Ảnh hưởng của nhiễu loạn điều kiện đầu lên lan truyền Soliton quang học - Hoàng Minh Đồng

Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN Qu©n sù, Sè 29, 02- 2014 105 ¶NH H­ëNG CñA NHIÔU LO¹N §IÒU KIÖN §ÇU Lªn LAN TRUYÒN SOLITON QUANG HäC HOÀNG MINH ĐỒNG*, ĐINH XUÂN KHOA**, BÙI ĐÌNH THUẬN** Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát sự lan truyền của các soliton quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu loạn điều kiện đầu. Đối với sự tiến triển của nhiễu loạn điều kiện đầu gần soliton chúng tôi sử dụng phương pháp biến đổi Bäcklund. Phương pháp này làm giảm bậc của điều kiện đầu, sau đó sử dụng lần nữa biến đổi Bäcklund chúng tôi thu được sự tiến triển của xung soliton nhiễu loạn. Kết quả phù hợp tốt với các kết quả thu được bởi các gần đúng khác dựa trên phương pháp tán xạ ngược. Từ khóa: Nhiễu loạn điều kiện đầu, Lan truyền soliton. 1. GIỚI THIỆU Các soliton quang học hiện đang được quan tâm nghiên cứu bởi vì những ứng dụng của chúng trong viễn thông và xử lý dữ liệu quang học. Sự ổn định của chúng là những mong đợi trong các ứng dụng thực tế, đặc biệt đối với truyền tín hiệu thông qua các sợi quang. Chúng cũng được sử dụng như những bít thông tin trong chuyển mạch toàn quang và xử lý dữ liệu quang học. Phần lớn các kĩ thuật được phát triển cho đến nay để xác định sự tiến triển của các điều kiện đầu gần soliton [5] đều dựa trên phương pháp tán xạ ngược [1, 2, 5]. Đây là một kĩ thuật khá phức tạp liên quan đến nhiều thủ thuật toán học. Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng một kĩ thuật dựa trên biến đổi Bäcklund [2, 3], liên kết các nghiệm soliton của các bậc liên tiếp. Biến đổi này bước đầu được sử dụng để làm giảm bậc của điều kiện đầu, làm cho việc xác định sự tiến triển nhiễu loạn điều kiện đầu được dễ dàng hơn. Kết quả của sự tiến triến theo bậc này được biến đổi tới bậc cao hơn bằng cách sử dụng lần nữa biến đổi Bäcklund. Các bước của kĩ thuật, trong trường hợp điều kiện đầu gần soliton bậc một có thể được mô tả như sau: Theo cách này, sự tiến triển của điều kiện đầu gần soliton được xác định mà không phải giải trực tiếp phương trình phi tuyến gốc, đơn giản hóa một cách đáng Điều kiện đầu gần soliton (bậc một) Lan truyền điều kiện đầu gần soliton Điều kiện đầu tương ứng bậc không Lan truyền điều kiện đầu bậc không Sự tiến triển thông qua phương trình tuyến tính Biến đổi Bäcklund Biến đổi Bäcklund Hình 1. Sự tiến triển điều kiện đầu thông qua biến đổi Bäcklund. VËt lý H. M. §ång, §. X. Khoa, B. §. ThuËn, "¶nh h­ëng soliton quang häc" 106 kể các tính toán. Phương pháp này là tổng quát và có thể áp dụng cho bất kì phương trình sóng phi tuyến nào mà các nghiệm của các bậc khác nhau được liên kết với nhau bởi biến đổi Bäcklund. Tuy nhiên, trong công trình này chúng tôi chỉ trình bày áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến (Nonlinear Schrödinger: NLS) còn việc áp dụng cho các phương trình khác có thể sẽ được trình bày trong các bài báo tiếp theo. Phương trình lan truyền xung picô giây trong sợi quang đơn mode, đặc trưng bởi hấp thụ tuyến tính có dạng [1] 2 2 12 1 2 u u i u u i u Z T          (1) ở đây, 0 1, 2 D Du L A L     (2) trong đó, A là hàm bao biến đổi chậm của điện trường,  là hệ số mô tả tính phi tuyến của sợi quang, DL là chiều dài tán sắc, 0 là hệ số hấp thụ tuyến tính. Phương trình (1) là phương trình Schrödinger phi tuyến mô tả quá trình lan truyền xung trong sợi quang, trong đó hệ số mất mát tuyến tính có thể được xem như những nhiễu loạn nhỏ. Trong trường hợp không có các nhiễu loạn  1 0  , nghiệm soliton bậc nhất của phương trình (1) đã biết dưới dạng tổng quát [4]      , sech expCu T Z T T i T i         (3) ở đây,  2 21, 2 CdT d dZ dZ        (4) Tham số ,  liên quan đến phần thực và phần ảo của giá trị riêng soliton   / 2i    , tương ứng với vận tốc và biên độ của sóng cô đơn tương ứng. CT là vị trí trung tâm của soliton và  là dịch chuyển pha không phụ thuộc thời gian. Khi xuất hiện mất mát sợi quang  1 0i u   , các tham số , , ,T   không còn là hằng số mà biến đổi theo khoảng cách lan truyền Z theo các quan hệ [1]. 12 d dZ     (5) 0, C dTd dZ dZ     (6)  2 21 2 d dZ     (7) Nghiệm của các phương trình trên là: Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN Qu©n sù, Sè 29, 02- 2014 107    0 1exp 2Z Z    (8)    0 0 0, CZ T Z Z T      (9)     2 20 1 0 0 2 1 1 exp 4 8 2 Z Z Z            (10) ở đây, 0 0 0 0, , ,T   là các giá trị đầu (Z=0) của biên độ, vận tốc, vị trí trung tâm và pha không phụ thuộc thời gian của soliton tương ứng. Dưới đây chúng tôi sẽ xét hai trường hợp của nhiễu loạn điều kiện đầu. Đầu tiên, chúng tôi xét nhiễu loạn điều kiện đầu khi bỏ qua hấp thụ [3]. Tiếp theo, chúng tôi xét nhiễu loạn điều kiện đầu khi tính thêm hấp thụ tuyến tính. 2. NHIỄU LOẠN ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHI BỎ QUA HẤP THỤ Nghiệm gần soliton bậc nhất tương ứng với điều kiện đầu có dạng  ,0 sechu T A T (11) Sự tiến triển của xung ban đầu với nghiệm soliton có thể được xác định thông qua biến đổi Bäcklund, đây là hệ các phương trình liên kết các nghiệm soliton của các bậc kế tiếp. Đối với phương trình Schrödinger phi tuyến thì biến đổi Bäcklund có dạng [5]         22 1 1 1 1n n n n n n n nT u u i u u u u u u H T Z              (12)            2 2 1 1 1 1 22 1 1 2 n n n n n n n nZ T n n n nT u u u u i u u u u i u u u u H T Z                     (13) ở đây, 1nu  và nu là các nghiệm soliton 1n  và n với các giá trị riêng phức 1 1,..., ,n n    và 1,..., n  tương ứng. Các tham số  và  là cặp phần thực và phần ảo của giá trị riêng 1n  tương ứng. Kí hiệu H biểu thị hàm bậc thang Heaviside  H T với   1H T  đối với 0T  và   1H T   đối với 0T  . Từ điều kiện đầu  ,0 sechu T A T là hàm trơn, thực, đơn trị, theo định lý Klaus và Shaw [3], các giá trị riêng của bài toán tán xạ liên quan với phương trình Schrödinger phi tuyến là thuần ảo  0  và biến đổi Bäcklund có dạng:       22 1 1 1n n n n n nT u u u u u u H T        (14)         2 2 221 1 1 1 12 n n n n n n n n n nZ Tu u i u u u u i u u u u H T            (15) VËt lý H. M. §ång, §. X. Khoa, B. §. ThuËn, "¶nh h­ëng soliton quang häc" 108 Phương trình (14) được sử dụng để biến đổi điều kiện đầu bậc một  1 ,0 sechu T A T tới điều kiện đầu bậc không dạng  0 ,0 sechu T r T , ở đây 1 1r A   và giá trị riêng của soliton được xác định thông qua biến đổi Bäcklund, cho bởi quan hệ 2 1A   phù hợp với lý thuyết tán xạ ngược [2]. Như được mô tả ở trên, sự tiến triển của điều kiện đầu bậc không, đó là hàm biên độ nhỏ, trơn, có thể được xác định thông qua phương trình NLS tuyến tính, tức là phương trình NLS được bỏ qua số hạng phi tuyến 2 u u . 1 0 2 z TTiu u  . Phương trình tuyến tính này có thể giải được tương đối dễ dàng trong miền Fourier và nghiệm gần đúng [3]   1/2 2 0 , exp sech 2 2 2 2 i T T u T Z r Z Z Z                      (17) Dạng trên của nghiệm cho thấy rằng  0 ,u T Z mở rộng theo khoảng cách. Do đó, trong miền soliton  0T  và Z tương đối lớn,  0 ,u T Z có thể xem là độc lập với T với giá trị     1/2 0 0, 0, exp 2 4 u T Z u Z r i Z                (18) Khi sự tiến triển của nghiệm bậc không đã được xác định theo biến đổi Bäcklund và đặc biệt hơn là phương trình (14) có thể được sử dụng lần nữa để biến đổi nghiệm bậc không  0 ,u T Z tới nghiệm bậc nhất  1 ,u T Z . Để đơn giản hóa các tính toán, chúng tôi có thể viết  1 ,u T Z dưới dạng:      1 1 1, , ,s nsu T Z u T Z u T Z  (19) ở đây  1 ,su T Z là phần soliton và  1 ,nsu T Z là phần không phải là soliton của nghiệm. Thì phương trình (14) có dạng       22 1 1 0 1 1 0 1 1 0s ns s ns s nsT u u u u u u u u u H T         (20) Khi điều kiện đầu dần tới soliton thuần khiết thì số hạng soliton  1 ,su T Z lớn hơn nhiều so với các số hạng phi soliton  1 ,nsu T Z ,  0 ,u T Z . Do đó, phương trình (20) có dạng Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN Qu©n sù, Sè 29, 02- 2014 109             22 1 1 0 1 1 0 1 * *1 1 1 0 1 1 022 12 s ns s ns sT s s ns s ns s u u u u u u u H T u u u u u u u u H T                    (21) ở đây, dấu * là kí hiệu liên hợp phức. Phương trình (21) có thể được tiếp tục đơn giản bằng cách tách ra thành một phần là soliton và một phần phi soliton, cụ thể:     22 1 1 1s s sT u u u H T   (22) là phần soliton và:             22 1 0 1 0 1 * *1 1 1 0 1 1 022 12 ns ns sT s s ns s ns s u u u u u H T u u u u u u u u H T                  (23) là phần phi soliton. Sử dụng biến đổi Bäcklund theo phương trình (22), (23) và (15), kết hợp một số thủ thuật biến đổi chúng tôi thu được các phần soliton và phi soliton [3]     2 1 , sech exp 2 su T Z T i Z           (24)            2 ' 2 ' 1 0 0, Re 2sech 1 Im 2sech 1 exp 2 nsu T Z u T i u T i Z                  (25) Kết quả này cũng phù hợp với kết quả thu được bằng phương pháp tán xạ ngược [1, 3, 6]. Theo (19), sự tiến triển của nghiệm bậc nhất khi biên độ xung đầu vào đầu được xác định theo (11) là,                  ' 2 1 1 1 0 2 ' 0 , , , sech Re 2sech 1 Im 2sech 1 exp . 2 s nsu T Z u T Z u T Z T u T i u T i Z                       (26) Dạng cường độ tương ứng với biểu thức trên               22 ' 2 1 0 2 ' 0 , sech Re 2sech 1 Im 2sech 1 , u T Z T u T u T              (27) ở đây, phần tuyến tính trong các đại lượng  '0Re u và  '0Im u là nhỏ, nên phương trình (27) trở thành VËt lý H. M. §ång, §. X. Khoa, B. §. ThuËn, "¶nh h­ëng soliton quang häc" 110           2 2 2 ' 2 1 0, sech 2Re sech 2sech 1u T Z T u T T         (28) Với   2 ' 0Re cos 2 2 4 u r Z Z          (29) do đó, phương trình (28) có dạng         2 2 2 2 2 1 2 , sech sech 2sech 1 cos 2 4 u T Z T r T T Z Z                    (30) Từ các quan hệ trên ta thấy rằng cường độ soliton bị biến điệu bởi đại lượng     2 22 sech 2sech 1 cos 2 4 r T T Z Z                (31) Như vậy, tần số biến điệu bằng tần số soliton  2 / 2 còn biên độ suy giảm theo 1/2Z  . Các kết quả này phù hợp với những kết quả thu được trước đó bằng các gần đúng khác nhau dựa trên phương pháp tán xạ ngược [1, 2, 5]. 3. NHIỄU LOẠN ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHI TÍNH ĐẾN HẤP THỤ TUYẾN TÍNH Ở phần 2, chúng tôi mới chỉ xem xét sự tiến triển của nhiễu loạn điều kiện đầu trong phương trình NLS (không có nhiễu loạn). Trong mục này, chúng tôi xét sự tiến triển nhiễu loạn điều kiện đầu khi có mặt của mất mát sợi quang, mà các số hạng nhiễu loạn là thường gặp nhất là hấp thụ tuyến tính. Khi đó, phương trình NLS tuyến tính trở thành 1 1 2 Z TTiu u i u    (32) Trong trường hợp này, những phân tích ở trên vẫn còn phù hợp, tuy nhiên các tham số , , ,T   không còn là hằng số mà biến đổi theo khoảng cách lan truyền Z. Khi đó, sự tiến triển của các tham số soliton được mô tả bởi các phương trình (8) đến (10) theo [4] và nghiệm của phương trình (32) trong miền soliton có dạng     1/2 0 0 1, 0, exp 2 4 u T Z u Z r Z i Z                 (33) Hơn nữa, số hạng pha 2 exp 2 i Z       ở phần trên được thay bởi   exp i Z theo [1]. Với  Z được xác định bởi phương trình (10). Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN Qu©n sù, Sè 29, 02- 2014 111 Như vậy, tính toán tương tự như trong phần 2, trong trường hợp hấp thụ tuyến tính chúng tôi cũng thu được phần soliton và phần phi soliton của nghiệm có dạng:       1 , sech expsu T Z T i z   (34) và             ' 2 '1 0 0, Re 2sec 1 Im 2sec 1 expnsu T Z u h T i u h T i Z              (35) trong đó:  0 1exp 2 Z      1/2 ' 0 1exp 2 4 u r Z i Z Z                      (36) Do đó, sự tiến triển của nghiệm bậc nhất khi biên độ xung đầu vào ban đầu được xác định theo (11) là,                     ' 2 1 1 1 0 ' 0 , , , sech Re 2sech 1 Im 2sech 1 exp . s nsu T Z u T Z u T Z T u T i u T i Z                 (37) Khi đó, cường độ tương ứng với biểu thức trên có dạng             2 2 2 1 2 1 , sech 2 exp sech 2sech 1 cos . 4 u T Z T r Z T T Z Z                      (38) Từ biểu thức (38), chúng tôi thu được trong trường hợp hấp thụ tuyến tính thì cường độ soliton bị biến điệu theo đại lượng        21 2 exp sech 2sech 1 cos 4 r Z T T Z Z                 (39) Biểu thức (38) cho chúng ta thấy rằng khi xem mất mát sợi quang là nhỏ (xem hệ số hấp thụ 1 1  , có thể đạt được bằng cách lựa chọn bước sóng của xung đầu vào phù hợp) thì số hạng hấp thụ 1 xem như chỉ ảnh hưởng đến biên độ và pha của soliton được thể hiện tương ứng với biểu thức (8) và (10), mà không ảnh hưởng tới tốc độ lan truyền soliton. Hình 2 mô tả sự thay đổi của cường độ đỉnh xung trong quá trình lan truyền với sự có mặt đồng thời của hấp thụ tuyến tình và nhiễu loạn điều kiện đầu. Từ hình 2 chúng ta thấy rằng với khoảng cách lan truyền không quá lớn thì xung soliton vẫn bảo toàn hình dạng của nó trong quá trình lan truyền. Trong trường hợp này thì ảnh hưởng của các hiện tượng tự biến điều pha và hiện tượng tán sắc vận tốc nhóm gần như cân bằng và sự dao động là do ảnh hưởng của nhiễu loạn điều kiện đầu. Độ lớn của nhiễu loạn điều kiện đầu ảnh hưởng một cách rõ nét lên biên độ dao động của thành phần phi soliton, thực tế là nó tỉ lệ thuận với độ lớn nhiễu loạn biên độ VËt lý H. M. §ång, §. X. Khoa, B. §. ThuËn, "¶nh h­ëng soliton quang häc" 112 của xung đầu vào. Tuy nhiên, khi Z > 80 thì ảnh hưởng của hấp thụ trở nên đáng kể và cường độ đỉnh của xung giảm đi rất nhanh. Sự suy giảm rất nhanh của cường độ xung là do hai tác động: Thứ nhất là do sự mất mát năng lượng gây bởi sự hấp thụ; thứ hai là do sự mở rộng của xung gây bởi sự tán sắc, bởi vì trong trường hợp này sư mất mát năng lượng dẫn đến sự suy yếu của hiện tượng tự biến điều pha (gây nên sự nén xung). Nghĩa là soliton không thể tồn tại sau một quãng lan truyền đủ lớn của xung. Hình 2. Sự tiến triển của cường độ đỉnh khi có mặt của hấp thụ tuyến tính với điều kiện đầu gần soliton: a) A=0.97 và b) A=1.06 . Trong cả hai trường hợp các tham số được chọn là eta0=1; kappa0=0; sigma0=0.5; Gamma1=0.001; T=1.35. 4. KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã nghiên cứu sự tiến triển của soliton quang học với sự có mặt của nhiễu loạn điều kiện đầu và hấp thụ tuyến tính. Sự nhiễu loạn điều kiện đầu gần soliton được xác định dựa trên việc sử dụng biến đổi Bäcklund. Theo cách này chúng tôi thu được biểu thức biểu hiện sự biến điệu của cường độ soliton trong trường hợp bỏ qua hấp thụ và trường hợp tính đến hấp thụ tuyến tính. Điều này cho chúng ta thấy rằng tầm quan trọng của việc lựa chọn xung đầu vào sợi quang. Bởi vì trong thực tế để có xung đầu vào là soliton thuần khiết là rất khó nên việc tính đến nhiễu loạn điều kiện đầu là rất quan trọng. Việc này giúp chúng ta xác định được giới hạn lan truyền sóng và việc bù lại mất mát khi khoảng cách lan truyền là lớn bằng cách có thể sử dụng sợi quang bù tán sắc hoặc sử dụng các bộ khuếch đại bù lại sự mất mát đó. Kết quả thu được là phù hợp tốt so với các kết quả thu được bởi lý thuyết tán xạ ngược. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Govind. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. Academic Press, San Diego (California), 2001. Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN Qu©n sù, Sè 29, 02- 2014 113 [2] Wktor Eckhaus, Aart Van Harten, The Inverse Scattering Transformation and The Theory of Solitons, North-Holland Publishing Company, Amsterdam. New York. Oxford, (1981). [3] G. Tsigaridas, A. Fragos, I. Polyzos, M. Fakis, A. Ioannou, V. Giannetas and P. Persephonis, Evolution of near-soliton initial conditions in non-linear wave equations through their Backlund transforms, Chaos, Solitons & Fractals 23, 1841-1854 (2005). [4] G. Tsigaridas, I. Polyzos, V. Giannetas and P. Persephonis, Compensation of nonlinear absorption in a soliton communication system, Chaos, Solitons & Fractals 35, 151-160 (2008). [5] R. M. Miura (editor), Backlund transformations, the inverse scattering method, solitons and their applications, Springer-Verlag, Berlin, 1978. [6] Ryogo Hirota, The Direct Method in Soliton Theory, Cambridge university press, New York, (2004). ABSTRACT EFFECTS OF PERTURBATION INITIAL CONDITION ON THE PROPAGATION ON THE OPTICAL SOLITONS In this paper, we consider the propagation of optical solitons under the influence of the initial condition perturbations. We used the Bäcklund transformation method to investigate the evolution of perturbation near- soliton initial conditions. This method reduces the order of the initial condition, and then using again the Bäcklund transform, we obtain the evolution of the perturbed soliton. Our results are in very good agreement with those obtained by other approximations based on the inverse scattering method. Keywords: Initial noise condition, soliton propagation. Nhận bài ngày 12 tháng 09 năm 2013 Hoàn thiện ngày 25 tháng 11 năm 2013 Chấp nhận đăng ngày 14 tháng 01 năm 2014 Địa chỉ: * Khoa Cơ bản, Trường Cao đẳng giao thông vận tải Miền Trung; ** Khoa Vật lý, Trường Đại học Vinh. Email: [email protected]