Bài giảng Bất đẳng thức hình học

Bất đẳng thức hình học Nguyễn Thanh Trà PTC ĐHSP HN January 22, 2009 Bất đẳng thức hình học là một vấn đề khá khó trong hình học. Trong chuyên đề này, tôi xin tổng hợp một số bất đẳng thức hình học. Bài tập 1. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. O,H là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác. Chứng minh rằng: 2.OH ≥ max {|a− b|, |b− c|, |c− a|} Bài tập 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) với độ dài các cạnh là a, b, c, M là một điểm trên mặt phẳng. Chứng minh rằng với các số thực dương bất kì x, y, z ta có: x ã MB.MC a + y ã MC.MA b + z ã MA.MB c ≥ √ xy + yz + zx (R2 −OM) R Bài tập 3. Cho tam giác ABC . la, lb, lc là độ dài các đường phân giác đối diện đỉnh A,B,C . Chứng minh rằng: a la + b lb + c lc ≥ 2008 √ 12 + 6 [(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2] (a+ b + c)2 Bài tập 4. Cho tứ giác ABCD với độ dài các cạnh là a, b, c, d và diện tích S. Với mọi số thực x, y, z, t chứng minh rằng: xa2 + yb2 + zc2 + td2 ≥ 12 √ xyztS x + y + z + t + + 1 2 [ ( √ xa−√yb)2 + (√yb−√zc)2 + (√zc− √ t)d2 + ( √ td−√xa)2 ] 1 Với x = y = z = t = 1 ta có bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4S Bài tập 5. Cho tam giác ABC. ra, rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A,B,C . M là một điểm bất kì trên mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA ra + MB rb + MC rc ≥ 2 Bài tập 6. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I, r) và nội tiếp (O,R). Chứng minh rằng: OI ≥ 2 √ 2Rr√ 3(a + b + c) [|a− b|+ |b− c|+ |c− a|] Bài tập 7. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I, r). N là điểm Nagel của tam giác. Chứng minh rằng: IN r ≥ √ 1− 2r R ≥ ∣∣∣∣1− 2ab + c ∣∣∣∣ Bài tập 8. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng: 4 √ 12OI ≥ 2 3 √ S ã [∣∣∣∣b− ca ∣∣∣∣ ã ∣∣∣∣c− ab ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣c− ab ∣∣∣∣ ã ∣∣∣∣b− ca ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣a− bc ∣∣∣∣ ã ∣∣∣∣b− ca ∣∣∣∣ ] Bài tập 9. Cho tam giác ABC . M là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: MA ã SMBC + MB ã SMAC + MC ã SMAB ≤ √ R2 − OM2S Bài tập 10. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I, r). Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: MB.MC MA ã sin A 2 + MC.MA MB ã sin B 2 + MA.MB MC ã sin C 2 ≥ 3r Bài tập 11. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: MA ãMB ãMC ≥ 2R2r Bài tập 12. Cho tam giác ABC , R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam 2 giác. ha, hb, hc là độ dài ba đường cao, la, lb, lc là độ dài ba đường phân giác. Chứng minh rằng 9 √ R 8R + 2r ≤ la ha + lb hb + lc hc ≤ 3 √ R 2r Bất đẳng thức sau có đúng không? la ha + lb hb + lc hc ≥ √ 4R r + 1 Bài tập 13. Cho tam giác ABC , ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến. Chứng minh rằng: ma + mb + mc ≥ √ 42Rr − 3r2 ≥ 9 √ Rr 2 Bài tập 14. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: s2 ≤ mala + mblb + mclc ≤ R 2r s2 Với s là nửa chu vi của tam giác ABC Bài tập 15. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ma cos B − C 2 + mb cos C −A 2 + mc cos A− B 2 ≥ 4R + r ≥ ma. cos B − C 2 + mb. cos C − A 2 + mc. cos A− B 2 Bài tập 16. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a. la + lb + lc ≥ 2r R (4R + r) ≥ 2r R . √ 3 2 (a + b+ c) b. Ta có bất đẳng thức tương tự: la + lb + lc ≥ √ 2r R . √ 3 2 (a + b + c) c. la + lb + lc ≥ 3 √ r(4R + r) 3 d. Với mọi số thực dương x, y, z ta có: x.la + y.lb + z.lc ≥ 2r R √ xy + yz + zxs Bài tập 17. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ma + la rb + mb + lb rc + mc + lc ra ≥ 6 Bài tập 20. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2s ( 1− r 2R )2 ≥ a. cos2 A + b. cos2 B + cos2 C ≥ S R Bài tập 21. Trong không gian cho hai tam giác ABC và XY Z có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và x, y, z. Một điểm P bất kì trong không gian. Chứng minh rằng: a x ã PX sin A 2 + b y ã PY sin B 2 + c z ã PZ sin C 2 ≥ 2(a + b + c)√ 3 Bài tập 22. Cho tam giác ABC . Đặt: A = Rr   ( cos A 2 − cos B 2 )2 + ( cos B 2 − cos C 2 )2 + ( cos C 2 − cos A 2 )2. B = 4 √ 3S + (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2 Chứng minh rằng: B + 8A ≤ a2 + b2 + c2 ≤ B + 12T Bài tập 23. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 4S 5 [ 6 ( sec A 2 + sec B 2 + sec C 2 ) − √ 3 ] +(a− b)2+(b− c)2 +(c− a)2 +8Rr  (cos A 2 − cos B 2 )2 + ( cos B 2 − cos C 2 )2 + ( cos C 2 − cos A 2 )2 4 Bài tập 24. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng: sinA cos B −C 2 + sinB cos C − A 2 + sinC cos A− B 2 ≥ 4 √ 3 √ a+ b + c R Bất đẳng thức sau có đúng không? sinA cos B − C 2 + sinB cos C − A 2 + sinC cos A− B 2 ≥ 3 √ 3 2 Bài tập 25. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 4S 3 [ 4 ( sec A 2 + sec B 2 + sec C 2 ) − √ 3 ] +(a− b)2+(b− c)2 +(c− a)2 Bài tập 26. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a. a2 + b2 + c2 ≥ 4 √ 3S.max {√ ma ha , √ mb hb , √ mc hc } . √ (a + b)(b+ c)(c + a) 8abc b. a2 + b2 + c2 ≥ 4 √ 3S.max { ma ha , mb hb , mc hc } . √ (a + b)(b+ c)(c + a) 8abc Bài tập 27. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 14 − 2r R 9 − 2r R ≤ a b + c + b a+ c + c a+ b ≤ 2− r R ≤ a 2 b2 + c2 + b2 a2 + c2 + c2 a2 + b2 ≤ 6 ( 1 − r R )2 Bài tập 28. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: R2 4r2 ≥ (m 2 a + m 2 b + m 2 c) 3 27m2a ãm2b ãm2c Bất đẳng thức sau đây có đúng không? (m2a + m 2 b + m 2 c) 3 27m2a ãm2b ãm2c ≥ R r 5 Bài tập 29. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E, F . AI,BI, CI cắt BC,CA,AB tại X, Y, Z. Chứng minh rằng: SXY Z ≥ SDEF + 2SABC(2R + r)(R − 2r) (a + b)(b+ c)(c + a) Bài tập 30. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: R2 r2 − R 2r ≥ rarb mamb + rbrc mbmc + rcra mcma ≥ 4 ( 1 − r 2R ) Bài tập 31. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I, r), nội tiếp đường tròn (O,R). AI,BI, CI cắt (O) tại M,N, P . r1 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP . Chứng minh rằng: r1 r ≥ 1 + (a− b) 2 + (b− c)2 + (c− a)2 8R2 Bài tập 32. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E, F . AM,BN,CP là ba đường cao. Chứng minh rằng: SDEF ≥ SMNP ≥ SDEF − 27 √ 3 ãOI2 Bài tập 33. Cho hai tam giác ABC và XY Z có diện tích là S và S ′. la, lb, lc; ra, rb, rc là độ dài các đường phân giác, bán kính đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC . hx, hy, hz là ba đường cao của tam giác XY Z. Chứng minh rằng: a. ra hx + rb hy + rc hz ≥ 3 √ S S ′ b. la hx + lb hy + lc hz ≥ 3 √ S S ′ Bài tập 34. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 6 √ 3 cosA+ cosB + cosC ≤ ab+ bc + ca ≤ 4 √ 3 ã RS 2r ãmin { ha la , hb lb , hc lc } Bài tập 35. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. D,E, F 6 là hình chiếu của M trên BC,CA,AB. X, Y, Z là giao điểm của MA và BC , MB và CA, MC và AB. Chừng minh rằng: SDEF ≤ (Sa + Sb)(Sb + Sc)(Sc + Sa) 8SaSbSc .SXYZ Bài tập 36. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 5 2 + r R ≥ ha la + hb lb + hc lc ≥ 2+ 2r R ≥ h 2 a l2a + h2b l2b + h2c l2c ≥ 1+ ( 9− 2r R ) r 4R + r2(R − 2r) 8R3 Bài tập 37. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ma + lb + lc ≤ √ 3s Bài tập 39. Cho tam giác ABC . Một điểm M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: a. (MA + MB + MC)2 ( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ) ≥ 8 + 2r R b. Bất đẳng thức sau có đúng không? (MA + MB + MC)2 ( 1 ab + 1 bc + 1 ca ) ≥ 9 Bài tập 40. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: l2a+ l 2 b + l 2 c +ma|b−c|+mb|c−a|+mc|a−b| ≥ 3s2+ 1 4 [ (b− c)2 + (c− a)2 + (a− b)2] Bài tập 41. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≥ 4 √ a b + b c + c a ã S Bài tập 42. Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng: ma b + c + mb a + c + mc a+ b ≥ 3 √ 3 2 ( 1 + r R ) 7 Bài tập 43. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 4 √ 4 − sin A 2 sin B 2 sin C 2 S Bài tập 44. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 4√4− cosA cosB cosC Bài tập 45. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a. ab+ bc + ca ≥ 4 √ 3S.min { la ha , lb hb , lc hc } + 1 4 [ (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2] b. Bất đẳng thức sau có đúng không? ab + bc + ca ≥ 4 √ 3S.max { la ha , lb hb , lc hc } Bài tập 46. Cho tam giác ABC . M là một điểm bât kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: x ã MA b + y ã MB c + z ã MC a ≥ 4 √ 3(xy + yz + zx) ã √ R2 −OM2 R Bài tập 47. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: √ 3 3 ã √ 4R r + 1 ≥ a ha + ra + b hb + rb + c hc + rc ≥ √ 3 Bài tập 48. Cho tam giác ABC thoả mãn max{A,B,C} ≤ 1200. Chứng minh rằng: a ha + ra + b hb + rb + c hc + rc ≤ √ 3 3 ( 2R r − 1 ) Bài tập 49. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kì trên mặt phẳng. Chứng minh rằng: (MA + MB + MC) ( MB MC ã bc + MC MA ã ac + MA MB ã ab ) ≥ 4S(a + b + c) 8 Bài tập 50. Cho hai tam giác ABC và XY Z. la, lb, lc và lx, ly, lz là độ dài các đường phân giác của các tam giác ABC và XY Z. Phủ định hay khẳng định bất đẳng thức: lalx + lbly + lclz ≥ 3 √ 3SABCSXY Z Bài tập 51. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ma la + mb lb + mc lc ≤ 1 3 ( 4R r + 1 ) Bài tập 52. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Một tam giác XY Z bất kì nội tiếp (I). Chứng minh rằng: BC Y Z + CA ZX + AB XY ≥ 6 Bài tập 53. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: R2 r2 − R 2r ≥ rbrc mbmc + rcra mcma + rarb mamb ≥ 4r R ( 2− r R ) Bài tập 54. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: rbrc mbmc + rcra mcma + rarb mamb ≥ 4 ( sin2 A 2 + sin2 B 2 + sin2 C 2 ) Bài tập 55. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2R r − 1 ≥ ra la + rb lb + rc lc ≥ √ 4R r + 1 Bài tập 56. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2 √ 4R r + 1 ≤ ra + rb mc + rb + rc ma + rc + ra mb ≤ 3 (√ 4R r + 1 − 1 ) Bài tập 57. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ra ma + rb mb + rc mc ≥ √ 4R r + 1 9 Bài tập 58. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: ra mb + mc + rb mc + ma + rc ma + mb ≤ 1 2 √ 2 R2 r2 + 1 Bài tập 59. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: r R + (a2 − b2)2 + (b2 − c2)2 + (c2 − a2)2 16S2 ≥ 1 2 Bài tập 60. Cho tam giác ABC , ha, hb, hc là độ dài ba đường cao. Chứng minh rằng: 3 √ 3R 4r ≤ a ha + b hb + c hc ≤ √ 3R2 2r2 Bài tập 61. Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng: √ ab + bc + ca+ 1 4 (|a− b|+ |b− c|+ |c− a|) ≥ 3R Bài tập 62. Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 4S ( sec A 2 + sec B 2 + sec C 2 − √ 3 ) + [ (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2] Bài tập 63. Cho tam giác ABC , ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến. Chứng minh rằng: ma mb + mb mc + mc ma ≥ 27(a 2 + b2 + c2) 4(ma + mb + mc)2 Bài tập 64. Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng: sin A 2 +sin B 2 +sin C 2 + 1 4 [( cos A 2 )2 + ( cos B 2 − cos C 2 )2 + ( cos C 2 − cos A 2 )2] ≤ 3 2 Bài tập 65. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2(ab + bc+ ca) ab + bc + ca+ 4 √ 3S ≤ 1 9 (a2 + b2 + c2) ( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ) ≤ ab + bc + ca 4 √ 3S 10 Bài tập 66. Cho tam giác ABC . M là một điểm nằm trong tam giác. X, Y, Z là hình chiếu của M trên BC,CA,AB. Kí hiệu PABC là chu vi tam giác ABC. R,RM , r, rM là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC và XY Z. Chứng minh rằng: PXY Z PABC ≥ 2 rrM RRM Bài tập 67. Cho tam giác ABC. M là một điểm trên mặt phẳng. X, Y, Z là hình chiếu của M trên BC,CA,AB. R,RM là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , XY Z. Chứng minh rằng: 2RRM ( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ) ≥ 9 Bài tập 68. Cho tam giác ABC và XY Z với độ dài các cạnh a, b, c và x, y, z và diện tích S, S ′. Chứng minh rằng với mọi m,n, p > 0 ta có: ma[x− (√y −√z)2] + nb[y− (√z −√x)2] + pc[z − (√x−√y)2] ≥ 4 √ 3m2n2p2SS ′ Bài tập 69. Cho tam giác ABC và các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: a. 1 x sinA + 1 y sinB + 1 z sinC ≤ 1 2 (xy + yz + zx) √ x + y + z xyz b. 1 x sinA + 1 y sinB + 1 z sinC ≤ 9 2(xy + yz + zx) Bài tập 70. Cho tam giác ABC , P là một điểm nằm trong tam giác. Đặt P̂AC = α, P̂BA = β, P̂CB = γ. Chứng minh rằng: cotα + cotβ + cot γ ≥ cot A 2 + cot B 2 + cot C 2 Bài tập 71. Cho tam giácABC . Dựng ra phía ngoài ABC các tam giác AA ′B,BB ′C,CC ′A vuông cân tại A′, B ′, C ′ ta được tam giác A′B ′C ′. Chứng minh rằng: sinA′ + sinB ′ + sinC ′ ≥ cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 11 Bài tập 72. Cho tam giác ABC . O,H, I là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng: OH2 ≥ OI2 + 2IH2 Bài tập 73. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). P là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: sinA PA + sinB PB + sinC PC ≥ 4 √ OP PA.PB.PC sinA sinB sinC Đăng thức xảy ra khi ABC là tam giác đều và P → ∞ Bài tập 74. Cho tam giác ABC , l là một đường thẳng bất kì. da, db, dc là khoảng cách từ A,B,C đến l. Chứng minh rằng: ad2a + bd 2 b + cd 2 c ≥ abc 2 ( 1− OH R ) Bài tập 75. Cho tam giác ABC . Các điểm A′, B ′, C ′ di chuyển trên BC,CA,AB và AA′, BB ′, CC ′ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A”, B”, C”. Chứng minh rằng: AA′ AA” + BB ′ BB” + CC ′ CC” ≥ 9 Bài tập 76. Cho tam giác ABC với độ dài các đường phân giác la, lb, lc và nửa chu vi s. Chứng minh rằng: 1 l2a + 1 l2b + 1 l2c ≥ 9 s2 Bài tập 77. Cho tam giác ABC , trực tâm H. AA′, BB ′, CC” là các đường cao. A′′, B ′′, C ′′ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AB ′C ′, BC ′A′, CA′B ′. Gọi R′, R′′ là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác A ′B ′C ′ và A′′B ′′C ′′. Chứng minh rằng R′ ≥ R′′ Bài tập 78. Cho tam giác ABC . P là điểm Fermat của tam giác. Chứng minh rằng: a. FA+ FB + FC ≤ √ 3 3 (a + b + c) 12 b. FA.FB + FB.FC + FC.FA≤ 1 3 (ab + bc + ca) c. FA2 + FB2 + FC2 ≥ 1 3 (a2 + b2 + c2) Bài tập 79. Cho n−giác A1A2 . . . An và P là một điểm nằm trong đa giác, wi là độ dài đường phân giác đỉnh P của tam giác AiPAi+1, (i = 1, 2, . . . n, n+1 ≡ 1), với mọi α ≥ 1. Chứng minh rằng: n∑ i=1 PAαi ≥ 1 cos pi n n∑ i=1 wαi Bài tập 80. Cho hai tam giác ABC và A′B ′C ′. Kí hiệu nửa chu vi tam giác ABC là s. Chứng minh rằng: 4 ( cosA′ a + cosB ′ b + cosC ′ c ) ≤ 1 s− a + 1 s− b + 1 s− c Bài tập 81. Cho n−giác nội tiếp đường tròn (O) có diện tích S. Chứng minh rằng: R2 ≥ 4 √ 3S 9(n − 2) Bài tập 82. Cho n−giác nội tiếp (O,R) ngoại tiếp (I, r) có độ dài các cạnh a1, a2, . . . an. Chứng minh rằng: 4nr2 tan2 pi 2 ≤ n∑ i=1 a2i ≤ 9R2 Bài tập 83. Cho tam giác ABC và ha, ga, wa, ma, na là độ dài Cevian của trực tâm, điểm Gergon, tâm đường tròn nội tiếp, điển Nagel từ đỉnh A. xác định tương tự các yếu tố với B,C . Chứng minh rằng:∑ ha ≤ ∑ ga ≤ ∑ wa ≤ ∑ ma ≤ ∑ na Bài tập 84.Cho tam giác ABC . P là một điểm bất kì bên trong tam giác. Ra, Rb, Rc, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác PBC, PCA, PAB,ABC . Chứng minh rằng: max {Ra, Rb, Rc} ≥ Rmin{Ra, Rb, Rc} Bài tập 85. Cho tam giác ABC . P là một điểm bất kì bên trong tam giác. ra, rb, rc, r 13 là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác PBC, PCA, PAB,ABC . Chứng minh rằng: R 2 ≥ min {ra, rb, rc} Bài tập 86. Cho tam giác ABC . P là một điểm bất kì bên trong tam giác. A ′B ′C ′ là tam gcác Cevian của P . Chứng minh rằng: PA + PB + PC ≥ 2(PA′ + PB ′ + PC ′) Bài tập 87. Cho tam giác ABC . P là một điểm bất kì bên trong tam giác(P có thể di chuyển trên các cạnh). Timf giá trị lớn nhất của: T = PA3 + PB3 + PC3 Bài tập 88. Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O,R). Chứng minh rằng: 3R + OH ≥ HA+ HB + HC ≥ 3R− OH Bài tập 89. Cho tam giác ABC . AD,BE,CF là ba đường phân giác của tam giác. Kí hiệu s là nửa chu vi tam giác ABC . Chứng minh rằng: a. DE + EF + FD ≤ s b. DE + EF + FD ≤ s 2 √ 3 + 2r R ≤ s c. DE + EF + FD ≤ s ã 8abc (a+ b)(b + c)(c + a) ≤ s Bài tập 90. Cho tam giác ABC , một điểm M bất kì. Chứng minh rằng: a. cot A 2 ãMA + cot B 2 ãMB + cot C 2 ãMC ≥ a + b + c b. cos A 2 ãMA + cos B 2 ãMB + cos C 2 ãMC ≥ a+ b + c 14 Bài tập 91. Cho hai tam giác ABC và A′B ′C ′. M là điểm bất kì trên mặt phẳng. Chứmg minh rằng: cot A′ 2 ãMA + cot B ′ 2 ãMB + cot C ′ 2 ãMC ≥ a + b+ c Bài tập 92. Cho hai tam giác ABC . Ba đường trung tuyến tại A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại A′, B ′, C ′. Đặt Ma = AA′,Mb = BB ′,Mc = CC ′. Chứng minh rằng: Ma + Mb + Mc ≥ 2 3 (ma + mb + mc + la + lb + lc) Bài tập 93. Cho tam giác ABC và các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 4 √ 3S + 2 x + y + z ( x2 − yz x a2 + y2 − zx y b2 + z2 − yx z c2 ) Khi x = a, y = b, z = c ta được bất đẳng thức quen thuộc: a2 + b2 + c2 ≥ 4 √ 3S + (b− c)2 + (c− a)2 + (a− b)2 Bài tập 94.Cho tam giác ABC . A′, B ′, C ′ di chuyển trên các đường thẳng BC,CA,AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: a′b′ + b′c′ + c′a′ Trong đó a′, b′, c′ là độ dài ba cạnh của tam giác A′B ′C ′ Bài tập 95.Cho tam giác ABC . ra, rb, rc, R theo thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC đối diện đỉnh A,B,C , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng: max {ra, rb, rc} ≥ 3 2 R ≥ min{ra, rb, rc} Bài tập 96. Cho tam giác ABC và một điểm I nằm trong tam giác. Gọi Ra, Rb, Rc, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BIC,CIA,AIB,ABC. Chứng minh rằng: R ≥ min{Ra, Rb, Rc} Bài tập 97 Cho n tam giác {∆AiBiCi}ni=1 và Oi, Ii, Ri, ri là tâm đường tròn nội tiếp, 15 ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của các tam giác đó. Chứng minh rằng: O1I1.O2I2. ã ã ã .OnIn ≤ R1R2 ã ã ãRn − 2 √ R1R2 ã ã ãRnr1r1 ã ã ã rn Bài tập 98. Cho hai tam giác ABC,A′B ′C ′. G,G′, O,O′ theo thứ tự là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC,A′B ′C ′. Chứng minh rằng: RR′ − 1 9 (aa′ + bb′ + cc′) ≥ OG ãO′G′ ≥ 0 Bài tập 99.Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:√ 1 rra + 1 r2b + √ 1 rrb + 1 r2c + √ 1 rrc + 1 r2a ≥ 2 r Bài tập 100. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: sin3 A + sin3 B + sin3 C ≤ 9 √ 3 8 Bài tập 101. Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng: √ a+ √ b + √ c ≥ 3 8 √ 16S2 3 Bài tập 102. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I . Chứng minh rằng: max{IA, IB, IC} ≥ min{GA,GB,GC} Bài tập 103. Cho tam giác ABC , R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA3 + MB3 + MC3 ≥ 12Rr2 Bài tập 104. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I, r). Chứng minh rằng: IA.IB + IB.IC + IC.IA≥ 12r2 16 Bài tập 105. Cho tam giác ABC có diện tích S và nội tiếp đường tròn (O,R). M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: a2MA2 + b2MB2 + c2MC2 ≥ 4 √ 3S(R2 − OM2) Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều và M ≡ O Với M ≡ O ta có bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ 4 √ 3S Với M ≡ I ta có bất đẳng thức: cos2 A 2 + cos2 B 2 + cos2 C 2 ≥ √ 3 2 (sinA+ sinB + sinC) Bài tập 106. Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên mặt phẳng, ta có: cos A 2 ãMA2 + cos B 2 ãMB2 + cos C 2 ãMC2 ≥ 2S cos B 2 ãMA2 + cos C 2 ãMB2 + cos A 2 ãMC2 ≥ 2S cos A 2 ãMA + cos B 2 ãMB + cos C 2 ãMC ≥ 2S R Bài tập 107. Cho tam giác ABC có diện tích S, M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: a2 b ãMA + c 2 b ãMB + a 2 c ãMC ≥ 4S Bài tập 108. Cho tam giác ABC có diện tích S, M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: (MA + MB + MC) ( a2 ã MB MC + b2 ã MC MA + c2 ã MA MB ) ≥ 4S(a + b + c) Bài tập 109. Cho tam giác nhọn ABC diện tích S. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: c cosB ãMA + a cosC ãMB + b cosA ãMC ≥ 8S 17 Bài tập 110. Cho tam giác ABC có diện tích S, bán kính đường tròn ngoại tiếp R. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: R ( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ) MA ãMB ãMC ≥ (R2 −OM2) Bài tập 111. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm bất kì trên mặt phẳng. Qua M vẽ đường thẳng da‖GA, da ∩AB,AC = A1, A2. Tương tự với B1, B2, C1, C2. Chứng minh rằng: AA1 + AA2 + BB1 + BB2 + CC1 + CC2 ≥ 3MG Bài tập 112. Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: a ãMA + b ãMB + c ãMC ≥ 4S Khi M ≡ H, ta có bất đẳng thức: ma ha + mb hb + mc hc ≥ 3 Bài tập 113. Cho tam giác ABC . Một điểm M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA a + MB b + MC c ≥ 2min{sinA, sinB, sinC} Bài tập 114. Cho tam giác ABC . Một điểm M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: sin C 2 cos B 2 MA + sin A 2 cos C 2 MB + sin B 2 cos A 2 MC ≥ min{a, b, c} Bài tập 115. Cho tam giác ABC . Một điểm M bất kì. Chứng minh rằng: cot A 2 ãMA + cot B 2 ãMB + cot C 2 ãMC ≥ a + b + c Bài tập 116. Cho tam giác ABC . Một điểm M nằm bên trong tam giác. da, db, dc là khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: MB ãMC MA ã da + MC ãMA MB ã db + MA ãMB MC ã dc ≥ 2 18 Bài tập 117. Cho tam giác ABC . O, I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: OI√ 2 ≥ (s− a) sin |B −C| 2 + (s− b) sin |C − A| 2 + (s− c) sin A− B| 2 Trong đó s là nửa chu vi tam giác ABC Bài tập 118. Cho tam giác ABC . Một điểm M nằm bên trong tam giác. Chhứng minh rằng: MB ãMC a + MC ãMA b + MA ãMB c ≥ √ 3(R2 −OM2) R Bài tập 119. Cho tam giác ABC . Với mọi điểm M , chứng minh rằng: (MB ãMC + MC ãMA + MA ãMB) ( a MA + b MB + c MC ) ≥ 12S Bài tập 120. Cho tam giác ABC . Với mọi điểm M , chứng minh rằng: (MB ãMC + MC ãMA + MA ãMB)2 > r (a2MA + b2MB + c2MC) Bài tập 121. Cho tam giác ABC có điểm Fermat F và trọng tâm G. Với mọi điểm M trên mặt phẳng, chứng minh rằng: MA3 + MB3 + MC3 ≥ ( MG2 + a2 + b2 + c2 9 ) (FA+ FB + FC) Bài tập 122. Cho tam giác ABC . Một điểm M nằm bên trong tam giác. da, db, dc là khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: sin A 2 ãMA + sin B 2 ãMB + sin C 2 ãMC ≥ da + db + dc Bài tập 123. Cho tam giác ABC . O, I là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: 3OI ≥ √ S (∣∣∣∣b− ca ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣c − ab ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣a− bc ∣∣∣∣ ) 19 Bài tập 124. Cho tam giác ABC , trọng tâm G. Đặt B̂GC = α, ĈGA = β, ÂGB = γ. Chứng minh rằng: ma + mb + mc ≤ a ã sin α 2 + b ã sin β 2 + c ã sin γ 2 Bài tập 125. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến AA ′, BB ′, CC ′. M là một điểm nằm trong tam giác A′B ′C ′. Chứng minh rằng: MA + MB + MC ≥ max {a + ma, b + mb, c + mc} Bài tập 126. Cho tam giác ABC . M là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: a ãMA + b ãMB + c ãMC ≤ 2max{bc, ca, ab} Bài tập 127. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và bán kính đường tròn ngoại tiếp R. Chứng minh rằng: IAa + IBb + ICc ≤ 3Ra+b+c3 Bài tập 128. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R); H là trực tâm tam giác. Chứng minh rằng: OH ≤ HA + HB + HC − 3R < 3R Bài tập 129. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R); H, I là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: IA3 + IB3 + IC3 + 2R.OH2 ≥ 3R3 Bài tập 130. Cho tam giác ABC , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: IB + IB + IC ≥ 3r + IA 2 + IB2 + IC2 2R Bài tập 131. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) cùng trọng tâm G. Chứng minh rằng: OG 2 + R ≥ GA + GB + GC 3 20 Bài tập 132. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I, r). A′B ′C ′ là tam giác Pedal của I . Chứng minh rằng: OA′ + OB ′ + OC ′ ≥ 3(r − OI) Bài tập 133. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) và có tâm đường tròn ngoại tiếp I . Chứng minh rằng: R + OI ≥ IA+ IB + IC 3 ≥ R − OI 21