Bài giảng Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi z

Ch−ơng 1 Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi z Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số làm việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều khiển t−ơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đ−ợc sử dụng nh− một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đ−ợc bao hàm các thiết bị tính toán đ−ợc xây dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân (PC). Một bộ chuyển đổi từ số sang t−ơng tự (A/D converter) th−ờng đ−ợc dùng để kết nối đầu ra của máy tính phục vụ cho quá trình điều khiển các thiết bị chấp hành vì tín hiệu điều khiển các thiết bị chấp hành này là tín hiệu t−ơng tự. Một bộ chuyển đổi t−ơng tự sang số (A/D converter) đ−ợc sử dụng để đọc các tín hiệu vào máy tính số. Các thời điểm tín hiệu đ−ợc đọc vào đ−ợc gọi là các thời điểm lấy mẫu. Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số có phản hồi đ−ợc trình bày trên hình 1.1. Máy tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa ch−ơng trình điều khiển. Bộ biến đổi A/D chuyển tín hiệu sai lệch t−ơng tự thành tín hiệu số thuận tiện cho việc xử lý bằng máy tính số. Tại đầu ra của máy tính số, bộ biến đổi D/A chuyển tín hiệu số thành tín hiệu t−ơng t−ơng tự để điều khiển thiết bị chấp hành. Hình 1.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số 1.1. Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Tr−ớc tiên ta định nghĩa bộ lấy mẫu. Một bộ lấy mẫu về cơ bản có thể xem nh− là một công tắc đ−ợc đóng sau mỗi chu kỳ là T giây nh− trình bày trên hình 1.2. Khi tín hiệu liên tục ký hiệu là ( )r t đ−ợc lấy mẫu tại các khoảng thời gian T , tín hiệu rời rạc đầu ra đ−ợc ký hiệu là *( )r t có dạng nh− trên hình 1.3. Hình 1.2. Bộ lấy mẫu Một quá trình lấy mẫu lý t−ởng có thể xem nh− là tích của một chuỗi xung với một tín hiệu t−ơng tự: ( ) ( ) ( )*r t P t r t= (1.1) ở đây ( )P t đ−ợc gọi là xung delta hay là xung đơn vị có dạng nh− hình 1.4. ( )r t ( )*r t Tín hiệu liên tục Tín hiệu lấy mẫu A/D Máy tính số D/A Thiết bị chấp hành Cảm biến Đầu vào Đầu ra Hình 1.3. Tín hiệu ( )r t sau khi lấy mẫu Hình 1.4. Chuỗi xung delta Xung delta đ−ợc biểu diễn nh− sau: ( ) ( ) n P t t nTδ ∞ =−∞ = −∑ (1.2) Do đó ta có ( ) ( ) ( )* n r t r t t nTδ ∞ =−∞ = −∑ (1.3) hoặc ( ) ( ) ( )* n r t r nT t nTδ ∞ =−∞ = −∑ (1.4) Khi 0t < ta có ( ) 0r t = nên ( ) ( ) ( )* 0n r t r nT t nTδ ∞ = = −∑ (1.5) Biến đổi Laplace ph−ơng trình (1.5) ta có: 2T 3T 4T 5T 6T T 0 t ( )P t T 2T 3T 4T 5T 6T 2T 3T 4T 5T 6T T 0 0 t t ( )r t ( )*r t ( ) ( )* 0 pnT n R p r nT e ∞ − = =∑ (1.6) Ph−ơng trình (1.6) đặc tr−ng cho biến đổi Laplace của tín hiệu liên tục đ−ợc lấy mẫu ( )*r t . Một hệ thống lấy mẫu và giữ mẫu có thể xem nh− là một sự kết hợp của bộ lấy mẫu và một mạch giữ bậc không (zero-order hold/ZOH) nh− trên hình 1.5. Mạch giữ bậc không này có khả năng nhớ thông tin cuối cùng cho đến khi thu đ−ợc một mẫu mới. Ví dụ ZOH lấy mẫu giá trị ( )r nT và giữ nó trong khoảng thời gian ( )1nT t n T≤ ≤ + . Hình 1.5. Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không Đáp ứng xung của một bộ giữ bậc không đ−ợc trình bày trên hình 1.6. Hàm truyền của giữ bậc không có dạng nh− sau: ( ) ( ) ( )G t H t H t T= − − (1.7) ở đây ( )H t là hàm b−ớc nhảy và nếu biến đổi Laplace ph−ơng trình (1.7) ta có ( ) 1 1Tp Tpe eG p p p p − − − = − = (1.8) Hình 1.6. Phản ứng xung của giữ bậc không Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không có thể bám hay thể hiện gần trung thực tín hiệu t−ơng tự đầu vào nếu thời lấy mẫu T đủ nhỏ so với sự biến thiên quá độ của tín hiệu. Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với một đầu vào tín hiệu dốc (ramp) đ−ợc trình bày nh− trên hình 1.7. Giữ bậc không (ZOH) ( )r t ( )*r t ( )y t Bộ lấy mẫu Tín hiệu t−ơng tự Tín hiệu lấy mẫu T 0 t 1 ( )g t Hình 1.7. Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với tín hiệu dốc 1.2. Biến đổi z Ph−ơng trình (1.6) định nghĩa một chuỗi vô hạn của các lũy thừa pnTe− với toán tử p . Toán tử z đ−ợc định nghĩa sau: pT z e= (1.9) Biến đổi z của hàm ( )r t ký hiệu là ( ) ( )Z r t R z  =  nên ta có ( ) ( ) 0 n n R z r nT z ∞ − = =∑ (1.10) Chú ý rằng biến đổi z của ( )r t bao gồm một chuỗi vô hạn của các biến z có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 30 2 3 ...R z r r T z r T z r T z− − −= + + + + (1.11) ở đây ( )r nT là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau. Chúng ta có thể xem biến đổi z trong các hệ thống dữ liệu lấy mẫu t−ơng tự nh− là biến đổi Laplace của các hệ thống thời gian liên tục. Đáp ứng của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể xác định dễ dàng bằng cách tìm biến đổi z của đầu ra sau đó tìm biến đổi z ng−ợc nh− là kỹ thuật biến đổi Laplace trong hệ thống thời gian liên tục. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu biến đổi z của một số hàm thông dụng. 1.2.1. Hàm b−ớc đơn vị Hàm b−ớc đơn vị đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) 0 0 1 0 n r nT n < =  ≥ ( ) ( ) 1 2 3 0 0 1 ... n n n n R z r nT z z z z z ∞ ∞ − − − − − = = = = = + + + +∑ ∑ ( ) 1 z R z z = − , đối với 1z > 1.2.2. Hàm ramp Hàm ramp hay còn gọi là hàm dốc đ−ợc định nghĩa nh− sau T 2T 3T 4T 5T 6T t T 0 ( )r t ( )y t ( )y t ( )r t ( ) 0 0 0 n r nT nT n < =  ≥ ( ) ( ) 1 2 3 0 0 2 3 ... n n n n R z r nT z nTz Tz Tz Tz ∞ ∞ − − − − − = = = = = + + +∑ ∑ ( ) ( )21 Tz R z z = − , đối với 1z > 1.2.3. Hàm mũ Chúng ta quan tâm đến hàm mũ đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) 0 0 0 anT n r nT e n − < =  ≥ ( ) ( ) 1 2 2 3 3 0 0 1 ... n anT n aT aT aT n n R z r nT z e z e z e z e z ∞ ∞ − − − − − − − − − = = = = = + + + +∑ ∑ ( ) 1 1 1 aT aT z R z e z z e − − − = = − − , đối với 1z > 1.2.4. Hàm mũ tổng quát Hàm mũ tổng quát đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) 0 0 0 n n r n p n < =  ≥ ( ) ( ) 1 2 2 3 3 0 0 1 ... n n n n n R z r nT z p z pz p z p z ∞ ∞ − − − − − = = = = = + + + +∑ ∑ ( ) zR z z p = − , đối với z p< T−ơng tự ta có: ( ) 1k zR p z p− −= − 1.2.5. Hàm sin Hàm sin đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) ( ) 0 0 sin 0 n r nT n T nω < =  ≥ Tr−ớc tiên ta có sin( ) 2 jx jx e e x j − − = Cho nên ( ) 2 2 2 jn T jn T jn T jn T e e e e r nT j j j ω ω ω ω− − − = = − Tuy nhiên ta đã biết đ−ợc biến đổi z của một hàm mũ là ( ) ( )anT aTzR e R z z e − − = = − Cho nên ( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2 1 j T j T j T j T j T j T z e e R z j z e z e j z z e e ω ω ω ω ω ω − − −   −   = − =  − − − + +     hay ( ) ( )( )2 sin 2 cos 1 z T R z z z T ω ω = − + 1.2.6. Hàm cos Hàm cos đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) ( ) 0 0 cos 0 n r nT n T nω < =  ≥ Tr−ớc tiên ta có cos( ) 2 jx jx e e x −+ = Cho nên ( ) 2 2 2 jn T jn T jn T jn T e e e e r nT ω ω ω ω− −+ = = + Tuy nhiên ta đã biết đ−ợc biến đổi z của hàm mũ có dạnh nh− sau ( ) ( )anT aTzR e R z z e − − = = − Do đó áp dụng trong tr−ờng hợp này ta có ( ) 1 1 1 2 j T j T R z z e z e ω ω−   = +  − −  hay ( ) ( )( )( )2 cos 2 cos 1 z z T R z z z T ω ω − = − + 1.2.7. Hàm xung rời rạc Hàm xung rời rạc đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) 1 0 0 0 n n n δ ==  ≠ ( ) ( ) 0 0 1 n n n n R z r nT z z ∞ ∞ − − = = = = =∑ ∑ 1.2.8. Hàm xung rời rạc có trễ Hàm xung rời rạc có trễ đ−ợc định nghĩa nh− sau ( ) 1 0 0 n k n k n k δ = >− =  ≠ ( ) ( ) 0 0 n n n n n R z r nT z z z ∞ ∞ − − − = = = = =∑ ∑ 1.2.9. Bảng biến đổi z Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng đ−ợc trình bày nh− trên bảng 1.1. Khi biết dạng biến đổi z, chúng ta quan tâm đến đáp ứng đầu ra ( )y t của hệ thống và phải sử dụng biến đổi z ng−ợc để thu đ−ợc ( )y t từ ( )Y z . 1.2.10. Tìm biến đổi z qua biến biến đổi Laplace Mặc dù chúng ta biểu thị biến đổi z t−ơng đ−ơng của ( )G p là ( )G z , nh−ng điều đó không có nghĩa là ( )G z đ−ợc xác định bằng cách thay thế toán tử p bằng toán tử z . Thay vào đó chúng ta sử dụng một trong các ph−ơng pháp sau đây để xác định biến đổi z của một hàm qua biến đổi Laplace của hàm đó. -Ph−ơng pháp 1: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là ( )G p . Từ đây chúng ta tính toán đáp ứng theo thời gian là ( )g t bằng phép biến đổi z ng−ợc. -Ph−ơng pháp 2: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là ( )G p . Từ đây ta tìm biến đổi z của hàm là ( )G z bằng cách tra bảng với các biến đổi Laplace và biến đổi z t−ơng đ−ơng. -Ph−ơng pháp 3: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là ( )G p . Mặt khác ta có thể biểu diễn ( ) ( ) ( )/G p N p D p= và sử dụng công thức sau đây để xác định biến đổi z: ( ) ( )( )' 11 1 1 n q n x T n n N x G z D x e z − = = − ∑ (1.12) ở đây ' /D D p= ∂ ∂ và n x với 1,2,...,n q= là gốc của ph−ơng trình ( ) 0D p = . Bảng 1.1. Biến đổi Laplace và biến đổi z của một số hàm thông dụng Tín hiệu t−ơng tự Tín hiệu lấy mẫu Biến đổi Laplace Biến đổi z ( )tδ ( )kTδ 1 1 ( )t aδ − ( )k a Tδ  −  pte− az− 1 1 ( )kT 1 p 1 z z − t kT 2 1 p ( )21 Tz z − 2 2 t ( )2 2 kT 3 1 p ( ) ( ) 2 3 1 2 1 T z z z + − at e − akTe− 1 p a+ aT z z e − − at te − akTkTe− ( )2 1 p a+ ( )2 aT aT zTe z e − − − 1 at e − − 1 akTe−− ( ) a p p a+ ( ) ( ) ( ) 1 1 aT aT z e z z e − − − − − ( )sin akT ( )sin akT 2 2 a p a+ ( )( )2 sin 2 cos 1 z aT z z aT− + ( )cos akT ( )cos akT 2 2 p p a+ ( )( ) ( )2 cos 2 cos 1 z z aT z z aT − − + Ví dụ 1.1: Cho biến đổi Laplace của một hàm có dạng nh− sau: ( ) 2 1 5 6 G p p p = + + Xác định biến đổi z t−ơng đ−ơng của hàm trên. Lời giải: -Ph−ơng pháp 1: Sử dụng biến đổi Laplace ng−ợc Chúng ta có thể biểu diễn ( )G p là một tổng của các phân số nh− sau: ( ) ( )( ) 1 1 1 3 2 2 3 G p p p p p = = + + + + + Biến đổi Laplace ng−ợc của ( )G p là: ( ) ( )1 2 3t tg t L G p e e− − − = = −  Theo định nghĩa của biến đổi z, chúng ta có thể xác định ( )G z từ ( )g t nh− sau: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 4 2 3 1 6 2 0 1 ... 1 ... nT nT n T T T T n G z e e z e z e z e z e z ∞ − − − − − − − − − − − = = − = + + + − + + +∑ ( ) ( )( )( ) 2 3 2 3 2 3 T T T T T T z e ez z G z z e z e z e z e − − − − − − − = − = − − − − -Ph−ơng pháp 2: Sử dụng bảng biến đổi z Từ bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) ta có biến đổi z của ( )1/ p a+ là ( )/ aTz z e−− . Do đó biến đổi z của hàm ( )G p là ( ) ( )( )( ) 2 3 2 3 2 3 T T T T T T z e ez z G z z e z e z e z e − − − − − − − = − = − − − − 1.2.11. Các tính chất của biến đổi z Đa số các tính chất của biến đổi z t−ơng tự nh− các tính chất của biến đổi Laplace. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số tính chất quan trọng của biến đổi z. 1. Tính chất tuyến tính Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z và biến đổi z của ( )g nT là ( )G z . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z f nT g nT Z f nT Z g nT F z G z     ± = ± = ±      (1.13) ( ) ( ) ( )Z af nT aZ f nT aF z   = =    (1.14) ở đâya là một đại l−ợng vô h−ớng 2. Tính chất dịch trái Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z và ( ) ( )y nT f nT mT= + . Khi đó ( ) ( ) ( )1 0 m m m i i Y z z F z f iT z − − = = −∑ (1.15) Nếu tất cả các điều kiện đầu là không ví dụ ( ) 0f iT = , 0,1,2,..., 1i m= − thì ( ) ( )mZ f nT mT z F z + =  (1.16) 3. Tính chất dịch phải Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z và ( ) ( )y nT f nT mT= − . Khi đó ( ) ( ) ( )1 0 m m i i Y z z F z f iT mT z − − − = = − −∑ (1.17) Nếu ( ) 0f nT = đối với 0k < khi đó ta có ( ) ( )mZ f nT mT z F z− − =  (1.18) 4. Tính chất suy giảm Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z . Khi đó ( )anT aTZ e f nT F ze−   =    (1.19) Điều này có nghĩa là nếu một hàm đ−ợc nhân với một lũy thừa anTe− thì biến đổi z của hàm z này đ−ợc thay bằng aTze . 5. Tính chất giá trị đầu Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z . Khi đó giá trị đầu của đáp ứng theo thời gian đ−ợc xác định nh− sau: ( ) ( )lim lim n z f nT F z →∞ →∞ = (1.20) 6. Tính chất giá trị cuối Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z . Khi đó giá trị cuối của đáp ứng theo thời gian đ−ợc xác định nh− sau: ( ) ( ) ( )1 1 lim lim 1 n z f nT z F z − →∞ → = − (1.21) Chú ý tính chất này chỉ có hiệu lực nếu các cực của ( ) ( )11 z F z−− nằm bên trong vòng tròn đơn vị hay tại 1z = . Ví dụ 1.2: Biến đổi z của hàm dốc (ramp) ( )r nT có dạng nh− sau: ( ) ( )21 Tz R z z = − Tìm biến đổi z của hàm ( )5r nT . Lời giải: Sử dụng tính chất tuyến tính ta dễ dàng suy ra ( ) ( ) ( )2 5 5 5 1 Tz Z r nT Z r nT z    = =    − Ví dụ 1.3: Cho biểu thức của biến đổi z nh− sau: ( ) ( ) ( )2 0,792 1 0,416 0,208 z G z z z z = − − + Xác định giá trị cuối cùng của ( )g nT Lời giải: Sử dụng tính chất giá trị cuối ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 0,792 lim lim 1 1 0,416 0,208n z z g nT z z z z − →∞ → = − − − + 21 0,792 0,792 lim 1 0,416 0,208 1 0,416 0,208z z z→ = = = − + − + 1.2.12. Biến đối z ng−ợc Biến đổi z ng−ợc t−ơng tự nh− biến đổi Laplace ng−ợc. Nói một cách tổng quát, biến đổi z là tỷ số của các đa thức đối với biến z với bậc của đa thức tử số không đ−ợc lớn hơn bậc của đa thức mẫu số. Bằng phép biến đổi z ng−ợc, chúng ta có thể tìm đ−ợc chuỗi kết hợp với các đa thức biến đổi z đã cho. Khi xác định đ−ợc biến đổi z ng−ợc, chúng ta quan tâm đến đáp ứng thời gian của hệ thống có nghĩa là chúng ta zác định đ−ợc hàm thời gian ( )y t từ hàm ( )Y z . Chúng ta có thể sử dụng một trong các ph−ơng pháp sau đây để tìm biến đổi z ng−ợc: -Ph−ơng pháp 1: Ph−ơng pháp chuỗi lũy thừa (chia dài) -Ph−ơng pháp 2: Ph−ơng pháp khai triển ( )Y z thành các phân số từng phần và sử dụng bảng để tìm biến đổi z ng−ợc. -Ph−ơng pháp 3: Ph−ơng pháp tích phân đảo Đối với một hàm biến đổi z cho tr−ớc ( )Y z , chúng ta có thể xác định đ−ợc các hệ số của chuỗi tổ hợp ( )y nT tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau bằng cách sử dụng biến đổi z ng−ợc. Hàm thời gian ( )y t khi đó đ−ợc xác định nh− sau: ( ) ( ) ( ) 0n y t y nT t nTδ ∞ = = −∑ Trong ch−ơng này chúng ta sẽ giới hạn chỉ tìm hiểu ph−ơng pháp 1 và 2 thông qua các ví dụ. 1. Ph−ơng pháp 1: Chuỗi lũy thừa Ph−ơng pháp này đ−ợc thực hiện bằng cách chia mẫu số của ( )Y z cho tử số để thu đ−ợc một chuỗi lũy thừa có dạng nh− sau: ( ) 1 2 30 1 2 3 ...Y z y y z y z y z− − −= + + + + Ví dụ 1.4: Tìm biến đổi z ng−ợc của đa thức sau: ( ) 2 2 3 4 z z Y z z z + = − + Lời giải: Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có 1 2 3 1 4 8 8 ...z z z − − −+ + + + 2 3 4z z− + 2z z+ 2 3 4z z− + 4 4z − 14 12 16z z−− + 18 16z−− 1 28 24 32z z− −− + 1 28 32z z− −− 1 2 38 24 32z z z− − −− + ... Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh− sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 4 2 8 3 8 ... y y T y T y T = = = = Hay hàm thời gian ( )y t có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 8 2 8 3 ...y t t t T t T t Tδ δ δ δ= + − + − + − + Hình 1.8 là một số mẫu đầu của ( )y t . Hình 1.8. Một số mẫu đầu của ( )y t trong ví dụ 1.4 Ví dụ 1.5: Tìm biến đổi z ng−ợc của đa thức sau: ( ) 2 3 2 z Y z z z = − + Lời giải: Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có 1 4 8 0 T 2T 3T t ( )y t 1 2 3 1 4 8 8 ...z z z − − −+ + + + 2 3 2z z− + z 13 2z z−− + 13 2z−− 1 23 9 6z z− −− + 1 27 6z z− −− 1 2 37 21 14z z z− − −− + 2 315 14z z− −− 2 3 415 45 30z z z− − −− + ... Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh− sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 3 3 7 4 15 ... y y T y T y T y T = = = = = Hay hàm thời gian ( )y t có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 7 3 15 4 ...y t t T t T t T t Tδ δ δ δ= − + − + − + − Nh−ợc điểm của ph−ơng pháp chuỗi lũy thừa là ph−ơng pháp này không đ−a đến dạng chính xác của kết quả cần tìm. Khi cần tìm dạng chính xác của hàm thời gian, chúng ta cần sử dụng các ph−ơng pháp khác. 1. Ph−ơng pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng T−ơng tự nh− kỹ thuật biến đổi Laplace ng−ợc, một hàm ( )Y z có thể đ−ợc khai triển thành các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông dụng để tìm ra biến đổi z ng−ợc của các phân số này. Nếu nhìn vào bảng biến đổi z, chúng ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số. Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của các phân số riêng của hàm ( ) /y z z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định đ−ợc ( )y z . Ví dụ 1.6: Tìm biến đổi z ng−ợc của hàm sau: ( ) ( )( )1 2 z y z z z = − − Lời giải: Tr−ớc tiên chúng ta có thể biểu diễn lại ph−ơng trình trên nh− sau ( ) ( )( ) 1 1 2 1 2 y z A B z z z z z = = + − − − − Các giá trị của A và B đ−ợc xác định từ ph−ơng trình sau ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1A z B z A B z A B− + − = + − + = Dễ dàng suy ra 1A = − và 1B = do đó ( ) 1 1 1 2 Y z z z z − = + − − hay ( ) 1 2 z z Y z z z − = + − − Mặt khác ta lại có ( )n zR a z a = − Cho nên ( ) 1 2ny nT = − + Ta có các hệ số của chuỗi lũy thừa nh− sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 3 3 7 4 15 ... y y T y T y T y T = = = = = Hay hàm thời gian ( )y t có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 7 3 15 4 ...y t t T t T t T t Tδ δ δ δ= − + − + − + − 1.3. Hàm truyền xung và thao tác các sơ đồ khối Hàm truyền xung là tỷ số biến đổi z của đầu ra so với đầu vào lấy mẫu tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau. Giả thiết chúng ta muốn lấy mẫu một hệ thống với đáp ứng đầu ra nh− trên hình 1.9: ( ) ( ) ( )*y p e p G p= Hình 1.9. Lấy mẫu một hệ thống Dạng tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu đầu ra có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )** * * *y p e p G p e p G p = =  (1.22) và ( ) ( ) ( )y z e z G z= (1.23) Ph−ơng trình (1.22) và (1.23) có nghĩa là nếu có tối thiểu một hàm liên tục đ−ợc lấy mẫu thì biến đổi z của tích bằng tích biến đổi z của mỗi hàm (chú ý rằng ( ) ( )** *e p e p   =    , điều này có nghĩa là một tín hiệu đã đ−ợc lấy mẫu rồi sẽ không có tác dụng với lấy mẫu nữa). ( )G z là hàm truyền giữa tín hiệu hiệu đầu ra và đầu vào lấy mẫu tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau và đ−ợc gọi là hàm truyền xung. Chú ý từ ph−ơng trình (1.23), chúng ta không có thông tin đầu ra về ( )y z giữa các thời điểm lấy mẫu. 1.3.1. Các hệ thống vòng hở Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát một số ví dụ thao tác các sơ đồ khối của các hệ vòng hở. Ví dụ 1.7: Hình 1.10 trình bày một hệ thống dữ liệu lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi z của đầu ra hệ thống. Hình 1.10. Hệ vòng hở ví dụ 1.7 Lời giải: Đối với hệ thống này, chúng ta có thể viết ( ) ( ) ( )*y p e p G p= hoặc ( ) ( ) ( ) ** *y p e p G p =   và ( ) ( ) ( )y z e z G z= ( )e p ( )*e p ( )G p ( )y p ( )*y p ( )e p ( )*e p ( )G p ( )y p ( )*y p Ví dụ 1.8: Hình 1.11 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi z của đầu ra hệ thống. Hình 1.11. Hệ vòng hở ví dụ 1.8 Lời giải: Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( )* 1 2y p e p G p G p= hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )* ** * *1 2 1 2y p e p G p G p e p G G p = =  và ( ) ( ) ( )1 2y z e z G G z= ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2G G z Z G p G p G z G z = ≠  Ví dụ nếu ( )1 1G p p = và ( )2 aG p p a = + Từ bảng biến đổi z ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 aT aT z ea Z G p G p Z p p a z z e − − −     = =   + − −   và đầu ra của hệ thống sẽ là ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 aT aT z e y z e z z z e − − − = − − ( )e p ( )*e p ( )1G p ( )y p ( )*y p ( )2G p Ví dụ 1.9: Hình 1.12 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định dạng biến đổi z của đầu ra hệ thống. Hình 1.12. Hệ vòng hở ví dụ 1.9 Đối với hệ vòng hở này chúng ta có thể viết ( ) ( ) ( )* 1x p e p G p= hoặc ( ) ( ) ( )* * *1x p e p G p= và ( ) ( ) ( )* 2y p x p G p= hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * * *2 1 2y p x p G p e p G p G p= = Cuối cùng ta có biến đổi z của tín hiệu ra có dạng nh− sau: ( ) ( ) ( ) ( )1 2y z e z G z G z= Ví dụ: ( )1 1G p p = và ( )2 aG p p a = + Khi đó ta có ( )1 1 z Z G p z   =  − và ( )2 aTazZ G p z ze −   =  − Đầu ra của hệ thống sẽ là ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1aT aT z az az y z e z e z z z ze z e − − = = − − − − 1.3.2. Đáp ứng thời gian vòng hở Đáp ứng thời gian của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể thu đ−ợc bằng cách tìm biến đổi z ng−ợc của hàm đầu ra. Chúng ta sẽ làm rõ khái niệm này thông qua các ví dụ. Ví dụ 1.10: ( )e p ( )*e p ( )1G p ( )y p ( )*y p ( )2G p ( )x p ( )*x p Một tín hiệu b−ớc nhảy đơn vị đ−ợc đặt vào một hệ RC điện nh− trên hình 1.13. Tính và vẽ đáp ứng đầu ra của hệ thống, giả thiết chu kỳ lấy mẫu là 1T s= . Hình 1.13. Hệ thống RC với tín hiệu đầu vào b−ớc nhảy Lời giải: Hàm truyền của hệ RC là ( ) 1 1 G p RCp = + Đối với hệ thống này ta có thể viết ( ) ( ) ( )*y p u p G p= và ( ) ( ) ( )* * *y p u p G p= Biến đổi z của hàm đầu ra có dạng nh− sau ( ) ( ) ( )y z u z G z= Biến đổi z của hàm b−ớc nhảy đơn vị có dạng nh− sau ( ) 1 z u z z = − Hàm truyền ( )G p có thể viết lại nh− sau ( ) 1 1 1 1 11 G p a RCp RC p a p RC = = = + +  +    trong đó 1/a RC= . Mặt khác theo bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) 1 aT z Z p a z e −   =  + −  ( )u p ( )*u p R C ( )y p Ta dễ dàng suy ra aT a az Z p a z e −   =  + −  Do đó biến đổi z của hàm đầu ra là ( ) ( ) ( ) 2 1 1 aT aT z az az y z z z e z z e − −    = =   − − − −   Nếu chu kỳ lấy mẫu 1T s= , 1R = Ω , 1C F= thì ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 0,3681 z z y z z zz z e − = = − − − − Đáp ứng đầu ra có thể thu đ−ợc bằng cách tìm biến đổi z ng−ợc của ( )y z . Bằng cách khai triển ( )y z thành các phần số từng phần ta có ( ) 1,582 0,582 1 0,368 y z z z z = − − − hay ( ) 1,582 0,582 1 0,368 z z y z z z = − − − Mặt khác ta có biến đổi z ng−ợc của ( )/z z a− nh− sau 1 nz Z a z a −   =  −  Đáp ứng đầu ra sẽ có dạng ( ) ( )1,582 0,582 0,368 ny nT = − Từ ph−ơng trình trên ta có một số mẫu đầu nh− sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1,367 2 1,503 3 1,552 4 1,571 ... y y T y T y T y T = = = = = Đáp ứng đầu ra là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,367 1,503 2 1,552 3 1,571 4 ...y t t t T t T t T t Tδ δ δ δ δ= + − + − + − + + − + Hình 1.14. Đáp ứng đầu ra của hệ thống RC. Một điều quan trọng là đáp ứng chỉ đ−ợc biết tại các thời điểm lấy mẫu. Nếu điện tích của tụ đ−ợc xả qua điện trở giữa các khoảng chu kỳ lấy mẫu thì sẽ xảy ra hiện t−ợng suy giảm theo hàm mũ của đáp ứng giữa các khoảng thời gian lấy mẫu. Tuy nhiên hiện t−ợng này không thể xác định đ−ợc bằng ph−ơng pháp biến đổi z của quá trình phân tích. Ví dụ 1.11: Giả thiết chúng ta có một hệ thống điều khiển nh− trên hình 1.15 với giữ bậc không (ZOH). Xác định đáp ứng đầu ra nếu đầu vào của hệ thống là một xung b−ớc đơn vị. Hình 1.15. Hệ thống RC với giữ bậc không Lời giải: Hàm truyền của giữ bậc không có dạng nh− sau: ( )1 1 Tp e G p p − − = Hàm truyền của mạch RC có dạng nh− sau: ( )2 1 1 1 1 11 G p a RCp RC p a p RC = = = + +  +    với 1 a RC = Đối với hệ thống này, đầu ra của hệ thống có dạng nh− sau ( ) ( ) ( )* 1 2y p u p G G p= và ( ) ( )[ ] ( )** * 1 2y p u p G G p= ở dạng biến đổi z đầu ra của hệ thống có dạng ( )u p ZOH 1 1p + ( )*u p ( )y p ( )y t 1 1,367 1,503 1,552 1,571 T 2T 3T 4T 0 t ( ) ( ) ( )1 2y z u z G G z= Nếu 1T s= , 1R = Ω và 1C F= ta có ( )1 2 1 1 1 p e G G p p p − − = + Mặt khác ta cũng có thể phân tích ( )1 2G G p thành các phân số riêng nh− sau: ( ) ( )1 2 1 11 1 p G G p e p p −   = − − +  hay ( ) ( )11 2 1 0,631 1 0,37 z z G G z z z z e z − −   = − − =  − − −  Khi đầu vào là hàm b−ớc nhảy đơn vị ta có ( ) 1 z u z z = − và ( ) ( )( ) 0,63 1 0,37 z y z z z = − − ( ) ( ) ( ) 0,63 1 0,37 y z z z z = − − Mặt khác ( ) /y z z có thể đ−ợc khai triển thành các phân số riêng nh− sau ( ) 1 0,37 y z A B z z z = + − − ở đây 1A = và 1B = − nên ( ) 1 1 1 0,37 y z z z z = − − − ( ) 1 0,37 z z y z z z = − − − Sử dụng biến đổi z ng−ợc ta tìm đ−ợc đáp ứng đầu ra của hệ thống nh− sau: ( ) ( )1 0,37 ny nT = − hay ( ) ( )1 0,37 ny nT = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,63 1 0,86 2 0,95 3 0,98 4 ...y t t t t tδ δ δ δ= − + − + − + − + Đáp ứng thời gian trong tr−ờng hợp này đ−ợc trình bày nh− trên hình 1.16. Hình 1.16. Đáp ứng thời gian đầu vào b−ớc nhảy của ví dụ 1.11 Khi đầu vào làm hàm dốc (ramp) ta có ( ) ( )21 Tz u z z = − Khi chu kỳ lấy mẫu 1T s= ta có ( ) ( ) ( )2 3 2 0,63 0,63 2,37 1,74 0,371 0,37 z z y z z z zz z = = − + − − − Sử dụng ph−ơng pháp chuỗi lũy thừa ta có thể biểu diễn ( )y z d−ới dạng nh− sau ( ) 2 3 4 50,63 1,5 2,45 3,43 ...y z z z z z− − − −= + + + + Do đó đáp ứng đầu ra sẽ là ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,63 2 1,5 3 2,45 4 3,43 5 ...y t t t t tδ δ δ δ= − + − + − + − + 1.3.3. Các hệ thống vòng kín Trong phần này chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về thao tác các sơ đồ khối hệ vòng kín (hệ có phản hồi). Ví dụ 1.12: Hình 1.17 trình bày sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín. Xác định hàm truyền của hệ thống. ( )y t 0,63 0,86 0,95 0,98 T 2T 3T 4T 0 t Hình 1.17. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1.12 Đối với hệ thống hình 1.17 ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( )e p r p H p y p= − và ( ) ( ) ( )*y p e p G p= Thay ( )y p vào ph−ơng trình ( )e p ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*e p r p H p G p e p= − hoặc ( ) ( ) ( ) ( )* * * *e p r p GH p e p= − Từ ph−ơng trình trên ta suy ra ( )*e p nh− sau ( ) ( )( ) * * * 1 r p e p GH p = + Đầu ra lấy mẫu là ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * * * 1 r p y p G p e p G p GH p = = + ở dạng biến đổi z ta có ( ) ( ) ( )( )1 r z G z y z GH z = + và hàm truyền của hệ thống là ( ) ( ) ( ) ( )1 y z G z r z GH z = + Ví dụ 1.13: Hình 1.18 trình bày sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín. Xác định hàm truyền của hệ thống. ( )G p ( )H p ( )*e p ( )e p ( )r p ( )y p Hình 1.18. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1.13 Đối với hệ vòng kín trên hình 1.13 ta có ( ) ( ) ( )y p e p G p= và ( ) ( ) ( ) ( )*e p r p H p y p= − Thay ( )e p vào ph−ơng trình ( )y p ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*y p r p H p y p G p = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*y p r p G p G p H p y p= − hay ( ) ( ) ( ) ( )* * * *y p Gr p GH p y p= − Từ ph−ơng trình trên ta xác định đ−ợc ( )*y p nh− sau ( ) ( )( ) * * * 1 Gr p y p GH p = + và ( ) ( )( )1 Gr z y z GH z = + Ví dụ 1.14: Cho một hệ thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối nh− trên hình 1.19. Xác định hàm truyền của hệ thống. Lời giải: Bộ chuyển đổi A/D có thể đ−ợc xem nh− là một bộ lấy mẫu lý t−ởng. T−ơng tự bộ chuyển đổi D/A ở đầu ra của bộ điều khiển có thể đ−ợc xem nh− là một giữ bậc không (ZOH). Chúng ta biểu thị hàm truyền của bộ điều khiển là ( )D p và hàm truyền kết hợp giữ bậc không và đối t−ợng điều khiển là ( )G p . Do đó sơ đồ t−ơng đ−ơng của hệ thống đ−ợc biểu diễn nh− trên hình 1.20. ( )G p ( )H p ( )e p ( )r p ( )y p ( )*y p Hình 1.19. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1.14 Hình 1.20. Sơ đồ t−ơng đ−ơng của thống dữ liệu lấy mẫu hình 1.19 Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( )e p r p H p y p= − và ( ) ( ) ( ) ( )* *y p e p D p G p= Từ hai ph−ơng trình trên, ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *e p r p H p D p G p e p= − hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *e p r p GH p D p e p= − Từ ph−ơng trình trên ta suy ra ( )*e p có dạng nh− sau ( ) ( )( ) ( ) * * * * 1 r p e p GH p D p = + Đầu ra của hệ thống ( )y p có dạng nh− sau ( )H p ( )r p ( )y p ( )*D p 1 Tpe p − − ( )pG p ( )e p ( )G p ( )*e p A/D ( )H p ( )r p ( )y p Bộ điều khiển số A/D ( )pG p Đối t−ợng điều khiển Cảm biến ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) * * * * 1 r p y p D p G p GH p D p = + Dạng lấy mẫu của đầu ra có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) * * * * * * 1 D p G p r p y p GH p D p = + Do đó biến đổi z của đầu ra có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 D z G z r z y z GH z D z = + hay hàm truyền của hệ thống là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 y z D z G z r z GH z D z = + 1.3.4. Đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín Đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín đ−ợc xác định bằng biến đổi z ng−ợc của hàm đầu ra. Trong phần này chúng ta sẽ xét một số ví dụ về đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín. Ví dụ 1.15: Một tín hiệu b−ớc nhảy đơn vị đ−ợc đặt vào một hệ thống số nh− trên hình 1.21. Xác định đáp ứng đầu ra của hệ thống với giả thiết chu kỳ lấy mẫu là 1 giây. Hình 1.21. Hệ thống vòng kín của ví dụ 1.15 Đầu ra của hệ thống ở dạng biến đổi z có dạng tổng quát nh− sau ( ) ( ) ( )( )1 r z G z y z GH z = + ở đây ( ) 1 z r z z = − , ( ) ( )( )( ) 1 1 T T z e G z z z e − − = − − và ( ) 1H z = Thay ( )r z , ( )G z và ( )H z vào ph−ơng trình ( )y z ta có ( )r p ( ) y p ( ) 1 1p p + ( )e p ( )*e p ( )G p ( ) ( )( )( ) 2 2 1 2 1 T T T z e y z z ze e z − − − − = − + − Với giả thiết 1T s= ta có ( ) 2 3 2 0,632 1,736 1,104 0,368 z y z z z z = − + − hay ( ) 1 2 30,632 1,09 1,25 ...y z z z z− − −= + + + Đáp ứng thời gian của hệ thống sau 10 chu kỳ lấy mẫu có dạng nh− trên hình 1.22 Hình 1.22. Đáp ứng thời gian của hệ thống trong ví dụ 1.15 1.4. Sử dụng Matlab để tìm biến đổi z và biến đổi z ng−ợc Trong Matlab, hộp công cụ hệ thống điều khiển hỗ trợ việc thiết kế hệ thống điều khiển thời gian rời rạc. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số lệnh thông dụng để xác định biến đổi z . 1.4.1. Biến đổi z Để chuyển một hàm liên tục (hay hàm ở dạng biến đổi Laplace) thành một hàm rời rạc, chúng ta sử dụng lệnh “c2d”. Lệnh này đòi hỏi phải nhập vào giá trị của chu kỳ lấy mẫu. Ví dụ 1.16: Xác định biến đổi z của một hàm liên tục có dạng sau ( ) 1 4 G p p = + chúng ta sử dụng các lệnh sau với giả thiết chu kỳ lấy mẫy là 0,1 giây để tìm biến đổi z >>G = tf(1, [1 4]); >>Gz = c2d(G, 0.1) Kết quả ra trên màn hình nh− sau Transfer function: 0.08242 ---------- z - 0.6703 Sampling time: 0.1 Điều đó có nghĩa là biến đổi z của hàm là ( ) 0,08242 z - 0,6703 G z = Ví dụ 1.17: Xác định biến đổi z của một hàm liên tục có dạng sau ( ) 2 1 4 2 G p p p = + + Chúng ta sử dụng các lệnh sau với giả thiết chu kỳ lấy mẫy là 1 giây để tìm biến đổi z >>G = tf(4, [1 4 2]); >>Gz = c2d(G, 1) Kết quả ra trên màn hình nh− sau Transfer function: 0.6697 z + 0.1878 ------------------------ z^2 - 0.5896 z + 0.01832 Sampling time: 1 Điều đó có nghĩa là biến đổi z của hàm là ( ) 2 0.6697 z + 0.1878 z - 0.5896 z + 0.01832 G z = Bên cạnh đó chúng ta cũng có thể sử dụng Matlab để tìm biến đổi z của một hàm với chu kỳ lấy mẫu tổng quát T . Ví dụ 1.18: Để tìm biến đổi z của hàm dốc ( )G kT kT= ta sử dụng các lệnh sau >>syms k T; >>Fz = ztrans(k*T) Kết quả ra trên màn hình là Fz = T*z/(z-1)^2 Điều đó có nghĩa là biến đổi z của hàm sẽ có dạng nh− sau ( ) ( )21 Tz F z z = − L−u ý rằng k và T đ−ợc định nghĩa là các ký hiệu. Ví dụ 1.19: Để tìm biến đổi z của hàm sin ( ) ( )sinf kT akT= ta sử dụng các lệnh sau >>syms a k T; >>f = sin(a*k*T); >>Fz = ztrans(f) Kết quả ra trên màn hình là Fz = z*sin(a*T)/(z^2-2*z*cos(a*T)+1) Điều đó có nghĩa là biến đổi z của hàm sẽ có dạng nh− sau ( ) ( )( )2 sin 2 cos 1 z aT F z z z aT = − + 1.4.1. Biến đổi z ng−ợc Để tìm biến đổi z ng−ợc của một hàm chúng ta sử dụng lệnh “iztrans”. Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ về biến đổi z ng−ợc. Ví dụ 1.20: Để tìm biến đổi z ng−ợc của hàm ( ) ( )2/ 1F z Tz z= − ta sử dụng các lệnh sau >>syms z T; >>f = T*z/(z-1)^2; >>Ft = iztrans(f) Kết quả ra trên màn hình nh− sau Ft = T*n Điều đó có nghĩa là biến đổi z ng−ợc của hàm sẽ có dạng nh− sau ( )f nT nT= Chúng ta cũng có thể sử dụng Matlab để xác định các hệ số của các phân số riêng đ−ợc khai triển. Sau đây chúng ta có thể xét một số ví dụ. Ví dụ 1.21: Xác định biến đổi z ng−ợc của hàm truyền sau ( ) 2 2 2 3 2 z z G z z z − = − + Thông th−ờng chúng ta khai triển ( ) /G z z thành các phân số riêng vì ở dạng này chúng ta dễ dàng tìm đ−ợc biến đổi z ng−ợc. ( ) 2 2 1 3 2 G z z z z z − = − + Để tìm biến đổi z ng−ợc của ( ) /G z z ta sử dụng lệnh sau >>[r, p, k] = residue([2 -1], [1 -3 2]) Kết quả ra trên màn hình nh− sau r = 3 -1 p = 2 1 k = [] ở đây r là các số d−, p là các cực và k là các thành phần trực tiếp ( ) 3 1 2 1 G z z z z = − − − hay ( ) 3 2 1 z z G z z z = − − − Từ dạng trên của ( )G z , chúng ta dễ dàng xác định đ−ợc biến đổi z bằng cách tra bảng.