Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 1 1 Ổn định các hệ thống điện cơ ĐH Bách Khoa TP.HCM – Khoa Điện-Điện Tử – Bộ Môn Thiết Bị Điện Bài giảng: Biến đổi năng lượng điện cơ Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ Biên soạn: Nguyễn Quang Nam Cập nhật: Trần Công Binh NH2012–2013, HK2 2 Ổn định các hệ thống điện cơ  Các mô hình động học của hệ thống điện được mô tả bởi các phương trình vi phân. Tính ổn định của hệ thống phi tuyến trong vận hành được đặc biệt quan tâm. Một số công cụ phân tích tính ổn định sẽ được giới thiệu.  Nghiệm trong miền thời gian của bài toán động học hệ thống có được bằng việc tính tích phân số và các điểm cân bằng được xác định bằng đồ thị. Với các hệ thống bậc cao hơn, các kỹ thuật số được sử dụng để tính các điểm cân bằng. Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu 3 Ổn định các hệ thống điện cơ  Sẽ có ích nếu biết điểm cân bằng tĩnh là ổn định hay không. Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian.  Với các thay đổi nhỏ quanh điểm cân bằng, một phân tích tuyến tính hóa là đủ để xác định điểm cân bằng là ổn định hay không.  Đôi khi, các hàm năng lượng có thể được dùng để đánh giá tính ổn định của hệ thống đối với nhiễu mạnh mà không cần các mô phỏng trong miền thời gian. Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt) 4 Ổn định các hệ thống điện cơ  Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập của hệ thống, chẳng hạn một lưới điện. Hệ vật lý có thể có thay đổi nhỏ (ví dụ thay đổi tải), vốn có thể dẫn đến dao động hay thậm chí sụp đổ hệ thống, hoặc gặp các nhiễu mạnh (ví dụ, sự cố hay sét đánh).  Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là Tuyến tính hóa  uxfx , 5 Ổn định các hệ thống điện cơ Tuyến tính hóa (tt)  Để tuyến tính hóa, khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor quanh điểm cân bằng xe và ngõ vào không đổi, và chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất uˆ           u u f x x f uxfuu u f xx x f uxfuxf eee              0000 ˆ,ˆˆ,, Hay     u u f x x f uxfuxfx e        00 ˆ,, 6 Ổn định các hệ thống điện cơ  Gọi , , và . Tuyến tính hóa hệ quanh điểm cân bằng dẫn đến Tuyến tính hóa hệ bậc hai  uxxfx ,, 2111   uxxfx ,, 2122  exxx 111  exxx 222  uuu ˆ u u f u f x x x f x f x f x f x x                                                          0 2 0 1 2 1 02 2 01 2 02 1 01 1 2 1   A Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 2 7 Ổn định các hệ thống điện cơ Tuyến tính hóa hệ bậc hai  Để xét tính ổn định của hệ, cần tìm trị riêng của ma trận A.  Trị riêng của ma trận A có được bằng cách giải phương trình det(A – lI) = 0.  Hệ thống là ổn định nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0). 8 Ổn định các hệ thống điện cơ Ổn định của hệ bậc hai   xx x xf M x dt d M B dt xd      2 0 0 2 2 1   Xét mô hình một hệ bậc hai  uxf dt dx B dt xd M , 2 2  có dạng tuyến tính hóa  Định nghĩa và , dạng không gian trạng thái trở thành 1xx  2xx                         2 1 2 02 1 10 x x MBx x   9 Ổn định các hệ thống điện cơ Ổn định của hệ bậc hai (tt)  Phương trình đặc tính (để tìm trị riêng) có được 0 1 2 0    l l MB 020 2  ll M B  Trường hợp I (B > 0, M > 0, ) 020  2 02 2 4  M B 2 02 2 4  M B 2 02 2 4  M B  Nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính 2 02 2 21 42 , ll  M B M B Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn định. 10 Ổn định các hệ thống điện cơ Ổn định của hệ bậc hai (tt)  Trường hợp II (B > 0, M > 0, ): hệ không ổn định  Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn định nếu , hay ở biên ổn định nếu . 020 0 2 0  020  11 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.1  Cho mạch từ giống như bài tập 4.15, với đồng năng lượng và phương trình chuyển động Hãy tìm các điểm cân bằng xe > 0, giá trị tối thiểu của I0 để tồn tại điểm cân bằng, và xác định tính ổn định của điểm cân bằng.  Lực điện từ fe   0 , 12 1 2 0 0    xI L W a xm efMg dt xd M  2 2   a IL x W f a x me 1 12 1 2 2 00       Để tìm điểm cân bằng, đặt các đạo hàm bằng 0, dẫn đến 12 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.1 (tt)  Giải theo x   a IL Mg a x 1 12 1 2 2 00            Mga IL axe 2 1 2 00  Chọn x > 0 như yêu cầu          Mga IL axe 2 1 2 00  Để tồn tại xe > 0, I0 cần thỏa điều kiện 0 0 2 L Mga I  Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 3 13 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.1 (tt)  Đây là trường hợp có B = 0, M > 0, và . Do đó, hệ thống nằm trên biên ổn định tại x = xe.   x a IL x x f dt xd M a x xx e e e         23 2 00 2 2 1 1  Để xét tính ổn định tại xe, tuyến tính hóa pt chuyển động 020  14 Ổn định các hệ thống điện cơ Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến  Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn định của hệ phi tuyến có thể cần đến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức mạnh tính toán.  Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu được bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích phân số.  Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và được gọi là phương pháp Lyapunov.  Có thể thu được các lời giải tốt với các hệ bảo toàn. 15 Ổn định các hệ thống điện cơ Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến  Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không đổi, và điều này được dùng trong phân tích ổn định các hệ này.  Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào một điểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng.  Coi V(q) = 0 tại q = 0, khi đó tại vị trí bất kỳ q, thế năng được cho bởi     qq cos1 MglV 16 Ổn định các hệ thống điện cơ Hệ bảo toàn  Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, vậy   q q sin 2 2 lMg dt d J   Vế phải có thể được biểu diễn như một đạo hàm âm của một hàm thế vô hướng. Trong trường hợp này,         q q q q q       V MglMgl cos1sin 17 Ổn định các hệ thống điện cơ Hệ bảo toàn (tt)   q qq    V dt d J 2 2 Dẫn đến  Các điểm cân bằng là nghiệm của     0sin     q q q Mgl V  Dựa vào lược đồ, chỉ xét trong khoảng –p đến +p, 0 ,pq e 18 Ổn định các hệ thống điện cơ Năng lượng của hệ  Xét   0 2 2     q qq V dt d J  Nhân với dq/dt để có   EVdt d J       energy Potential energy Kinetic 2 2 1 q q    0 2 2     dt dV dt d dt d J q q qqq  Tích phân theo t để thu được  Việc phân tích ổn định có thể được thực hiện cho 3 trường hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng. Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 4 19 Ổn định các hệ thống điện cơ Hàm năng lượng trong hệ điện cơ  Xét hệ trong hình vẽ bên dưới, giả thiết cả hệ điện lẫn hệ cơ đều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng. Mech. system Ghép điện cơ Te or fe q or x + _ + _ + _ I2 I1 l1 l2  Nếu l hoặc i ở mỗi cửa được giữ không đổi, có thể dự đoán một dịch chuyển đều trong hệ cơ. Không có dòng chảy năng lượng hay đồng năng lượng vào cửa điện. Ở hệ cơ, giả thiết không có phần tử tiêu tán năng lượng. 20 Ổn định các hệ thống điện cơ Hàm năng lượng trong hệ điện cơ  Thế năng tổng quát hóa:      qqq ,, 21 ' IIWUV m      qqq ,, 21  mWUV (dòng hằng i1 và i2) (từ thông móc vòng hằng l1 và l2)   q q    U T m  Lực cơ học gây tác động 21 Ổn định các hệ thống điện cơ Quan hệ giữa ổn định tuyến tính hóa và thế năng  Phương trình mômen   0 2 2     q qq V dt d J  Các điểm cân bằng có được bằng cách giải   0   q qV  Tuyến tính hóa quanh một điểm cân bằng qe cho ta   0 2 2 2 2       q q qq qq e V dt d J  qe là ổn định nếu , qe là không ổn định nếu   0 2 2     e V qq q q   0 2 2     e V qq q q 22 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.2 và 5.3  Cho hệ phương trình với R = 1 W và v(t) = 2 V. Hãy tìm các điểm cân bằng, tuyến tính hóa hệ phương trình, biểu diễn dưới dạng không gian trạng thái và tìm trị riêng.  Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cân bằng, rút ra    tviRi dt d i dt d   q q q 2 4 2 2 2  Vậy, hệ có 1 điểm cân bằng (qe, ie) = (1, 2).   1/4 ,2/ 2  iRtvi q 23 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)  Tuyến tính hóa hệ phương trình tại điểm cân bằng  Phương trình đầu có bậc là 2, do đó sẽ dẫn đến hệ bậc 3.     022 442 00 00 2 2 2    iii dt d iiii dt d qq qqq q  Định nghĩa các biến trạng thái x1, x2, x3 lần lượt là q, , và i, ta có mô hình không gian trạng thái như sau q 24 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)  Dẫn đến phương trình đặc trưng để tìm trị riêng như sau                                 3 2 1 3 2 1 5.020 404 010 x x x x x x     Giải ra ta được 3 trị riêng: 0245.0 23  lll 0502,24578,0 ,4515,0 3,21 j ll Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 5 25 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.4  Cho quan hệ dòng điện – từ thông của hệ trong hình Hãy viết phương trình chuyển động. Với l = 1, M = 1, và Mg = 2 trong một hệ đơn vị nhất quán nào đó, tìm điểm cân bằng. Viết phương trình thế năng của hệ và xác định tính ổn định của hệ tại điểm cân bằng trên.  22 12 xi  ll  Tính lực điện từ theo hàm năng lượng     22 3 0 22 1 3 12 xdxWm   l l lll l 26 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.4 (tt)     xx x W f me     1221 22 ll  Phương trình chuyển động   2 0212  exx   MgxMgf dt xd M e  12 2 2 2 l  Điểm cân bằng sẽ thỏa mãn (với l, M, và Mg đã cho)  Hàm năng lượng tại l đã cho    2 1 13/1, xxWm ll 27 Ổn định các hệ thống điện cơ Ví dụ 5.4 (tt)     MgxxUMg x xU      Chọn U(x)   022 2 2 2 2      e e x x x V        2 1 13/12, xxxWxUxV m  ll  Xây dựng hàm thế năng V(x)  Vậy hệ đã cho ổn định tại điểm cân bằng xe = 2.  Tính đạo hàm cấp 2 của V(x)