P8.x:=1; P8.y:=1; P8.z:=1; End; Procedure VeLapPhuong; begin Diden(P1); VeDen(P2); VeDen(P3); VeDen(P4); VeDen(P1); VeDen(P6); Veden(P7); VeDen(P8); VeDen(P5); VeDen(P6); DiDen(P3); VeDen(P8); Ch
ng IV. Các phép bin i . 61 DiDen(P2); VeDen(P7); DiDen(P4); VeDen(P5); end; Procedure MinhHoa; BEGIN KhoiTaoBien; KhoiTaoPhepChieu; TrucToaDo; VeLapPhuong; Repeat DieuKhienQuay; KhoiTaoPhepChieu; ClearDevice; TrucToado; VeLapPhuong; until ch=#27; END; BEGIN { Chuong Trinh Chinh } Projection:=SongSong{Phoicanh}; ThietLapDoHoa; MinhHoa; CloseGraph; END. BÀI TP 1. Cho 3 tam giác sau: ABC v i A(1,1) B(3,1) C(1,4) EFG v i E(4,1) F(6,1) G(4,4) MNP v i M(10,1) N(10,3) P(7,1) a. Tìm ma trn bi
n i tam giác ABC thành tam giác EFG. b. Tìm ma trn bi
n i tam giác ABC thành tam giác MNP. 2. Cài t thut toán xén mt o n th ng vào mt hình ch' nht có c nh không song song v i trc ta . Ch
ng IV. Các phép bin i . 62 3. Vi
t chng trình v mt Ellipse có các trc không song song v i h trc ta . 4. D!a vào bài tp 2, hãy mô phng quá trình quay ca mt Ellipse xung quanh tâm ca nó. 5. Vi
t chng trình mô phng quá trình quay, i xng, t nh ti
n, phóng to, thu nh, bi
n d ng ca mt hình bt k trong mt ph ng. 6. Mô phng chuyn ng ca trái t xung quanh mt tri ng thi mô t" chuyn ng ca mt tr(ng xung quanh trái t. M rng trong không gian 3 chiu. 7. Vi
t chng trình v ng h ang ho t ng. 8. Vi
t chng trình v các khi a din u trong không gian. M rng: iu khin phóng to, thu nh, quay các khi a din quanh các trc...