20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit

20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng. Trước hết ta phát biểu lại bất đẳng thức này: Với mọi a, b, c lớn hơn 0, ta luôn có Xin nói ngoài lề một chút, trong bài này ta sử dụng một cách viết công thức trong Blogspot mới, cho một kết quả tốt hơn chưa xuất hiện ở đâu trên thế giới. Nó sẽ ra mắt bạn đọc trong một ngày không xa. Ta trở lại với bài toán. Cách 1: Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bất đẳng thức , ta được: Đây là bất đẳng thức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại). Cách 2: Đặt Ta có Từ đó Cách 3: Không mất tính tổng quát, ta giả sử: . Xét hàm số: trên khoảng I=(0;1), ta có Do đó là hàm lồi trên , áp dụng bất đẳng thức Jensen thì Cách 4: Đặt Ta sẽ chứng minh: Thật vậy, Do đó Tiếp theo ta chỉ ra Ta đặt Bài toán tương đương với Nói cách khác Điều này là rõ ràng. Cách 5: Có thể giả sử Lúc đó luôn không âm vì a, b, c dương và . Cách 6: Dùng phương pháp SOS. Vì a, b, c là các số dương nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Cách 7: Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó hay Theo BDT hoán vị thì và Cộng vế theo vế ta có kết quả mong muốn Cách 8: Theo Cauchy-Schwarz ta có: Ta còn có : Kết hợp lại là xong . Cách 9: BDT ban đầu tương đương với hay : Theo AM-GM: Cộng theo vế 6 BDT tương tự ta có kết quả mong muốn. Cách 10:Không mất tính tổng quát giả sử . Ta có: và các dạng "hoán vị" của nó. Áp dung BDT: ta có đpcm . Cách 11: Trước hết ta chứng minh That vay, ta có thể viết lại là: luôn đúng. Cộng vế theo vế là xong. Cách 12: Giả sử . Khi đó: Theo Chebyshev và AM-GM, ta có: Chứng minh xong. Cách 13: Ta có Theo AM-GM ta có: Cách 14: Đặt Lúc đó BDT cần chứng minh là Ta chứng minh bằng phản chứng, nếu thì theo 2 BDT quen thuộc ta có Mâu thuẫn!!! Cách 15: Theo AM-GM cho 2 số thì hay Hoàn toàn tương tự, ta được và Cộng vế theo vế ta có kết quả Cách 16: Ta có thể giả sử Với x thuộc khoảng (0;3) ta có (dành cho bạn đọc) Lần lượt thay x bởi a, b, c và cộng các BDT vừa đạt được theo vế ta có kết quả. Cách 17: Đặt thì BDT Nesbit trở thành Rút gọn ta có Áp dụng AM-GM cho 6 số là xong. Cách 18: (Áp dụng BDT Jensen cho hàm lõm) Đặt Với t dương, xét hàm số Dễ thấy Theo BDT Jensen Mặt khác do đó hàm f tăng ngặt trên . Suy ra Suy ra điều phải chứng minh. Cách 19: (Theo Hojoo Lee) Theo AM-GM ta có các BDT và Suy ra hay Điều này quá gần với BDT Nesbit. Công việc còn lại dành cho bạn đọc. Cách 20: Ta có: Áp dụng BDT sau của Vasile Cirtoaje (có thể tìm thấy chứng minh trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng). Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số