Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức

BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biờn soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . Cỏch 1.(Dựng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta cú y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 8≥ .Rx∈∀ Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cỏch 2.(Dựng điều kiện phương trỡnh cú nghiệm)(PT). Gọi y là giỏ trị hàm số nờn phương trỡnh y = 2x2 – 4x + 10 cú nghiệm ( ẩn là x) Phương trỡnh tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 cú nghiệm khi và chỉ khi 8022040 ≥⇔≥+−⇔≥Δ yy . Đẳng thức xảy ra khi phương trỡnh cú nghiệm kộp x = 1. Do đú GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cỏch 3 .(Dựng phương phỏp đạo hàm)( ĐH). Xột hàm số y = 2x2 – 4x + 10 cú đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 1=⇔ x . Ta cú bảng biến thiờn : x 1 y’ - 0 + y -∞ +∞ 8 Dựa vào bảng biến thiờn ta cú GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . Nội dung bài viết này chỉ nờu lờn ba phương phỏp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đú. Tuỳ theo bài toỏn cụ thể mà ta cú thể sử dụng một trong ba phương phỏp trờn một cỏch tối ưu hơn.( Đụi lỳc cú nhiều bài sử dụng vectơ, phương phỏp tọa độ, lượng giỏc húa…) Lưu ý: Khi tỡm giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất ta luụn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đỏnh giỏ khụng đỳng cho một bất đẳng thức. Vớ dụ trờn, nếu khụng thận trọng ta núi : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 … thỡ hỏng rồi! 0≥ BÀI TẬP MINH HOẠ. Vớ dụ 1.Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất : xxS cossin += . HD.cỏch 1.( BDT). Ta cú ≤+= xx 22 cossin1 1mincossin =⇒=+ SSxx . 2222) 4 sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxS π . Cỏch 2.( ĐH) 2sin cos s inx cos 2 s inx.cosS x x S x= + ⇒ = + + x . Đặt t = sinx + cosx. Dựng phương phỏp đạo hàm để giải Vớ dụ 2.Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất 4sincos2 3sin2cos +− ++= xx xxS trong khoảng ( );π π− . HD.cỏch 1.(PT). Để tồn tại giỏ trị S thỡ phương trỡnh 4sincos2 3sin2cos +− ++= xx xxS phải cú nghiệm xSxSS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔ cú nghiệm 2 11 2)34()21()2( 222 ≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS . Cỏch 2.( ĐH). Đặt 2 2 2 1 1cos; 1 2sin 2 t tx t txxtgt + −=+=⇒= .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn t.Dựng phương phỏp đạo hàm hoặc điều kiện phương trỡnh bậc hai cú nghiệm ,suy ra kết quả. Vớ dụ 3. Tỡm gớỏ trị lớn nhất của biểu thức : 22 2.2 xxxxf −+−+= . HD.cỏch 1(ĐH).Dựng đạo hàm trực tiếp ,chỳ ý hàm số liờn tục trong đoạn [ ]2;2− . Cỏch 2.Đặt tkieọnủieàuxxt ⇒−+= 22 .Dựng phương phỏp đạo hàm, hoặc PT Cỏch 3.( Vevtơ). Đặt );2;1(),2;1;( 22 xxvxxu −=−= 22 2.2. xxxxvu −+−+=⇒ và 33.3..)2(1.)2(1. 2222 ==+−+−++= xxxxvu Ta cú : vuvu .. ≤ 32.2 22 ≤−+−+⇔ xxxx . Đẳng thức xảy ra khi 1 2 21 2 2 =⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =− −= = x kxx xk kx . Vớ dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa món điều kiện: 24.)1.( xyyx −=− . Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của tỉ số y x . HD.Điều kiện .Để tồn tại giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của 22 ≤≤− x y x thỡ 0;0 ≠≠ yx Biến đổi ( )22 44.)1.( xx y xxyyx −+=⇔−=− Đặt h y x = . )0( ≠h .Biểu thức viết lại : 24 xxh −+= là một hàm số liờn tục trong đoạn [ ]2;2− . Vớ dụ 5.Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 22 22 yxyx yxyxS ++ +−= ( )Ryx ∈, . HD. Lớ luận 0≠x chia tử và mẫu cho x2 .Đặt x yt = .Khảo sỏt hàm số S ẩn t,hoặc đkpt. Vớ dụ 6. Cho cỏc số thực x,y thoả món điều kiện: x2 + y2 = 1 . Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 322 124 2 2 +− −+= yxy xyxS . HD.Cỏch 1.Thế điều kiện x2 + y2 = 1 vào S giải như bài trờn. Cỏch 2.Đặt αα cossin =⇒= yx . Đưa hàm số S= )2cos,2(sin ααS .Dựng đkpt. Vớ dụ 7.Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa món điều kiện : x0≠ 2 + y2 = 2x2y + y2x . Tớnh giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức yx S 12 += . HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sỏt hàm số S ẩn t . Vớ dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1. Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : . 11 y y x xf −+−= HD.Đặt ,αα 22 cossin =⇒= yx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈ 2 ;0 πα . Vớ dụ 9.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : 2 sin)( 2xxexf x +−= . HD.Dựng phương phỏp đạo hàm. Vớ dụ 10.(1993 bảng A) .Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số )20092007()( 2xxxf −+= trong miền xỏc định của nú. Lời giải :Miền xỏc định của hàm số [ ]2009;2009−=D .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nờn ta xột hàm số trong [ ]2009;0'=D .Áp dụng bất đẳng thức BCS ta cú 222 20092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+= 2008.2008 2 20092007.2008 22 =−++≤ xx . Vậy GTLN = 2008.2008 khi và chỉ khi 2008=x GTNN= 2008.2008− khi và chỉ khi 2008−=x . Vớ dụ 10.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin2A + sin2B – sin2C trong đú A,B,C là ba gúc của một tam giỏc . HD.(BĐT). Đưa về tổng bỡnh phương . Hoặc đưa về một biến x = sin 2 C . Dựng phương phỏp ĐH để giải. Vớ dụ 11.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 222 CBA S ++= . Vớ dụ 12. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 3 cos 3 cos 3 cos πππ CBAS . HD.Chỳ ý .Dựng phương phỏp giải như bỏo Toỏn học ,Tuổi trẻ (thỏng 3-20007). Giải bài 12.Cỏch 1.Giả sử { }CBAMaxA ;;= 0 32 cos 3 <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⇒≥⇒ ππ BAA ,ta cú: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 32 cos2 2 cos 32 cos2 3 cos 3 cos ππππ BABABABA .(1) Cú dạng ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≥+ 2 2)()( BAfBfAf . Tương tự ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 32 3cos2 33 cos 3 cos π π πππ CC (2). Cộng (1) và (2) ta cú : 3 2cos4 33 cos 3 cos 3 cos 3 cos ππππππ ≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + CBA 2 3 3 2cos3 3 cos 3 cos 3 cos −=≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ππππ CBAS . Cỏch 2.Giả sử { }CBAMaxA ;;= 0 32 cos 3 <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⇒≥⇒ ππ BAA ,ta cú: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 32 cos2 2 cos 32 cos2 3 cos 3 cos ππππ BABABABA . Cú dạng ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≥+ 2 2)()( BAfBfAf . ⇒ 2 3 3 2cos3) 3 (3)()()( 3 cos 3 cos 3 cos −==++≥++=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ππππ CBAfCfBfAfCBA . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giỏc ABC đều. Cỏch 3.Đưa về tổng bỡnh phương ,hoặc tam thức bậc hai. Vớ dụ 13. Cho a,b,c là ba số khụng õm thoảđiều kiện : a + b + c = 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của (a3 + b3 + c3 ). HD: … aa 3113 ≥++ Vớ dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả món điều kiện : x.y.z = 1. Chứng minh rằng : ++++ z y y x 11 22 2 3 1 2 ≥+ x z . HD : . 4 1 1 2 xx x z ≥+++ Vớ dụ 15. Cho cỏc số thực dương x,y,z thỏa điều kiện : 6≥++ zyx . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : yx z zx y zy xS +++++= 333 HD: Cỏch 1. Áp dụng xzy zy x 32 2 3 ≥++++ … Cỏch 2: . 2333 )()( zyxyxzxzyS ++≥+++++ Vớ dụ 16. Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 . 12≤ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: ababab P +++++= 1 1 1 1 1 1 . HD :Áp dụng 5 2 25 1 1 1 ≥+++ ab ab (1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 Tương tự 5 2 25 1 1 1 ≥+++ bc bc (2) ; 5 2 25 1 1 1 ≥+++ ca ca (3) Lấy (1) + (2) + (3) ta cú 5 6 2525 3 5 6 25 1 25 1 25 1 ≥++++⇔≥++++++ cabcabPcabcabP 5 3 5 6 25 12 25 3 5 6 2525 3 222 ≥⇒≥++⇔≥++++⇔ PPcbaP Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. Vớ dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa món : . 4 3=++ cba Chứng minh rằng : 3333 333 ≤+++++ accbba HD : Ta cú 3 11333 +++≤+ baba … Vớ dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : 6434343 ≥+++++ zyx HD:Cỏch 1.Ta cú 84 424.1.1.1443 xxx =≥+ … Cỏch 2 Dựng phương phỏp vectơ. Thớ dụ 19. Cho x,y,z cỏc số dương thỏa món 4111 =++ zyx . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thưcự:S= zyxzyxzyx ++++++++ 2 1 2 1 2 1 HD. zyxzyxxzyx ++≥+++=++ 2 161111112 … Vớ dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta cú: .256)91)(1)(1( 2 ≥+++ yx yx HD : 4 3 6 2 4 3 319)91( )( 274)3331( yyyyyy ≥+⇒≥+++ . 4 3 3 29 4 333 11 x y x y x y x y x y ≥+++=+ ; 1+x = . 3 4 333 1 3 3xxxx ≥+++ Vớ dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa món điều kiện 4 5=+ yx . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : . 4 14 yx S += HD: Cỏch 1 . Thay xy −= 4 5 4 50; 45 14 <<−+=⇒ xxxS . +Ta sử dụng khảo sỏt hàm số. +Hoặc 5 5 25 45 1 4 16 45 14 =≥−+=−+= xxxxS . Cỏch 2 : Bất đẳng thức Cụsi : 5 )(4 25 4 5.5 4 1.5 4 14 5 4 =+=++++≥≥+= yxyxxxxyxyxS . Vớ dụ 22. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : a c c b b a ++ . trong đú cỏc số dương a,b,c thỏa món điều kiện :a+b+c 3 . ≥ HD. Đặt b ac a cb c ba a c c b b aA a c c b b aA 222 222 2 +++++=⇒++= Aựp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được ac c ba c ba b a 4 2 ≥+++ ; ba a cb a cb c b 4 2 ≥+++ ; cb b ac b ac a c 4 2 ≥+++ Cộng từng vế suy ra . 3≥A Vớ dụ 23. Cho ba số thực dương a,b,c thoả món điều kiện: a2 + b2 + c2 = 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : c ab b ac a bcS ++= . HD. )(2)()()( 2222222 cba c ab b ac a bcS +++++= .Ta cú 222 )()( c b ac a bc ≥+ … Vớ dụ 24. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa món điều kiện: .1.2 =+ xzxy Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: .543 z xy y zx x yzS ++= HD.Ta cú ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=++= z xy y zx z xy x yz y zx x yz z xy y zx x yzS 32543 .42(484)(4)(2642 =+=+≥+++=++≥ xyxzxyxzyxzxxyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 3 1=== zyx Vớ dụ 25 .Cho A,B,C là ba gúc của một tam giỏc bất kỳ . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất: S=5cotg2A + 16cotg2B +27cotg2C. HD.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ,và bất đẳng thức thường dựng trong tam giỏc Vớ dụ 26. Chứng minh rằng 512 729111111 333 ≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + cba . trong đú a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 6. HD .Nhõn vế trỏi ,ỏp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , ỏp dụng hằng đăngt thức bậc ba C.Cỏc bài tập đưa về giỏ tị lớn nhất,giỏ trị nhỏ nhất. Bài 1.Cho elớp (E) cú phương trỡnh .1 916 22 =+ yx Xột điểm M chuyển động trờn tia Ox và điểm N chuyển động trờn tia Oy sao cho đường thẳng MN luụn luụn tiếp xỳc với (E) . Xỏc dịnh tọa độ M,N để đoạn MN cú độ dài nhỏ nhất .Tớnh giỏ trị nhỏ nhất đú . Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho elớp cú phương trỡnh 4x2 + 3y2 – 12 = 0.Tỡm điểm trờn elớp sao cho tiếp tuyến của elớp tại điểm đú cựng với cỏc trục toạ độ tạo thành một tam giỏc cú diện tớch nhỏ nhất. Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y2 = 2x và đường thẳng (d) x – y + 2 = 0. Tỡm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cỏch giữa M và (d) ngắn nhất . Bài 4..Trong mặt phẳng Oxy xột đường thẳng (d) : 0212 =−++ myx và hai đường trũn : (C1) : x2 + y2 -2x +4y -4 = 0 . và (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y -56 = 0. Gọi I là tõm đường trũn (C1). Tỡm m sao cho (d) cắt (C1) tại hai điểm phõn biệt A và B . Với giỏ trị nào của m thỡ diện tớch tam giỏc IAB lớn nhất và tớnh giỏ trị lớn nhất đú? Bài 5.Cho cỏc số thực x,y thỏa món điều kiện : .024222 ≤+−++ zxzyx Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z Bài 6.Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng (d1) ; (d⎩⎨ ⎧ =− =−+ 03 042 z yx 2) ⎩⎨ ⎧ =− =+ 01 0 x zy Lập phương trỡnh mặt cầu cú bỏn kớnh nhỏ nhất tiếp xỳc với hai đường thẳng (d1) và (d2). Bài 7.Cho tứ diện ABCD với A(2;3;2) ; B(6;-1;-2); C(-1;-4;3) ;D(1;6;-5). Tỡm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giỏc ABM cú chu vi nhỏ nhất Bài 8.Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (0 ; 1 )B (3 ; 4). Tỡm tọa độù điểm M trờn (d) sao cho 2MA2 + MB2 cú giỏ trị nhỏ nhất . Bài 9.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho cỏc điểm A(1;2); B(2;-3) ;C(-1;4). Tỡm trờn đường thẳng x+y+3 = 0 cỏc điểm M sao cho MCMBMA 543 ++ là nhỏ nhất. Bài 10.Trong khụng gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x – 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hóy tỡm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 +MB2 cú giỏ trị nhỏ nhất. Bài 11 .Cho hàm số x xxy − +−= 1 1042 2 cú đồ thị ( C ) . Định tham số k để đường thẳng (d) kx – y – k = 0 cắt ( C ) tại hai điểm cú độ dài nhỏ nhất. Bài 12.Tỡm trờn đường cong (C) 1 332 + ++= x xxy điểm M sao cho tổng khoảng cỏch từ M đến hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Bài 13.Tỡm trờn đồ thị ( C ) của hàm số =y 1 2 −x x một điểm cú hoành độ lớn hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam giỏc cú chu vi nhỏ nhất . Bài 14.Cho đường cong (C) cú hàm số . 2 1442 + +++= x xxy Tỡm điểm M thuộc đường cong (C) sao cho khoảng cỏch từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Bài 15.Cho đường cong (C) cú hàm số : 1 12 − += x xy và điểm A(-2;1) thuộc (C).Tỡm trờn (C) điểm B sao cho hai điểm A,B lần lượt thuộc hai nhỏnh khỏc nhau,và độ dài AB nhỏ nhất. Bài 16.Tỡm trờn đường 1 1 − += x xy hai điểm A,B thuộc hai nhỏnh khỏc nhausao cho AB nhỏ nhất. Bài 17.Cho hệ phương trỡnh : ⎩⎨ ⎧ =−+++ =+ 01)12( 922 mmyxm yx Xỏc định tham số m để hệ phương trỡnh trờn cú hai nghiệm (x1;y1) ; (x2;y2) sao cho biểu thức A = (x1 – x2 )2 +(y1 – y2 )2 đạt giỏ trị lớn nhất. Bài 18. Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trỡnh ⎩⎨ ⎧ +=+ −=− 13 42 mymx mmyx Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = x2 + y2 -2x , khi m thay đổi . Bài 19.Cho hệ phương trỡnh ⎩⎨ ⎧ −+=+ −=+ 32 12 222 aayx ayx . Tỡm tất cả cỏc tham số a để hệ cú nghiệm (x,y) sao cho x.y nhỏ nhất . Bài 20.Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⎩⎨ ⎧ =++ =++ 4 8222 zxyzxy zyx Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của x,y,z.