Bài giảng 2: Phương trình nghiệm phức (phần 4)

BÀI GIẢNG 2: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC (phần 4) Cũng tương tự như việc giải các hệ phương trình đại số trong tập số thực. Các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình trên tập số phức là phương pháp biến đổi tương đương; phương pháp cộng; phương pháp thế. Ngoài ra ta dựa vào tính chất của số phức ta có thể ứng dụng giải hệ phương trình đại số trong tập số thực như ví dụ 3 và ví dụ 4 dưới đây. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: 1 2 2 2 1 2 4 5 2 z z i z z i Giải Ta có: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 5 2 z z z z z z i . Vậy ta có hệ phương trình đã cho tương đương với 1 2 1 2 4 . 5 5 . z z i z z i Theo định lý Vi-ét 1 2;z z là các nghiệm của phương trình sau: 2 4 5 5 0t i t i Phương trình trên có 2 nghiệm là 1 23 ; 1 2t i t i . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 1 2 1 2 3 ; 1 2 1 2 ; 3 z i z i z i z i Ví dụ 2. Giải hệ phương trình    3 3 w 3 1 w 9 1 . z i z i        Giải Ta có:                 33 3 3 3 w w 3 w 9 1 27 1 3 .3 1 w 1 3 1 1 5 5 w 5 z z zw z i i zw i z i i i i z i                         Vậy hệ đã cho tương đương với  w 3 1 w 5 . z i z i      Theo định lý Vi-ét thì z; w là các nghiệm của phương trình   12 2 2 3 1 5 0 1 2 t i t i y i t i           Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là 2 ;w 1 2 1 2 ;w 2 . z i i z i i          Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 3 2 3 2 3 1 3 3. x xy y x y         Giải Xét số phức    3 3 2 2 3, 3 3 1 3 2 2 2 os isin 3 3 z x iy x y R z x xy i x y y i c                     Ta tìm được 3 giá trị của z là : 3 3 32 2 4 4 8 82 os isin ; 2 os isin ; 2 os isin 9 9 9 9 9 9 c c c                          Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là : 3 3 3 3 32 2 4 4 8 82 os 2 sin ; 2 os 2 sin ; os 2 sin 9 9 9 9 9 9 c c c                          Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 16 11 7 11 16 1. x y x x y x y y x y            Giải Điều kiện 2 2 0x y  Đặt   2 2 1 , . x iy z x yi x y R z x y        Từ hệ phương trình ta có 2 2 2 2 16 11 16 11 7 x y x y x iy i i x y x y            2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 11 16 11 7 16 11 7 16 11 7 7 16 11 0 2 3 . 5 2 x y x y x iy i i x y x y x iy x iy x iy i i x y x y i z i z z i z i z i z i                                     Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5, 2). Bài tập vận dụng Bài 1. Giải hệ phương trình sau: 1 2 1 2 1 2 2 3 z z z z       Đáp số: ( 3 3 ; 4 2 i i  ) và ( 3 3 ; 4 2 i i  ) Bài 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y x y y x y           ( , ) Đáp số: 2 1 1 1x y  ( , ) ( , );( , ) . Bài 3. Giải hệ phương trình: 2 2 w w 8 w 1 z z z        Đáp số: 5 3 3 5 3 3 3 29 3 29 ( ;w) ; ; ( ;w) ; 2 2 2 2 i i z z                    Bài 4. Tìm tất cả các số phức sao cho mỗi số liên hợp với lập phương của nó. Đáp số: Có 5 số phức 0; 1; . z z z i    