Bài giảng Ba đường cônic

Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 1 Ba đường cônic Lý thuyết I.Elíp 1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a>c. Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF 1+MF2= 2a. (E) = { M: MF1+MF2= 2a} Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E). 2)Phương trình chính tắc của elip: (E): 12 2 2 2  b y a x ( với b2 = a2- c2 ) 3)Hình dạng và tính chất của (E): *Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0) Tiêu điểm phải F2( c; 0) *Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b) *Trục lớn : A1A2= 2a, nằm trên trục Ox Trục nhỏ :B1B2= 2b, nằm trên trục Oy *Tâm sai : e = a c <1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x M; yM) thuộc (E) là: Bán kính qua tiêu điểm trái: MF 1= a + e.xM= a+ a c xM Bán kính qua tiêu điểm phải: MF 2= a - e.xM= a- a c xM *Đường chuẩn: x = e a *Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x =  a; y =  b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b) *Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O 4)Tiếp tuyến của elip Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d) .Đường thẳ ng (d) gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H) Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc: Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 2 (E): 12 2 2 2  b y a x với b2 = a2- c2 Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2  0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi : A2a2+B2b2=C2 ( gọi là điều kiện tiếp xúc) Chứng minh: Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất      0 12 2 2 2 CByAx b y a x               0 1 22 C b yBb a xAa b y a x (I) Đặt X= a x , Y= b y ta có hệ:           0 122 CYBbXAa YX (II) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất  Đường thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1  Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1  1 2222  bBaA C  A2a2+B2b2=C2 Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc: (E): 12 2 2 2  b y a x với b2 = a2- c2 Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phương trình là (d): 1.. 22  b yy a xx MM Chứng minh Do M thuộc (E) nên có : 12 2 2 2  b y a x MM Hiển nhiên M thuộc (d) Ta có (d): 1.. 22  b yy a xx MM  01.. 22  b yy a xx MM Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 3 Theo điều kiện của định lý có : 2 2 2 2 2 2 bb y a a x MM      = 12 2 2 2  b y a x MM Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M II.Hypebol 1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1-MF2 = 2a. (H) = { M:  MF1-MF2 = 2a} Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E). 2.Phương trình chính tắc của hypebol: (H): 12 2 2 2  b y a x ( với b2 = c2- a2 ) 3.Hình dạng và tính chất của (H): *Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0) Tiêu điểm phải F2( c; 0) *Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0) *Trục thực: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy *Tâm sai : e = a c >1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x M; yM) thuộc (E) là: Bán kính qua tiêu điểm trái: MF 1= a + e.xM = a+ a c xM Bán kính qua tiêu điểm phải: MF 2= a - e.xM = a- a c xM *Đường chuẩn: x = e a *Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x=  a; y =  b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b) *Phương trình các đường tiệm cận: y = a b x * Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O 4.Tiếp tuyến của hypebol Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 4 của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một điểm chung duy nhất với (H) Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: (H): 12 2 2 2  b y a x với b2 = c2- a2 Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2+B2  0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi : A2a2-B2b2=C20 ( gọi là điều kiện tiếp xúc) Chứng minh: Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là: y= x a b  bx  ay= 0 Điều kiện để (d) không song song với hai đườn g tiệm cận là: b B a A   A2b2- B2b2 0 Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A2b2- B2b2 0 (*)và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: (I)      0 12 2 2 2 CByAx b y a x           0 1 22 CByAx b y a x           0 1 22 x C x ByA bx ay x a               0 1 22 A bx ay a Bb x a a C bx ay x a Đặt X= x a , Y= bx ay ta có hệ:             0 122 AY a BbX a C YX (II) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất  Đường thẳng (d’): a C X+ a Bb Y+A=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X 2+Y2=1  Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1 Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 5  1 2 22 2 2   a bB a C A  A2a2-B2b2=C2 Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi A2a2-B2b2=C20 Hệ quả: Cho (H) có phương trình chính tắc: (H): 12 2 2 2  b y a x với b2 = a2- c2 Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình là (d): 1.. 22  b yy a xx MM Chứng minh Do M thuộc (H) nên có : 12 2 2 2  b y a x MM Hiển nhiên M thuộc (d) Ta có (d): 1.. 22  b yy a xx MM  01.. 22  b yy a xx MM Theo điều kiện của định lý có : 2 2 2 2 2 2 bb y a a x MM      = 12 2 2 2  b y a x MM Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M III. Parabol 1. Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không đi qua F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng . (P) = { M: MF= d(M; )} Ta gọi : F là tiêu điểm của (P). Đường thẳng  là đường chuẩn của  p= d(F; ) là tham số tiêu 2.Phương trình chính tắc của parabol: (P): y2= 2px 3.Hình dạng và tính chất của (E): *Tiêu điểm: Tiêu điểm F( 2 p ; 0) Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 6 *Phương trình đường chuẩn : x = - 2 p *Đỉnh : O(0; 0) *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x M; yM) thuộc (P) là: MF = d(M; ) = xM+ 2 p *Trục đối xứng: Ox 4.Tiếp tuyến của parabol Định nghĩa: Cho parabol (p) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P) Định lý:Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: (P): y2= 2px Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2+B2  0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi : pB2=2AC ( gọi là điều kiện tiếp xúc) Chứng minh: Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhưng không là tiếp tuyến của (P) Để (d) không song song với trục 0x thì A 0 Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất (I)     0 22 CByAx pxy          A CBy x A CBypy )1(22 ( Do A 0) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất  y2 +2p A B y + 2p A C = 0 có nghiệm duy nhất  ’= A pC A Bp 2 2    =0  pB2=2AC ( thỏa mãn A0) (đpcm) Hệ quả: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: (P): y2= 2px Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phương trình là (d):y.yM= p(x+xM) Chứng minh Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 7 Vì M thuộc (P) nên IV.Ba đường cônic 1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đường thẳng  cố định không đi qua F và một số dương e. Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho e Md MF );( . (C)=      eMd MFM );(: Ta gọi: F là tiêu điểm  là đường chuẩn e là tâm sai 2.Nhận xét *Cho elip (E) có phương trình chính tắc: (E): 12 2 2 2  b y a x với b2 = a2- c2 Tâm sai e= a c <1 Đường chuẩn: 1: x = - e a ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0) 2: x = e a ứng với tiêu điểm phải F 2( c; 0) Với mọi điểm M thuộc (E) thì: );( 1 1 Md MF = );( 2 2 Md MF = e Vậy đường (E) là đường cônic với e< 1. *Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: (H): 12 2 2 2  b y a x với b2 = c2- a2 Tâm sai e= a c >1 Đường chuẩn: 1: x = - e a ứng với tiêu điểm trái F 1(- c; 0) 2: x = e a ứng với tiêu điểm phải F 2( c; 0) Với mọi điểm M thuộc (H) thì: );( 1 1 Md MF = );( 2 2 Md MF = e Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 8 Vậy đường (H) là đường cônic với e> 1. *Cho parabol (P): y2= 2px Tiêu điểm F( 2 p ; 0) Phương trình đường chuẩn : x = - 2 p Với mọi điểm M thuộc (P) thì: );( Md MF = 1 Vậy đường (P) là đường cônic với e=1. Một số dạng bài tập Dạng 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phương trình chính tắc của chúng. Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E) ,(H),(P). Ví dụ 1. Cho elip (E) có phương trình 1 14 22  yx Tìm tiêu điểm , tâm sai, đường chuẩn của (E) Giải Từ phương trình của (E)  a2= 4, b2=1c2=a2-b2=3. Vậy a = 2, b = 1, c = 3 Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F 1(- 3 ; 0), F2( 3 ; 0) Tâm sai của (E) là e= 2 3 a c Đường chuẩn của (E) là x= 3 4 Ví dụ 2. Cho hypebol (H) có phương trình 1 54 22  yx Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đường tiệm cận của (H) Giải Từ phương trình chính tắc của (H) a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9. Vậy a = 2, b = 5 , c = 3 Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0) Tâm sai của (H) là e= 2 3 a c Đường tiệm cận của (H) là y= 2 5 x Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 9 Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phương trình y 2= 4x Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của (P). Giải Từ phương trình của (P)2p= 4p = 2 Ta có : Tiêu điểm của (P) là F(1; 0) Đường chuẩn của (P) là x = - 1 Dạng 2. Lập phương trình chính tắc của (E),(H),(P). Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số a, b,p trong các phương trình đó. Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10. Giải Gọi phương trình chính tắc của (E) là: 12 2 2 2  b y a x với b2=a2- c2 Phương trình đường chuẩn là: x = e a  Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là c a e a 222  = 10  a2= 5c  a4=25 c2a4=25(a2-b2)  b2=a2- 25 4a (*) Do (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) nên: 145 22  ba  1 25 45 4 2 2    a a a 5(1- 25 2a )+4= a2- 25 4a  a4- 30a2+225 = 0 (a2- 15)2= 0 a2= 15 Thay vào (*) thì b2= 6 Vậy phương trình của (E) là: 1 615 22  yx Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 0. Giải Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 10 Gọi phương trình chính tắc của (H) là: 12 2 2 2  b y a x với b2=c2- a2 Vì M (H) nên 114 22  ba (*) Phương trình hai đường tiệm cận là: 1: y = a b x bx- ay = 0 2: y = - a b x bx+ ay = 0 Góc giữa hai đường tiệm cận là: cos(1;2) = 22 22 ab ab    cos600 = 22 22 ab ab    2 1 = 22 22 ab ab    2 22 ab  = b2+a2      )()(2 )(2 2222 2222 abab abab      22 22 3 3 ba ab Với b2= 3a2 thay vào (*) được a2= 3 11 ; b2= 11  Pt (H): 1 11 3 11 22  yx Với a2=3b2 thay vào (*) được a2= 1; b2= 3 1  Pt (H): 1 3 11 22  yx Ví dụ 6. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip. Giải Ta có elip (E): 1 925 22  yx có a2 = 25, b2= 9 c2= a2-b2=16 c = 4.  Tiêu điểm của (E) là F1(-4; 0), F2(4; 0) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: 12 2 2 2  b y a x với b2= c2- a2. Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4 Do (H) có tâm sai e = a c = 2 c = 2a a = 2 Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 11  b2= c2- a2= 12 Vậy phương trình của (H) là : 1 124 22  yx Ví dụ 7.Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0) Giải Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y 2= 2px Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên 2 p = 5 p = 10 Vậy phương trình của (P) : y 2= 20x Ví dụ 8.Viết phương trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x+ y - 5 = 0 d2: x- 4y - 10 = 0 Giải Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): 12 2 2 2  b y a x với b2= a2 - c2 Do (E) tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 và d2 nên theo điều kiện tiếp xúc có     10016 25 22 22 ba ba      5 20 2 2 b a Vậy phương trình của (E): 1 520 22  yx Ví dụ 9. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F đến đường thẳng x + y- 12 = 0 là 2 2 Giải Gọi phương trình chính tắc của (P) : y 2= 2px Tọa độ tiêu điểm F( 2 p ;0) Theo đầu bài , khoảng cách từ F đến đường thẳng : x +y – 12 = 0 bằng 2 2 nên: d(F; )= 2 12 2 p =2 2  p= 16 hoặc p = 32. Vậy phương trình của (P): y2= 32x hoặc y2= 64x Dạng 3. Lập phương trình tiếp tuyến của các đường cônic Ví dụ 10.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với hypebol (H) : 1 41 22  yx . Tìm tọa độ tiếp điểm. Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 12 Giải Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm của (d). Khi đó đường thẳng d có phương trình dạng: (d): x0.x- 4 .0 yy = 1 Vì (d) đi qua A(1; 4) nên: x o - yo = 1 (1) Mặt khác M thuộc (H) nên: 1 41 2 0 2 0  yx (2) Từ (1) và (2) suy ra     0 1 0 0 y x hoặc      3 8 3 5 0 0 y x M ( 1;0) hoặc M( - 3 5 ; - 3 8 ) Tiếp tuyến của (H) là: x = 1 x - 1 = 0 hoặc - 3 5 x + 3 2 y = 1 5x -2y + 3 = 0 Ví dụ 11.Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường elip: 1 45 22  yx và 1 54 22  yx Giải Gọi tiếp tuyến chung của hai elip là (d): Ax+ By +C = 0 ( với A2+B20) Theo điều kiện tiếp xúc có :     222 222 54 45 CBA CBA      22 22 9BC BA Chọn A= 1      3 1 C B Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai elip là: (d): x  y  3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung) Dạng 4. Lập phương trình các đường cônic không ở dạng chính tắc Xác định các yếu tố của các đường cônic không ở dạng chính tắc Phương pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đưa về dạng chính tắc - Trong hệ tọa độ 0xy có I(x 0; y0) - Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI được hệ tọa độ IXY - Công thức đổi tọa độ là     0 0 yYy xXx ( Thật vậy, nếu lấy điểm M bất kỳ . Giả sử tọa độ M= (x; y) trong hệ Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 13 tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) trong hệ tọa độ IXY . Khi đó : OI = (x0; y0)= x0 i +y0 j OM = (x; y)= x i +y j IM = (X; Y)= X i +Y j Do IMOIOM  nên     0 0 yYy xXx ) * Sử dụng định nghĩa để lập phương trình các đường cônic Ví dụ 12.Cho đường cong (H) có phương trình x 2-4y2- 2x- 16y -19= 0. Chứng minh rằng (H) là một hypebol. Tìm tọa độ các tiêu đi ểm , các đỉnh , phương trình hai đường tiệm cận của hypebol (H). Giải Ta có (H) : x2-4y2- 2x- 16y -19= 0  (x-1)2- 4(y+2)2= 4      1 1 2 4 1 22  yx Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ OI với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY. Công thức đổi tọa độ :     2 1 Yy Xx Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phương trình: 1 14 22  YX a2=4, b2=1 nên c2=a2+b2=5a= 2, b = 1, c= 5 Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có: + Tọa độ tiêu điểm: F 1( - 5 ; 0), F2( 5 ;0) + Các đỉnh A1(- 2; 0), A2( 2; 0) + Phương trình hai đường t iệm cận: Y = 2 1 X Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có: + Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- 5 ; - 2), F2(1+ 5 ;- 2) + Các đỉnh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 ) + Phương trình hai đường tiệm cận: y = 2 1 (x-1)-2 Ví dụ 13. Viết phương trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4) Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 14 Giải Theo đầu bài thì phương trình đường chuẩn của (P) là: : x = 0 ( trục 0y) Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0) Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;)  (c-5)2+(-4)2= 52  c= 8 hoặc c = 2  Với c = 8 thì F(8;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)  MF= d(M, )  22)8( yx  = x (8-x)2 + y2 = x2  y2= 16x – 64 Vậy phương trình (P): y 2= 16x – 64  Với c = 2 thì F(2;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)  MF= d(M, )  22)2( yx  = x (2-x)2 + y2 = x2  y2= 4x – 4 Vậy phương trình (P): y 2= 4x – 4 Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (P) có phương trình 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0 Chứng minh rằng (P) là một parabol. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol đó. Giải Ta có M(x; y)(P)16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0 25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1 ( x-1)2 + (y+2)2 = 2 5 143     yx (*) Đặt F(1; -2) và đường thẳng : 3x- 4y + 1= 0. Khi đó (*) MF2= d2(M; )  MF = d(M; ) Vậy (P) là phương trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đường chuẩn Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 15 : 3x- 4y + 1= 0. Dạng 5. Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ 15. Cho elip (E) : 1 925 22  yx . Tìm trên (E) một điểm M sao cho MF 1=2MF2 Giải Ta có a2= 25 a= 5 b2= 9b= 3 c2= a2- b2 = 16 c =4 Giả sử M(x0; y0) (E) 1925 2 0 2 0  yx (*) Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : MF1= a + a c x0 =5 + 5 4 x0 MF2= a - a c x0 =5 - 5 4 x0 Để MF1= 2MF2 thì : 5 + 5 4 x0 = 2( 5- 5 4 x0)  5 12 x0= 5 x0 = 12 25 Thay vào (*) ta có : 1 9144 25 20  y  144 119 9 2 0 y  y0= 11912 3 Vậy tọa độ của M=     119 12 3 ; 12 25 Ví dụ 16. Cho hypebol (H): 1 39 22  yx a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ là 1 b)Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F 1MF2 bằng 900. c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F 1M= 2F2M. Giải Ta có : a2 = 9 a =3 b2= 3 b = 3 c2=a2+ b2= 12c= 12 a)Thay y = 1 vào phương trình của (H) được: Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 16 1 3 1 9 2 x  32 3 492  xx Vậy tọa độ của M là  1;32 b)Gọi tọa độ M= ( x0; y0) Do góc F1MF2 bằng 900  OM= OF1=OF2  cyx  2020  x02+ y02= 12 Do M thuộc (H) nên 1 39 2 0 2 0  yx  3x02- 9y02= 27 Ta có hệ      2793 12 2 0 2 0 2 0 2 0 yx yx       4 3 5 45 2 0 2 0 y x       2 3 2 53 0 0 y x Vậy tọa độ điểm M là:     2 3 ; 2 53 ;      2 3 ; 2 53 ;     2 3 ; 2 53 ;      2 3 ; 2 53 c)Vì MF1= 2MF2 nên F1M > F2MM thuộc nhánh phải và F1M- F2M = 2a = 6 Ta có     6 2 21 21 MFMF MFMF      6 12 2 1 MF MF Theo công thức bán kính qua tiêu điểm: MF1=  0x a c a a+ a c x0= 3+ 3 32 x0 = 12  x0= 2 39 Do M thuộc (H) nên thay x 0= 2 39 vào (H) ta được: 1 34 27 20  y  y02= 4 69y0= 2 69 Vậy tọa độ của M là :      2 69 ; 2 39 Ví dụ 17. Cho parabol (P): y2 = 4x. Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 17 a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4. b)Tìm trên (P) điểm M O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x. Giải a)Từ phương trình (P): y2 = 4x p = 2 Ta có : MF = xM+ 2 p = 4 xM +1 = 4 xM = 3 Thay vào (P)  yM2= 12 yM = Vậy tọa độ điểm M là: (3; 32 ). b)Gọi tọa độ M= (x ;y). Do M thuộc (P) nên : y2 = 4x x 0 Từ giả thiết M O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x ta có: 02  yx  x = 02 y Ta có hệ:     02 42 yx xy      8 16 y x Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8). Dạng 6.Chứng minh các tính chất của đường cônic Ví dụ 18. Cho hypebol (H): 12 2 2 2  b y a x với b2 = c2- a2 có các tiêu điểm F1, F2. Lấy M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận có giá trị không đổi. Giải Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là: 1: bx+ay = 0 2: bx - ay = 0 Đặt toạ độ M= (x0; y0) Khi đó : d1= d(M; 1)= 22 00 ba aybx   d2= d(M;2) = 22 00 ba aybx    d1.d2 = 22 00 ba aybx   . 22 00 ba aybx   = 22 2 0 22 0 2 ba yaxb   Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 18 Vì M thuọc (H) nên :  12 2 0 2 2 0 b y a x b2x02 - a2y02 = a2.b2 Vậy d1.d2 = 22 22 . ba ba  (Đpcm) Ví dụ 19. Cho parabol (P): y2 = 4x.Đường thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 cắt (P) tại M và N. a.Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị không đổi. b.Tìm k sao cho FM = 4.FN. Giải Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 nên có phương trình: d: y = k( x - 1) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: [k(x - 1)]2 = 4x k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = 0 (*) '= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 k  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phương trình (*) Theo định lý Viet có: xM + xN = 2 2 )2(2 k k  (1) xM.xN = 1 (2) Ta có : d1 = d(M; 0x) = My = Mx4 d2 = d(M; 0x) = Ny = Nx4  d1.d2 = NM xx16 = 4 không đổi. b) Từ phương trình (P)  Tham số tiêu p =p Theo công thức bán kính qua tiêu điểm: MF = 1 + xM NF = 1 + xN Để MF = 4NF thì 1+ xM = 4( 1 + xN)  xM - 4xN = 3 ( 3) Từ (2) và (3) xM = 4; xN = 1/4 Thay vào (1) k = 4 3 Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 19 Bài tập đề nghị Bài 1. Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - 4 = 0 a) Xác định toạ độ tiêu điểm của (H) b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F 1; F2 của (H) dưới mộtgóc vuông HD: b) - Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2 - Ta có M  (C) (H) ĐS: a) F1( - 5 ; 0); F2( 5 ; 0) b) M     5 4 ; 5 3 Bài 2.Cho hypebol (H): 1 54 22  yx và : x - y + m = 0 a) Chứng minh rằng : Đường thẳng  luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác của (H) . ( xM < xN) b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H) HD: a) - Lập phương trình hoành độ giao điểm của  và (H) - Chừng minh phương trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu b) - Tìm toạ độ xM , xN - Dùng công thức bán kính qua tiêu điểm Bài 3. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp dưới đây: a) (E) có một tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12) b)(E) đi qua điểm M( 1; 2 15 ) và có tiêu cự 4 3 c)(E) đi qua hai điểm M( 3; 5 4 ), N (- 4; 5 3 ) d)(E) đi qua M( 1; 2 3 ) và tâm sai e = 2 3 ĐS: a) 1 147196 22  yx b) 1 416 22  yx c) 1 25 2 2  yx d) 1 4 2 2  yx Bài 4.Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thường hợp sau: a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12) b)(H) đi qua điểm A( 4 2 ; 5) và có đường tiệm cận y = 4 5x c)(H) có tiêu cự bằng 2 5 và có tiệm cận xiên y = 2x Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 20 d)(H) đi qua A( 1; 0) và B( 3 ; 1) ĐS: a) 1 48 2 2  yx b) 1 2516 22  yx c) 1 4 2 2  yx d) 1 2 11 22  yx Bài 5. Viết phương trình của parabol (P) trong mỗi trương hợp dưới đây a)(P) có đường chuẩn là : x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2) b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1) c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1) ; B(1; 2) HD:a) M(x; y)  (P) d(M; ) = MF Phương trình của (P) b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0) - Ta có d(A; 0x) = AF suy ra a - Lập phương trình theo phần a) c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0) - Đường chuẩn   0x nên : x = b - Từ     BFBd AFAd ),( ),( suy ra a và b - Lập phương trình (P) như phần a) ĐS: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0 b) y2 - 2(3  2 2 )x + (3  2 2 )2 = 0 c) y2= - x + 5 Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua (12; -3) và tiếp xúc với elip 1 1832 22  yx ĐS: 3x + 4y - 24 = 0 và 3x - 28y -120 = 0 Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol (H) : 1 4 2 2  yx vẽ từ điểm (1; 4) ĐS: x - 1 = 0 và 5x - 2y + 3 = 0 Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) : y2 = 4x đi qua điểm (- 1; 3 8 ) ĐS: x - 3y + 9 = 0 và 9x + 3y + 1 = 0 Bài 9. Cho hypebol (H) 12 2 2 2  b y a x a)Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đường tiệm cận c)Chứng minh rằng : Chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó. Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 21 HD: a) - Lập phương trình hai đường chuẩn và hai đường tiệm cận - Xác định toạ độ các giao điểm - Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn (do tình đối xứng nên hai đoạn là bằng nhau) b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến một đường chuẩn bất kỳ c) - Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ F2 đến đường tiệm cận d: bx + ay = 0 - Do I thuộc d nên toạ độ I( x 0; - a b x0) - Từ duIF 2 suy ra toạ độ I - Kiểm tra I thuộc đường chuẩn ứng với tiêu điểm F 2 ĐS: a) 2a b) b Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) : 1 14 22  yx và C( 2; 0). Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều. HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy ra toạ độ B(x0; - y0) - Từ     ACAB EBA )(, suy ra toạ độ a, b. ĐS: A( 7 34 ; 7 2 ) , B( 7 34 ; 7 2  ) hoặc A( 7 34 ; 7 2  ), B( 7 34 ; 7 2 ) Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phương trình của hypebol (H): 1 49 22  yx biết tiếp tuyến đó đi qua A( 3; 1) ĐS: x - 3 = 0 và 5x - 6y - 9 = 0 Bài 12. (CĐ Sư phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144. Lập phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4; 2 3 ) . ĐS: x - 4 = 0 và 9x +16 y - 60 = 0 Bài 13. a) Viết phương trình elip (E) biết hai tiêu điểm là F 1(- 10 ; 0) , F2( 10 ; 0) và độ dài trục lớn là 2 18 . b)Đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B . Tìm toạ độ M sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0) - Lập phương trình tiếp tuyến tại M Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 22 - Xác định toạ độ A, B theo x 0, y0. - Tính diện tích tam giác OAB theo x 0, y0. - Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của SOAB ĐS: a) 1 818 22  yx b)Min S= 12 khi M( 2;3  ) Bài 14.(Cao đẳng tài chính kế toán 2006).Cho elip (E): 1 48 22  yx với các tiêu điểm F1; F2. Tìm M thuộc (E) sao cho MF 1 - MF2 = 2 HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm ĐS: M( 3;2  ) Bài 15. a) Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) với tổng hai bán trục bằng 7 và phương trình hai đường tiệm cận là y = 4 3 x b)Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d:5x -4y +10 =0. ĐS:a) 1 916 22  yx b)5x - 4y  16 = 0 Bài 16. (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x 2- y2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua A( 4; 6) và có tiêu điểm trùn g với tiêu điểm của hypebol đã cho . ĐS: 1 4864 22  yx Bài 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64 a) Xác định các tiêu điểm F1, F2 , tâm sai và vẽ elip b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) . Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm M tới tiêu điểm phải F2 và tới đường thẳng x = 3 8 có giá trị không đổi. HD: b)- Lấy bất kì M(x0; y0) thuộc (E) - Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF 2 - Tính d(M; ) với : x = 3 8 - Lập tỷ số ),( 2 Md MF ĐS: a) F1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0) Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 23 b) 2 3 ),( 2 Md MF Bài 18.Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e = 2 5 và tiếp xúc với đường tròn tâm I( 0; 4) bán kính 2 5 21 . HD: - Lập phương trình tổng quát của (H) : 12 2 2 2  b y a x - Lập phương trình đường tròn (C) - Lập phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (C). -Từ điều kiện e = 2 5 và phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép suy ra a , b. ĐS: 1 4 2 2  yx Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tâm sai e = 3 5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 2 0. HD : Từ      20)(2 3 5 ba e suy ra a, b. ĐS: 1 1636 22  yx Bài 20.Cho elip (E) : 12 2 2 2  b y a x (a>b>0) a) Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ thuộc (E) thì ta có b ax  b) Giả sử đường thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A. Tính OA theo a, b, k. c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA OB. Chứng minh rằng : 22 11 OBOA  có giá trị không đổi. HD: a) - Đặt toạ độ M( x0; y0) - Từ điều kiện 12 2 0 2 2 0  b y a x và a>b> 0 suy GTLN, GTNN của OM 2 = x02+y02 b) - Đặt toạ độ A(x0; y0) Ba đường cônic Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy 24 - Từ A = (d) (E) suy ra toạ độ A - Tính OA c) áp dụng phần b) ĐS: b) OA = 222 21 akb kab   *** Hết ***