10 phản xạ hay dùng khi giải phương trình lượng giác

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !  Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi Hƣớng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích.  cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b     ; cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b       sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b     ; sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b     (ưu tiên kết hợp các góc cùng chẵn hoặc cùng lẻ) Giải các phương trình sau: 1. (D – 2013): sin3 cos2 sin 0x x x   2. (D – 2012): sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x    3. (B – 2007): 22sin 2 sin7 1 sin .x x x   4. (D – 2006): cos3 cos2 cos 1 0x x x    5. (D – 2002): cos3 4cos2 3cos 4 0x x x    6. (B – 2002) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   . Hướng dẫn giải: 1. (D – 2013): sin3 cos2 sin 0x x x   (sin3 sin cos 0) 2x x x    cos2 0 cos2 (2sin 12cos2 s ) 0...inx x x xx      2. (D – 2012): sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x     (sin3 sin ) (cos3 cos ) 2 cos2x x x x x   2cos2 sin 2cos2 cos 2 cos2x x x x x   2 cos2 2(sin cos ) 1 0...x x x       3. (B – 2007): 22sin 2 sin7 1 sin .x x x    2(sin 7 sin 2 1) sin 2 0x x x   2cos4 sin3 cos4 0xx x   cos4 (2sin3 1) 0...x x   4. (D – 2006): cos3 cos2 cos 1 0x x x     (cos3 cos )x x (1 cos2 ) 0x   22sin 2 sin 2sin 0x x x   2 24sin cos 2sin 0x x x   22sin (2cos 1) 0...x x   5. (D – 2002): cos3 4cos2 3cos 4 0x x x     4(1 c(cos os2 ) 2cos3 cos 0) x xx x     28cos2cos 2coo s2 c 0s xx x x    2 22cos (cos2 4cos 1) 0 2cos (2cos 4cos ) 0 4cos (cos 2) 0...x x x x x x x x          6. (B – 2002) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12 2 2 2 2 x x x x         cos6 cos8 cos10 cos12x x x x  2cos7 cos 2cos11 cosx x x x  cos (cos11 cos7 ) 0x x x   2cos sin9 sin 2 0x x x  sin9 sin 2 0...x x  10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC GV: Nguyễn Thanh Tùng GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! Hƣớng 2 Chuyển phương trình về dạng sin sinu v (hoặc cos cosu v ) hoặc dạng sin cosa x b x c  (hoặc mở rộng) Chú ý:  Cách khử dấu “–” của các hàm lượng giác: sin sin( )u u   ; cos cos( )u u   . tan tan( )u u   ; cot cot( )u u    Cách đổi tên hàm: sin cos 2 u u        ; cos sin 2 u u        ; tan cot 2 u u        ; cot tan 2 u u        . Giải các phương trình sau: 1. (B – 2013): 2sin5 2cos 1x x  2. 23sin6 2sin5 1 2cos 3x x x   . 3. 2 23 cos 4 4sin sin 2 4sin 4 x x x x         Hướng dẫn giải: 1. (B – 2013): 2sin5 2cos 1x x  sin5 1 cos2 1x x    sin 2cos 2 ssin5 ...in( 5 ) 2 x x xx             2. 23sin6 2sin5 1 2cos 3x x x   3sin6 2sin5 1 1 cos6x x x     3sin 6 cos6 2sin5x x x   3 1 sin 6 cos6 sin5 sin 6 sin5 62 2 x x x x x            3. 2 23 cos 4 4sin sin 2 4sin 4 x x x x         23 cos 4 4sin sin 2 2 1 cos 2 2 x x x x              23cos4 4sin sin 2 2(1 sin 2 )x x x x    23 cos4 2sin 2 (1 2sin ) 2x x x    3cos4 2sin 2 cos2 2x x x    3 cos4 sin 4 2x x  3 1 cos 4 sin 4 1 cos 4 1 2 2 3 12 2 k x x x x                  . Hƣớng 3 Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc “sử dụng công thức cộng hoặc tạo tích thành tổng” hoặc “đánh giá”. Giải các phương trình sau: 1. cos4 (2sin3 cos ) sin (sin 4 1)x x x x x   2. 2sin 2 (1 cos5 cos ) sin3 2sin3 cos 2 3cos2 3x x x x x x x      Hướng dẫn giải: GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 1. cos4 (2sin3 cos ) sin (sin 4 1)x x x x x   . sin3 cos4 cos4 cos2 sin n 4 sinsix x x x xx x   sin sin 7sin 7 sin cos3 sin 3 ... 2 x x x xxx              2. 2sin 2 (1 ) sin3 2sincos5 co 3 cos 2 3c 2 3s osx x x xx x x     2sin 2 (1 ) sin3 (2cos 2 1) 3c2cos3 c os2os 32x x xx x x      sin 2 cos3 sin 4 sin3 cos4 3cos2 3x x x x x x     sin3 cos4 cos3 sin 4sin 2 3cos2 3xx x x x x    1 3 2 sin 2 cos 2 3 2 si 2 n 7x x x           sin2sin 2 3 3 7x x          (*) Do (*)2sin 2 2 sin 2 1 ...3 3 sin 7 3 2 sin 7 1 x x x x                          CHÚ Ý: Chương trình học chính khóa không có cthức 3sin3 3sin 4sinx x x  ; 3cos3 4cos 3cosx x x  vì vậy nếu xuất hiện trong đề thi thì “ý đồ” của người ra đề không phải sử dụng chúng (nếu các bạn dùng thì phải chứng minh) nghĩa là các bạn nên đi theo 3 hướng tư duy trên. Phản xạ 2: Khi xuất hiện 3 thƣờng chuyển về dạng sin cosa x b x c  hoặc dạng mở rộng . Cách giải chung: sin cosa u b u c  . Chia cả hai vế phương trình cho 2 2a b ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c u u a b a b a b      2 2 sin( ) c u a b     (đưa về công thức nghiệm) với 2 2 cos a a b    và 2 2 sin b a b    Chú ý 1:  Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c   Ta có thể đưa phương trình về dạng công thức nghiệm với cos .  Thường 2 2 2a b  (để số liệu bài toán “đẹp”). Chú ý 2: Ngoài dạng nguyên gốc trên, chúng ta có thể gặp 3 dạng mở rộng sau  2 2sin cos sina u b u a b v    2 2sin cos cosa u b u a b v    sin cos 'sin 'cosa u b u a v b v   Cách giải cũng tương tự, khi ta chia cả hai vế phương trình cho 2 2a b . GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! Giải các phương trình sau: 1. (A,A1 – 2012): 3sin 2 cos2 2cos 1x x x   2. (B – 2012): 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1x x x x x    3. (A – 2009): (1 2sin )cos 3. (1 2sin )(1 sin ) x x x x     4. (B – 2009): 3sinx cos sin 2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x    5. (D – 2009): 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   6. (D – 2007): 2 sin cos 3 cos 2. 2 2 x x x         7. (B – 2008): 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cos .x x x x x x   8.   6 68 sin cos 2 3 3sin 4x x x   . 9. 3sin cos (4sin 1) 0x x x   10.  2sin3 sin 3 cos 1 2cos2 0x x x x    Hướng dẫn giải: 1. (A,A1 – 2012). sin 2 cos2 2co3 s 1x x x   22 3sin cos 2cos 1 2cos 1x x x x     2cos ( 3sin cos 1) 0x x x    3 sin cos 1 cos 0 ... x x x        2. (B – 2012): 2(cos sin )cos cos s3 n3 i 1x x x x x    22cos 1 2 3sin cos cos 3sinx x x x x     cos2 3sin 2 cos 3sinx x x x   1 3 1 3 cos 2 sin 2 cos sin 2 2 2 2 x x x x    cos 2 cos 3 3 x x                 3. (A – 2009): (1 2sin )cos . (1 2sin )(1 sin ) 3 x x x x     Điều kiện sin 1 1 sin 2 x x      (*) Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương: 2(1 2sin )cos 3(1 2sin sin )x x x x    cos sin 2 3(cos2 sin )x x x x     cos 3sin 3cos2 sin 2x x x x   1 3 3 1 cos sin cos 2 sin 2 2 2 2 2 x x x x    cos cos 2 3 6 x x                 4. (B – 2009): 3sin cos sin 2 cos3 2(cos4 sin )3x x x x x x    2sin (1 2sin ) cos sin 2 3 cos3 2cos 4x x x x x x     sin cos 2 cos sin 2 3 cos3 2cos 4x x x x x x     sin3 3 cos3 2cos 4x x x  1 3 sin3 cos3 cos 4 cos 3 cos 4 2 2 6 x x x x x            5. (D – 2009): cos5 2sin3 co i3 s2 s n 0x x x x   3 cos5 (sin5 sin ) sin 0x x x x      sin5 3cos5 2sinx x x   1 3 sin5 cos5 sin 2 2 x x x    sin 5 sin( ) 3 x x          GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 6. (D – 2007): 2 sin cos cos 2 2 3 2 x x x         2 2sin cos 2sin cos 3 cos 2 2 2 2 2 x x x x x     1 sin 3 cos 2x x     sin 3 cos 1x x  1 3 1 sin cos sin sin 2 2 2 3 6 x x x             7. (B – 2008): 3 3 2 2sin cos sin cos sin3 os .3 cx x x x x x   2 2 2 2sin (cos sin ) 3cos (cos sin ) 0x x x x x x     sin cos2 3 cos cos2 0x x x x   cos 2 0 cos 2 sin 3 co (sin 3 cos ) 0 s 0x x x x x x           8.  6 68 sin cos 2 3 sin3 4x x x   2 3 8 1 sin 2 2 3 3sin 4 4 x x          3(1 cos 4 ) 8 1 2 3 3sin 4 8 x x          cos4 3sin 4 1x x    1 3 1 2 cos 4 sin 4 cos 4 cos 2 2 2 3 3 x x x              9. sin cos (4sin 03 1)x x x   3sin cos 2sin 2x x x   3 1 sin cos sin 2 sin cos cos sin sin 2 2 2 6 6 x x x x x x         sin sin 2 ... 6 x x         10.  2sin3 sin cos 1 2cos2 03x x x x      2 2 2 22sin3 sin 3 cos sin cos 2(cos sin ) 0x x x x x x x         2 22sin3 sin 3 cos (sin 3cos ) 0x x x x x         2sin3 sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cos 0x x x x x x x        sin 3 cos 2sin3 sin 3 cos 0x x x x x     sin 3 cos 0 sin 3 cos 2sin 3 ... x x x x x         Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích thành tích. ( 22sin sin 1 (sin 1)(2sin 1)x x x x     ; 3 2 2cos 3cos 4cos 2 (cos 1)(cos 2cos 2)x x x x x x       ) ( hoặc nhẩm nghiệm hoặc các em dùng máy tính để trợ giúp và có thể sử dụng thêm lược đồ Horner – nếu phương trình từ dạng bậc 3 trở lên trong đó có ít nhất một nghiệm “đẹp” để tạo tích). Giải các phương trình sau: 1.(D – 2010): sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x     2. 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x    3. (2sin 1)(cos 1) cos2 2cos 7sin 5x x x x x      4. 32cos 3cos2 2sin 2 4cos 4sin 5x x x x x     5.  6 68 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x     Hướng dẫn giải: 1.(D – 2010): sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x     2sin 2 (1 2sin ) 3sin cos 1x x x x      GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !  22sin 3sin 2 sin 2 cos 0x xx x    (2sin 1)(sin 2) cos (2sin 1) 0x xx x     (2sin 1)(sin cos 2) 0...x x x     2. 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x    29sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8x x x x x      (6sin cos 6cos )x x x   2(2sin 9sin 7)x x  0 (sin 1)(2sin6cos (sin 7)1) 0x xx x      (sin 1)(6cos 2sin 7) 0x x x     sin 1x  hoặc 2sin 6cos 7x x  (vô nghiệm do 2 2 22 6 7  ) 2 2 x k     ( )k . 3. (2sin 1)(cos 1) cos2 2cos 7sin 5x x x x x      22sin cos 2sin cos 1 1 2sin 2cos 7sin 5x x x x x x x         (2sin cos cos )x x x   2(2sin 9sin 5)x x  0 (2sin 1)(sin 5cos ( 1) 0)2sinx x xx      (2sin 1)(sin cos 5) 0...x x x     4. 32cos 3cos2 2sin 2 4cos 4sin 5x x x x x     3 22cos 3(2cos 1) 2sin 2 4cos 4sin 5x x x x x        3 2(cos 3cos 2cos 4)x x x   (sin 2 2sin ) 0x x   2(cos 1)(cos 2cos 2sin ( 1)4) cosx x xx x    2(cos 1)(cos 2cos 4 2sin ) 0x x x x      cos 1 (1)x  hoặc 2cos 2(sin cos ) 4 (2)x x x   Giải (1) 2x k    . Giải 2(2) cos 2 2sin 4 4 x x          . Ta có: 2cos 2 2 sin 1 2 2 4 4 x x           , suy ra (2) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm 2x k   ( )k . 5.  6 68 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x     . Ta có: 6 6 2 2 3 2 2 2 2 23sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 1 sin 2 4 x x x x x x x x x       Khi đó phương trình tương đương: 238 1 sin 2 3 3sin 4 3 3 cos 2 9sin 2 11 4 x x x x           ( 3sin 4 3 cos2 )x x   2(2sin 3 3sin 2 1)x x  0 3cos2 (2sin 2 1) (2sin 2 1)(sin 2 1) 0x x x x      (2sin 2 1)( 3 cos2 sin 2 1) 0...x x x     CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 còn có một cách tiếp cận khác. Các em xem tiếp ở các phản xạ sau ! Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phƣơng trình về dạng tích (hoặc để giản ƣớc nếu nhân tử chung ở dƣới mẫu số). Sau đây thầy giới thiệu tới các bạn bảng các biểu thức chứa nhân tử chung thƣờng gặp: GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp STT Nhân tử Chung Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung 1 sin x tan x ; sin 2x ; tan 2x ; 1 cos2x ; sin3x 2 cos x cot x ; sin 2x ; tan 2x ; 1 cos2x ; cos3x 3 sin cosx x cos2x ; 1 tan x ; 1 cot x ; 21 tan x ; 21 cot x ; 3 3sin cosx x ;sin 4 x       ; cos 4 x        4 1 sin x 2cos x ; 2cot x ; 2sin 2 4 x       ; 2cos 2 4 x       ; 2tan 2 4 x       ; 2cot 2 4 x       ; 2cos sin 2x x 5 1 cos x 2sin x ; 2tan x ; 2sin 2 x ; 2tan 2 x ; 2cos 2 x ; 2cot 2 x ; 2sin sin 2x x 6 1 2sin x cos sin 2x x ; 21 4sin x ; 23 4cos x ; 2cos2 1x ; cot 2cosx x ; cos3x 7 1 2cos x sin sin 2x x ; 21 4cos x ; 23 4sin x ; 2cos2 1x ; tan 2sinx x ; sin3x Giải các phương trình sau: 1. (D – 2004): (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x    2. (B – 2004): 25sin 2 3(1 sin ) tan .x x x   3. (A – 2003): cot 1x  2 cos 2 1 sin sin 2 . 1 tan 2 x x x x    4. (D – 2003): 2 2 2sin tan cos 0. 2 4 2 x x x         5. (A – 2011): 2 1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 1 cot x x x x x     6. (B – 2005): 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x     7. (D – 2011) : sin 2 2cos sin 1 0. tan 3 x x x x      8. (D – 2010) : sin 2 cos2 3sin cos 1 0.x x x x     9.(A – 2007): 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .x x x x x     10. (A,A1 – 2013): 1 tan 2 2 sin 4 x x         11. (B – 2011): sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .x x x x x x x    12. (A,A1 – 2014): sin 4cos 2 sin 2x x x   Hướng dẫn giải: 1. (D – 2004): (2cos 1)(2sin c sin 2 sinos )x x x x x   (2cos 1)(2sin cos ) sin (2 o )c s 1x x x xx    (2cos 1)(sin cos ) 0...x x x    2. (B – 2004): 215si sin 2 n t3 .n( a)xx x  Điều kiện: cos 0 2 x x n      ( )n Khi đó phương trình đương đương: 2sin 5sin 2 3( ).1 sin (1 sin )(1 sin ) x x x x x     2 2(1 sin )(5sin 2) 3sin 2sin 3sin 2 0...x x x x x        3. (A – 2003): cot 1x  2 1 sin cos sin 2 t 2 2 1 an x x x x    Điều kiện: sin 2 0 tan 1 x x     , khi đó phương trình tương đương: GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 2 cos (cos sin )(cos sin ) 1 sin sin cos sinsin 1 cos x x x x x x x x xx x        cos cos sin cos sin sin c( ) sin ( ) si o n s x x x x x xx x x      2( )(1 sin coscos si si ) .n n 0..x xx x x    4. (D – 2003): 2 2 2sin tan cos 0. 2 4 2 x x x         Điều kiện: cos 0 2 x x n      ( )n Khi đó phương trình tương đương: 2 2 1 cos sin 1 cos2 . 0 2 cos 2 x x x x          (1 cos )( ) . 0 2 ( 1 sin 1 cos 1 cos )(1 sin ) 21 sin x x x x x x          1 cos (1 cos ) 1 0 (1 cos )(sin cos ) 0... 1 sin x x x x x x              5. (A – 2011): 2 1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 1 cot x x x x x     Điều kiện: sin 0x x n   ( )n . Ta có 2 2 1 1 cot sin x x   , do đó phương trình tương đương: 2 2 2sin (1 sin 2 2cos 1) 2 2 sin cosx x x x x    2 (sin ccos cosos ) 2 2x xx x   (vì sin 0x  ) cos 0 2cos (sin cos 2) 0 sin cos 2 x x x x x x          6. (B – 2005): 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x     2 21 sin 2 sin cos o 0c s sinx x x x x     2(sin cos ) sin cos (cos sin )(cos sin ) 0x x x x x x x x        ( )(sin cossin co 1 cos sins ) 0x x x x x x      (sin cos )(2cos 1) 0x x x    7. (D – 2011) : sin 2 2cos sin 1 0. tan 3 x x x x      Điều kiện: cos 0 tan 3 x x     (*) Khi đó phương trình tương đương: sin 2 2cos s( ) 0in 1x x x   2cos (sin 1) (sin 1) 0x x x     (2cos 1) 0..(sin 1) .xx   8. (D – 2010) : sin2 cos2 3sin cos 1 0.x x x x     Ta có 2 cos ( ) cos 2 3sin 1 sin 2 ( ) cos 2sin 1 2sin 3sin 2 2sin 1 (sin 2) x x x x x xx x x x             Khi đó phương trình tương đương: 2sin 1 2sincos ( ) ( )(sin )1 2 0x xx x    (sin cos 2) 0.( .n 1 .2si ) xx x    GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 9.(A – 2007): 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .x x x x x     2sin cos sin coss sin cos ( ) ( in cos )x x x x xx xx    ( )(1 sin cos sin cosin cos s ) 0xx x xx x     2 sin (1 cos )(1 sin ) 0... 4 x x x           10. (A,A1 – 2013): 1 tan 2 sin 4 2x x         Điều kiện: cos 0x  Phương trình tương đương: sin cos sin cos sin2( ) ( )(1 2cosco ) 0s ... cos x x x x x x x x        11. (B – 2011): sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .x x x x x x x    2 22sin cos sin cos cos 1 2sin sinx x x x x x x      2sin (1 sin )(1 sin ) cos (1 sin ) (1 sin )(1 2sin )x x x x x x x         (1 sin ) 2sin (1 sin ) cos 1 2sin ) 0x x x x x        2( ) 2sin 1 cos 0 (1 sin )(cos2 cos1 si ) 0...n x x x x xx        12. (A,A1 – 2014): sisi nn 4cos 2 sin 2 4cos 2i 2 0s nxx x x xx       1 2cos 1 2cosin ( ) 2( ) 0 ( )(sin 2) 0s 1 2c ..os .x x xx x      Phản xạ 5: Khi phƣơng trình có mặt cos2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi: cos2x = 2 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x    : Nếu có yếu tố sin cosx x = 22cos 1x : Nếu việc tạo ra “ –1” giúp ta khử số tự do. = 21 2sin x : Nếu việc tạo ra “ +1” giúp ta khử số tự do. = cos2x (Giữ nguyên): Nếu có 32cos cosx x ; 3sin 2sinx x ; sin 2 cos sinx x x ; cos sin sin 2x x x Giải các phương trình sau: 1. (ĐHY – 2000) 3 3sin cosx x  cos2x 2. (A,A1 – 2012) : 3sin 2x cos2x 2cos 1x  3. (D – 2006): cos3x cos2x cos 1 0x   4. (B – 2010): (sin 2x cos2x )cos 2x cos2x sin 0x  5. 32cos x 3sin x cos2x 24sin x  cos x 2 6. (A – 2003): 2cos 2 1cot 1 sin sin 2 . 1 t anx 2 x x x x     Hướng dẫn giải: 1. (ĐHY – 2000). 3 3sin cosx x  cos2x  (sin cos )x x (1 sin cos )x x  (( cco oss s s) )n ni ix xx x  ( )(1 sin cos sin cosin cos s ) 0xx x xx x     2 sin (1 cos )(1 sin ) 0...4 x x x           2. (A,A1 – 2012) : 3sin 2x cos2x 12cos x  2 3sin cosx x  22cos 1x 2cos x 1 2cos ( 3sin cos 1) 0...x x x    3. (D – 2006): cos3x cos2x 1cos 0x  21 2sinc 1os3 cos 0xx x     22sin 2 sin 2sin 0x x x   2 24sin cos 2sin 0x x x   22sin (2cos 1) 0...x x   4. (B – 2010): (sin 2x cos2x )cos 2x cos2x sin 0x  GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !  sin 2 cos sinx x x  coscos2 os22cxx x 0 22cos 1 cosin ( ) (cos 2s2 ) 0x x x x    (sin cos 2) 0...cos2 x xx    5. 3 22cos 3sin cos2 4sin cos 2x x x x x    2 2cos ( ) 3sin2cos 1 cos2 1 2sin2( ) 0x xx x x    cos 3sincos2 cos2 cos 022x xx x x    (cos 3sincos ) ..2 2 0.x xx    6. (A – 2003): 2 cos 2 1 tan 1 cot 1 sin sin 2 . 2 x x x x x     Điều kiện: sin 2 0 tan 1 x x     , khi đó phương trình tương đương: 2 cos sicos (cos sin )( )n 1 sin sin cos si 1 o s s n ni c x x x x x x x x x x x        cos cos sin cos sin sin c( ) sin ( ) si o n s x x x x x xx x x      2( )(1 sin coscos si si ) .n n 0..x xx x x    Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và gặp phƣơng trình chứa 2sin ;x 2cos ;x 1 sin 2x ; cos2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng : +) 2sin (1 cos )(1 cos )x x x   +) 2cos (1 sin )(1 sin )x x x   ; 21 sin 2 (sin cos )x x x   +) cos2 (cos sin )(cos sin )x x x x x   ( Xem thêm Phản xạ 3 ) Chú ý: Với 2sin x , 2cos x ngoài cách phân tích như trên ta có thể nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức 2 1 cos 2 sin 2 x x   ; 2 1 cos 2 cos 2 x x   . Giải các phương trình sau: 1. 32cos cos2 sin 0x x x   2. 2sin 2 4cos 3 4 2 sin 4 x x x          3. 1 2 sin 2 (1 tan ).sin 4 x x x          Hướng dẫn giải: 1. 32cos cos2 sin 0x x x    3 22cos 2cosx x 1 sin 0x    22 (1 cosc ) (1 sin )o 0s xx x     2 (1(1 sin )(1 sin ) cos ) (1 sin ) 0x x xx      (1 sin )x  2(1 sin )(1 cos ) 1 0x x     (1 sin ) 2(sin cos ) 2sin cos 1 0x x x x x      2(1 sin ) 2(sin cos ) (sin cos ) 0x x x x x        (1 sin )(sin cos )(sin cos 2) 0x x x x x      GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 2. 2sin 2 4 3 4 2 sincos 4 x xx          1 cos sin 2 4. 3 4 2 sin 4 2 2 x x x            2 cos 2x  (1 sin 2 )x  4 2 sin 4 x       22( )(cos sin ) (cos sin sin cos sin c) o( s4 )xx x x x xx x      ( )(3sinc cos 4os si ) 0...n x xx x    4. 1 2 sin 2 (1 tan ).sin 4 x x x          Điều kiện : cos 0 2 x x n      ( )n Khi đó phương trình tương đương : 1 sin 2 cos2 ( )sin1 tanx xx x   2 sin cos (sin cos ) co(cos sin )( )s si in c n s os x x x x x x x xx x       sin ( 2sin 0 c sin co s s ) o x xx x x          2 sin (sin 2 sin ) 0 4 x x x          Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: asin 2 cos2 sin cos 0x b x c x d x e     ta nghĩ tới việc biến đổi phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật sau: I. Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, 3, 4, 5 và 6) II. Đưa phương trình về dạng: 2sin sin 0A x B x C   hoặc 2cos cos 0A x B x C   ( , ,A B C có thể chứa hàm lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên) Giải các phương trình sau: 1.(D – 2010) sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x     2.  6 68 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x     3. (B – 2005): 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x     4. 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x    Hướng dẫn giải: 1.(D – 2010) sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x     22sin cos (1 2sin ) 3sin cos 1 0x x x x x       2 2sin x (2cos 3)x  sin x cos 2 0x   sin x 2(2cos 3) 8(cos 2)x x     2(2cos 5)x Suy ra: (2cos 3) 2cos 5 1 sin 4 2 x x x       hoặc (2cos 3) 2cos 5 sin cos 2 4 x x x x         +) Với 1 sin 2 x   2 6 x k    hoặc 5 2 6 x k    ( )k . +) Với sin cos 2 sin cos 2x x x x     (vô nghiệm) GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! Vậy phương trình có nghiệm 5 2 ; 2 6 6 x k k k               . 2.  6 68 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x      6 68 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x     238 1 sin 2 6 3sin 2 cos 2 3 3 cos 2 9sin 2 11 4 x x x x x            2 2sin 2x (2 3 cos2 3)x  sin 2x 3 cos2 1 0x   sin 2x 2(2 3 cos2 3) 8( 3 cos2 1)x x     2(2 3 cos2 1)x 2 3 cos 2 3 2 3 cos 2 1 sin 2 3 cos 2 1 4 x x x x       (1) hoặc 2 3 cos 2 3 2 3 cos 2 1 1 sin 2 4 2 x x x      (2) Giải 3 1 1 2 (1) cos2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 6 3 x x x              Giải 1 (2) sin2 2 12 x x k       hoặc 5 12 x k    . 3. (B – 2005): 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x     21 sin cos 2sin cos 2cos 1 0x x x x x       2 2cos x (2sin 1)x  cos x sin 0x  2 2 cos (2sin 1) 8sin (2sin 1)x x x x      Suy ra: (2sin 1) 2sin 1 1 cos 4 2 x x x        (1) hoặc (2sin 1) 2sin 1 cos sin 4 x x x x        (2) Giải 2 2 (1) cos cos 2 3 3 x x k         Giải (2) sin cos 0 sin 0 4 4 x x x x k                   Vậy phương trình có nghiệm 2 2 ; 3 4 x k k k                 . 4. 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x    29sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8x x x x x      22sin (6cos 9)sin 6cos 7 0x x x x      22sin (6cos 9)sin 6cos 7 0x x x x      2 2 sin (6cos 9) 8(6cos 7) (6cos 5)x x x x       Suy ra: 9 6cos 6cos 5 sin 1 4 x x x      (1) hoặc 9 6cos 6cos 5 7 6cos sin 4 2 x x x x       (2) CHÚ Ý: +) Các Ví dụ 1, 2 các em xem lại cách giải khác ở phản xạ 4. +) Cách giải ở Ví dụ 3 chỉ chứng tỏ một điều có một góc nhìn khác, nhưng hơi dài – khi đi theo I có thể nhìn thấy luôn và khá ngắn gọn. +) Cách tiếp cận thứ II chỉ làm được khi delta có “hình thức” là số chính phương ( 2u  ), nếu không được ta chuyển phương trình bậc 2 với sin x sang cos x hoặc ngược lại. Nếu vẫn không ổn thì ta sẽ đi theo cách I (Cách I GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! “mạnh” hơn cách II). Phản xạ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm 6 k ; 4 k ( gồm cả ; ; 3 2 k k k    với k Z ) thì khử nó bằng cách “dùng bảng công thức chuyển về góc nhọn và các công thức cộng, tích, hạ bậc” . Giải các phương trình sau: 1. (A – 2008): 1 1 7 4sin . 3sin 4 sin 2 x x x                2. (D – 2005): 4 4cos sinx x  cos sin 3 4 4 x x               3 0. 2   3. (D – 2003): 2sin 2 4 x       2 2tan cos 0 2 x x   4. (ĐHXD – 1997): 4 4 4sin 2 cos 2 cos 4 tan tan 4 4 x x x x x                  5. 2sin 2 4sin 1 0 6 x x          6. 4 4 1 sin cos 4 4 x x         Hướng dẫn giải: 1. 7 3 4 2 1 1 4sin . sin sin x x x                Ta có: 3 sin 2 x       sin 2 sin 2 2 x x                     cos x 7 sin 4 x       sin 2 sin 4 4 x x                      1 (sin cos ) 2 x x  Khi đó ta có điều kiện: sin 0 sin 2 0 cos 0 2 2 x n x x x         ( )n . Phương trình được viết lại: 1 1 2 2(sin cos ) sin cos x x x x     sin cos 2 2(sin cos ) sin cos x x x x x x      sin cos 2 sin 2 (sin cos )x x x x x     (sin cos )(1 2 sin 2 ) 0x x x    Chú ý: Ngoài cách khử lượng 3 2  và 7 4  như trong bài trên các bạn có thể khử bằng việc sử dụng công thức tổng: 3 3 3 sin sin cos cos sin cos 2 2 2 x x x x            7 7 7 sin sin cos cos sin 4 4 4 x x x           1 1 1 cos sin (sin cos ) 2 2 2 x x x x      2. 4 4cos sinx x  cos sin 3 4 4 x x               3 0. 2   2 21 2sin cosx x   1 sin 4 sin 2 2 2 x x           3 0 2   GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 22 sin 2x  cos4 sin 2x x  3 0  2 2sin 2 (1 2sin 2 ) sin 2 1 0x x x      2sin 2 sin 2 2 0x x    sin 2 1x  hoặc sin 2 2x   (vô nghiệm) 4 x k     ( )k . 3. (D – 2003): 2sin 42 x       2 2tan cos 0 2 x x   Điều kiện: cos 0 2 x x n      ( )n Khi đó phương trình tương đương: 2 2 1 cos sin 1 cos2 . 0 2 cos 2 x x x x          1 sin (1 cos )(1 cos ) 1 cos . 0 2 (1 sin )(1 sin ) 2 x x x x x x          1 cos (1 cos ) 1 0 (1 cos )(sin cos ) 0... 1 sin x x x x x x              4. (ĐHXD – 1997): 4 4 4sin 2 cos 2 cos 4 tan tan 4 4 x x x x x                  Ta sẽ chỉ ra tan tan 1 4 4 x x                theo các cách biến đổi sau: Cách 1: 1 tan 1 tan tan tan . 1 4 4 1 tan 1 tan x x x x x x                    Cách 2: tan tan tan .cot 1 4 2 4 4 4 x x x x                                      Cách 3: 1 sin sin cos cos 2 cos 24 4 2 2 1 1 cos 2 cos cos cos cos 2 4 4 2 2 x x x x x x x x                                                  Khi đó ta có điều kiện: cos 2 0 4 2 n x x       ( )n (*) Phương trình được viết lại thành: 4 4 4sin 2 cos 2 cos 4x x x  2 411 sin 4 cos 4 2 x x   2 42 (1 cos 4 ) 2cos 4x x    4 22cos 4 cos 4 1 0x x    2cos 4 1x  hoặc 2 1 cos 4 2 x   (loại) sin 4 0 4 k x x      , đối chiếu với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình là: 2 k x   ( )k . 5. 2sin 2 4sin 1 0 6 x x          2 sin 2 cos cos 2 sin 4sin 1 0 6 6 x x x            3sin 2 cos2 4sin 1 0x x x     22 3sin cos 4sin 2sin 0x x x x     2sin 3 cos sin 2 0...x x x    GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 6. 4 4 1 sin cos 4 4 x x         2 2 1 cos 2 1 cos 2 12 2 2 4 x x                      2 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 2 4 x x                   2 2 1 cos2 1 sin 2 1 sin 2 cos2 1x x x x        2 sin 2 ... 4 2 x         Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện nếu phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Vì vậy ta cần nắm đƣợc phƣơng pháp loại nghiệm để giải quyết tốt 2 dạng toán sau  Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới mẫu Phương pháp giải:  Bước 1: Cho điều kiện, ta được 2l x m    ( , )l m .  Bước 2: Giải phương trình được nghiệm 2k x n    ( , )k n .  Bước 3: Kiểm tra điều kiện bằng 2 cách sau: +) Cách 1 (Phương pháp hình học): Biểu diễn 2l x m    trên đường tròn đơn vị gồm m điểm 1 2{ ; ;...; }mC C C C ; biểu diễn 2k x n    trên đường tròn đơn vị gồm n điểm 1 2{ ; ;...; }nD D D D . Xét hiệu  1 2\ ; ;...; rE D C E E E  Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu là: 2ix E k   ( 1; , )i r k  +) Cách 2(Phương pháp đại số - cách này mang tính chất tham khảo): x bị loại khi 2 2k l n m       ( x chấp nhận khi 2 2k l n m       ) Ví dụ: Giải phương trình 2 1 cos 2 1 cot 2 sin 2 x x x    Giải: Điều kiện: sin 2 0x  2 m x    ( )m (1) Khi đó phương trình tương đương: cos 2 1 cos 2 1 sin 2 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) x x x x x      sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 x x x x     sin 2 cos2 (sin 2 cos2 )cos2 sin 2x x x x x x     cos2 (sin 2 cos2 1) 0x x x    cos 2 0 cos 2 0 1 sin 2sin 2 cos 2 1 4 2 x x xx x                  GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! 2 2 4 2 4 2 2 2 4 4 4 5 2 2 2 4 4 2 k x k x k x x k x k x k x k x k                                                          ( )k (2) Kết hợp (1) và (2) (biểu diễn trên đường tròn đơn vị), ta được nghiệm phương trình: 4 2 k x     ( )k Chú ý: Khi gặp dạng phương trình chứa ẩn dưới mẫu, ta không quên việc cho điều kiện (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Trong quá trình giải có thể “linh hoạt” loại đi nghiệm không cần thiết để rút ngắn lời giải.  Dạng 2: Tìm nghiệm thuộc một khoảng, một đoạn Phương pháp giải:  Bước 1: Giải phương trình được nghiệm 2k x n    ( , )k n .  Bước 2: Khai thác điều kiện x D +) Cách 1 (Chặn điều kiện): 0 0 ,2 ( , ) k nk x D D k n n         nghiệm 0 0 0 2k x n    . +) Cách 2: Có thể dùng đường tròn đơn vị nếu các đầu mút của D có dạng l m  ( , )l m Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0x x x    Giải: Phương trình tương đương: 2cos3 cos 4(2cos 1) 2cos 4 0x x x x      22cos2 cos 8cos 2cos 0x x x x    2cos (cos2 4cos 1) 0x x x    22cos (2cos 4cos ) 0x x x   24cos (cos 2) 0x x   cos 0x  hoặc cos 2x  (loại) 2 x k     ( k ) Với [0;14] 0 14 2 x k       28 0,5 3,96 {0;1;2;3} 2 k k           Hay nghiệm của phương trình: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x          x = π 2 + kπ = π 2 + k2π 2 x = π 4 + kπ 2 = π 4 + k2π 4 ;x ≠ mπ 2 = m2π 4 GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! Ví dụ 2 (A – 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình: cos3 sin3 5 sinx cos 2 3 1 2sin 2 x x x x         Giải: Điều kiện: 1 sin 2 2 x    12 x m     và 7 12 x l    ( , )m l Khi đó phương trình tương đương:  5 sin .(1 2sin 2 ) cos3 sin3 (1 2sin 2 )(cos2 3)x x x x x x      5(sin cos cos3 cos3 sin 3 ) (1 2sin 2 )(cos 2 3) 5(2sin 2 cos cos ) (1 2sin 2 )(cos 2 3) 5cos (2sin 2 1) (1 2sin 2 )(cos 2 3) x x x x x x x x x x x x x x x x                   5cos cos2 3x x   (vì 1 sin 2 2 x   ) 22cos 5cos 2 0x x    cos 2x  (loại) hoặc 1 cos 2 x  2 3 x k      ( )k Cách 1 +) Với 2 3 x k    ( )k , ta có: (0;2 ) 0 2 2 3 x k         1 5 6 6 k   0k   3 x   +) Với 2 3 x k     ( )k , ta có: (0;2 ) 0 2 2 3 x k          1 7 6 6 k   1k   5 3 x   Cách 2 : Sử dụng đường tròn đơn vị : Vì (0;2 )x  nên ta được 3 x   và 5 3 x   Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên” (chi tiết xem lại các phản xạ trước) Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi Phản xạ 2: Khi xuất hiện 3 thƣờng chuyển về dạng sin cosa x b x c  hoặc dạng mở rộng của nó ..... Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích nó thành tích Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phƣơng trình về dạng tích (hoặc để giản ƣớc nếu nhân tử chung ở dƣới mẫu số). π 0 2π 0 5π 3 π 3 GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp................. Phản xạ 5: Khi trong phƣơng trình có mặt cos2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi. Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và gặp phƣơng trình chứa 2sin ;x 2cos ;x 1 sin 2x ; cos2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: asin 2 cos2 sin cos 0x b x c x d x e     ta nghĩ tới việc biến đổi phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật Phản xạ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm 6 k ; 4 k ( gồm cả ; ; 3 2 k k k    với k Z ) thì tìm cách khử chúng Phản xạ 9: Nhớ cho điều kiện khi phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu... Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên” CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM ! GV: Nguyễn Thanh Tùng